工程力學(xué)13-扭轉(zhuǎn)

1、第第1313章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第第 13 13 章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)13-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)13-3 外力偶矩的計(jì)算 扭矩、扭矩圖13-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度條件13-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件13-1 概述汽車傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸13.1 13.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例汽車方向盤汽車方向盤13.1 13.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 桿件受到大小相等桿件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用面垂直于桿件軸線的力偶作用, , 桿件的橫截桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。面繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫受扭轉(zhuǎn)變形桿件

2、通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸圓軸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)。扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)及變形特點(diǎn)及變形特點(diǎn): :13.1 13.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例直接計(jì)算直接計(jì)算1.1.外力偶矩外力偶矩13.2 13.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me ePP13.2 13.2 外力

3、偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖T = Me2.2.扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3.2 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖用截面法研究橫用截面法研究橫截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力扭矩正負(fù)規(guī)定扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)檎?+),(+),反之為反之為負(fù)負(fù)(-)(-)3.2 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖扭矩圖扭矩圖 13.2 13.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖16:49 一傳動(dòng)軸的計(jì)算簡圖如圖所示，作用于其上的外力偶矩之大小分別是：TA=2

4、 kNm , TB=3.5kNm , TC =1 kNm , TD = 0.5 kNm , 轉(zhuǎn)向如圖。試作該傳動(dòng)軸之扭矩圖。 解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即可作出扭矩圖。aaaABCDTATBTCTD例題13-116:491-1截面：Mx（F）= 0MT1 + TA = 0得MT1=TA= -2 kN.m 分別作截面1-1、2-2、3-3，如右圖所示。aaaABCDTATBTCTD112233TAMT 1xA11考慮1-1截面16:492-2截面：MT2 - TB + TA = 0得MT2= TB - TA = 3.5 - 2 = 1.5 kNm ABxTATB22MT 2

5、aaaABCDTATBTCTD112233Mx（F）= 016:49同理得MT3 = 0.5 kNm由此,可作扭矩圖如下：xMT (kNm)1.50.5+2aaaABCDTATBTCTD解解: :(1)(1)計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩例題例題13.213.2 傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸, ,已知轉(zhuǎn)速已知轉(zhuǎn)速 n=300r/min,n=300r/min,主動(dòng)輪主動(dòng)輪A A輸入功率輸入功率P PA A=45kW,=45kW,三個(gè)從動(dòng)輪輸出功率分別為三個(gè)從動(dòng)輪輸出功率分別為 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,=15kW,P PD D=20kW.=20kW.試?yán)L軸的扭矩圖試?yán)L軸的扭矩圖. .9

6、549/eMP n由公式由公式(2)(2)計(jì)算扭矩計(jì)算扭矩(3)(3) 扭矩圖扭矩圖13.2 13.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖13.2 13.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖max1432TN m 傳動(dòng)軸上主、傳動(dòng)軸上主、從動(dòng)輪安裝的位從動(dòng)輪安裝的位置不同，軸所承置不同，軸所承受的最大扭矩也受的最大扭矩也不同。不同。BMCMA AB BC CD DAMDM31432ATMN m A AAM3T318N318N. .m m795N795N. .m m1432N1432N. .m m13.2 13.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭

7、矩圖扭矩和扭矩圖我們在講扭矩與扭矩圖的時(shí)候，涉及到這樣的問題：mmMTTxxMTTABABabT| m| m lTbO桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶的作用下，要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角 bOb(B截面相對于A截面），受扭桿之內(nèi)力如上。用分離體分析扭矩MT 。本章主要研究以下內(nèi)容：(1) 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變； (2) 圓截面等直桿受扭時(shí)的應(yīng)力和變形；（等直圓桿受扭時(shí)其橫截面仍為平面，求解較簡單。）(3) 簡要介紹非圓截面桿受扭時(shí)的一些彈性力學(xué)中的分析結(jié)果。（非圓截面桿受扭時(shí)，橫截面不再保持平面，要發(fā)生扭曲，求解復(fù)雜。） 受扭桿件橫截面上與扭矩對應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力還是切應(yīng)力？為什么？思考題 8

8、-1 答：切應(yīng)力，因?yàn)榕c正應(yīng)力相應(yīng)的分布內(nèi)力之合力不可能是個(gè)作用在橫截面上的力偶。受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受力變形時(shí)，直角的這種改變量（以弧度計(jì)）稱之為切應(yīng)變。13-3 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變TTg (rad)l平均半徑為 r。厚度為且 r。 根據(jù)圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對稱性容易判明，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個(gè)假設(shè)條件下，圓筒橫截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各點(diǎn)處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，系沿外圓周的切向，如下圖所示。TTg (rad)lTMT（ MT

9、=T）上述內(nèi)容主要說明：(1) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變相同；(2) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等；(3) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處剪應(yīng)力的方向沿外周線的切線。 對于薄壁圓筒（d 很?。?，橫截面上其它各點(diǎn)處的切應(yīng)力可以認(rèn)為與外圓周處相同，即不沿徑向變化。于是可以認(rèn)為薄壁圓筒受扭時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。 即如圖中所示。TMT（ MT =T） 這樣，知道了切應(yīng)力t 的分布規(guī)律后 ，便可以利用靜力學(xué)關(guān)系r 用平均半徑r0代替 上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計(jì)算公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。 ArAMdTt t則 AArArM00T

10、dt tt t從而有)2/()2/()/(20T00T0T t t rMrrMArM當(dāng) /r0=10 ，其誤差為4.5。TTg (rad)l至于切應(yīng)變，由上圖得 rl g g 式中 r為圓筒外半徑。 則lr/ g g 通過對薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加力偶矩在某一范圍內(nèi)時(shí)，扭轉(zhuǎn)角f 與外力偶矩T之間成正比。TfOlr/g)2/(20trMT剪切比例極限ptttgO剪切比例極限ptttgO圖中的線性關(guān)系為 t = Gg 上式稱之為材料的剪切胡克定律，不只是適用于薄壁圓筒。 ( 拉壓胡克定律 s = Ee)式中 G材料切變模量，量綱為MPa。如各種鋼的切變模量均約為8.0104 MPa，

11、至于剪切比例極限，則隨鋼種而異；Q235鋼，tp =120 MPa。 理論分析和實(shí)驗(yàn)都表明，對于各向同性材料，剪切彈性模量與其它兩彈性參數(shù)E和n 之間存在下列關(guān)系：泊松比)1(2n n EG以上即為薄壁圓筒受扭時(shí)的變形與應(yīng)力理論。它是實(shí)心圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)變形與應(yīng)力理論的基礎(chǔ)。31工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49 實(shí)心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時(shí)，實(shí)心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時(shí)，我們沒有理由認(rèn)為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在我們沒有理由認(rèn)為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。13-4 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形圓桿扭轉(zhuǎn)

12、時(shí)的應(yīng)力與變形13.4.1 橫截面上的切應(yīng)力橫截面上的切應(yīng)力 現(xiàn)在的關(guān)鍵在于：現(xiàn)在的關(guān)鍵在于： 確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑截面上距圓心為任意半徑r r 的一點(diǎn)處切應(yīng)力的一點(diǎn)處切應(yīng)力t tr r與與r r的關(guān)系。的關(guān)系。32工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49首先觀察受扭時(shí)，表面的首先觀察受扭時(shí)，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)，桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)，最后還要利用應(yīng)力和應(yīng)變最后還要利用應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理關(guān)系。之間的物理關(guān)系。 (1) 幾何關(guān)系幾何關(guān)系 (2) 物理關(guān)系物

13、理關(guān)系 (3) 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 33工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:491. 幾何關(guān)系：幾何關(guān)系：(1) 等直圓桿受扭時(shí)，畫在表面上的圓周線只是繞等直圓桿受扭時(shí)，畫在表面上的圓周線只是繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其大小和形狀都不改變；且在變形桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時(shí)，圓周線的相對縱向距離也不變。較小的情況時(shí)，圓周線的相對縱向距離也不變。 如下圖，實(shí)驗(yàn)表明：如下圖，實(shí)驗(yàn)表明：ABabObTT34工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49(2) 平截面假設(shè)平截面假設(shè) 等直桿受扭時(shí)，它的橫截面如同剛性的圓盤那等直桿受扭時(shí)，它的橫截面如同剛性的圓盤那

14、樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，等直圓桿受扭時(shí)，其橫樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，等直圓桿受扭時(shí)，其橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。 ABabObTT35工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49取微段取微段dx分析：得半徑為分析：得半徑為r r的任意圓柱面上的切的任意圓柱面上的切應(yīng)變。應(yīng)變。gTMgfd(a)TMrrd x式中：式中：d f f/dx 是長度方向的變化率，按平面假設(shè)是常是長度方向的變化率，按平面假設(shè)是常量。這樣，等直圓桿受扭時(shí)，量。這樣，等直圓桿受扭時(shí)，r r與與g gr r

15、 成線性關(guān)系。成線性關(guān)系。(1)dd(ddtanxxf fr rf fr rg gg gr rr r 36工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:492. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：由剪切胡克定律：由剪切胡克定律：t tr r=Gg gr r ，在，在 t tt tp 時(shí)，可把時(shí)，可把(1)式代入，得：式代入，得： 上式表明：受扭的等直桿在上式表明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，橫截線性彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力在同一半徑面上的切應(yīng)力在同一半徑r的圓的圓周上各點(diǎn)處大小相同，但它們周上各點(diǎn)處大小相同，但它們隨隨r r 作線性變化，同一橫截面上作線性變化，同一橫截面上的最大切應(yīng)力在

16、圓周邊緣上的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上（圖（圖(b)，方向垂直于各自的半方向垂直于各自的半徑。徑。 TM(b)maxtrtr(2)dd(xGGf fr rg gt tr rr r 37工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49上式與上式與MT沒有聯(lián)系起來。沒有聯(lián)系起來。若等截面圓桿在若等截面圓桿在MT 作用下，則作用下，則t t 如何？如何？3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：(2)dd(xGGf fr rg gt tr rr r 38工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49 整個(gè)橫截面面積整個(gè)橫截面面積A范圍內(nèi)每個(gè)微面積范圍內(nèi)每個(gè)微面積dA乘以它乘以它到圓心的距離平方之總和，因此

17、它是一個(gè)幾何性質(zhì)，到圓心的距離平方之總和，因此它是一個(gè)幾何性質(zhì)，稱之為橫截面的極慣性矩，常用稱之為橫截面的極慣性矩，常用Ip來表示，即：來表示，即：(2)dd(xGGf fr rg gt tr rr r AMAdT r rt tr r AAxGMddd2Tr rf f（單位：（單位：mm4或或m4） ApAId2r r39工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49 AAxGMddd2Tr rf f ApAId2r rpTddGIMx f f40工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49上式為等直圓桿受扭時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力上式為等直圓桿受扭時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算

18、公式。的計(jì)算公式。若求若求t tmax，則令，則令r r =r，有，有pTddGIMx f f又又)dd(xGGf fr rg gt tr rr r 故故pTIMr rt tr r pTmaxIrM t t41工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49上述公式只適用于實(shí)心或空心圓截面等直桿在線上述公式只適用于實(shí)心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭情況。性彈性范圍內(nèi)受扭情況。改寫成改寫成TTmaxWM t t其中抗扭截面模量其中抗扭截面模量 ， 常用單位：常用單位：mm3或或m3 。rIWpT 42工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49.OABMT思考題思考題13-2

19、 下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之橫截面，該截面上的扭矩橫截面，該截面上的扭矩MT 亦如圖所示，試?yán)L亦如圖所示，試?yán)L出水平直經(jīng)出水平直經(jīng)AB上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化圖。上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化圖。43工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49MTABO思考題思考題8-2參考答案參考答案:44工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49 一受扭圓軸一受扭圓軸,由實(shí)心桿由實(shí)心桿1和空心桿和空心桿2緊配合而成。緊配合而成。整個(gè)桿受扭時(shí)兩部分無相對滑動(dòng)整個(gè)桿受扭時(shí)兩部分無相對滑動(dòng),試?yán)L出切應(yīng)力沿試?yán)L出切應(yīng)力沿水平直經(jīng)的變化圖，若水平直經(jīng)的變化圖，若

20、(1) 兩桿材料相同，即兩桿材料相同，即G1=G2=G；(2) 兩材料不同，兩材料不同，G1=2G2。MT12思考題思考題8-345工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49思考題思考題8-3(1)答案：答案：MTG1=G2=G2146工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49思考題思考題8-3(2)答案：答案：MTG1=2G221實(shí)心軸實(shí)心軸13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與與 的計(jì)算的計(jì)算pItW/tpWIR3116DpITrrtmaxtWTt48工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49主要計(jì)算實(shí)心圓截面和空心圓截面。主要計(jì)算實(shí)心圓截面和

21、空心圓截面。如圖有如圖有rrdo8.2.2 極慣性矩和抗扭截面模量極慣性矩和抗扭截面模量Ip和和Wp 對于實(shí)心圓截面對于實(shí)心圓截面 ApAId2r rr rr rd2d A32/d2d422/02pdAIdA r rr rr rr r49工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49rrdo對于空心圓截面（外徑對于空心圓截面（外徑D，內(nèi)內(nèi)徑徑d） 式中：式中：a a =d / D16/2/3ppddIW )1(32)(32d2d444422/2/2pa ar rr rr rr r DdDAIDdA50工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49千萬不要出錯(cuò)！千萬不要出錯(cuò)！應(yīng)當(dāng)注意

22、：應(yīng)當(dāng)注意：)1(162/43ppa a DDIW13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件： tttmaxmaxWTmaxmaxmax()tTWtmaxmaxtTWt1. 1. 等截面圓軸：等截面圓軸：2. 2. 階梯形圓軸：階梯形圓軸：14.4 14.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度條件的應(yīng)用 maxmaxtTWtt（1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度 tttmaxmaxWT（2）設(shè)計(jì)截面）設(shè)計(jì)截面 tmaxtTW （3）確定載荷）確定載荷 ttmaxWT13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力例例3.23.2 由無縫鋼管制成的汽車

23、傳動(dòng)軸，外徑由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，外徑D D=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料為材料為2020號鋼，使用號鋼，使用時(shí)的時(shí)的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930N Nm m, , t t=70=70MPaMPa. .校核此軸校核此軸的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。34340.9450.2(1)0.28.9 (10.945 )29tdDWDaa 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTWtt13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力例例3.33.3 如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸，要求如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸，要求它與原來的空

24、心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。它與原來的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解：解：當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為為 t t 時(shí)，兩軸的許可扭矩分別為時(shí)，兩軸的許可扭矩分別為311 16tTWDtt34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TDatt若兩軸強(qiáng)度相等，則若兩軸強(qiáng)度相等，則T T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力224211(0.0531)22.2 1044DAm

25、223 23 2422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比。積之比。42416.87 100.3122.2 10AA可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)心軸的可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)心軸的3131% % 。實(shí)心軸和空心軸橫截面面積為實(shí)心軸和空心軸橫截面面積為已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力不不得超過得超過40MPa,40MPa,空心圓軸的內(nèi)外

26、直徑之比空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 a a = = 0.50.5。二軸長度相同。二軸長度相同。求求: : 實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑d d1 1和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑D D2 2；確；確定二軸的重量之比。定二軸的重量之比。解：解： 首先由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩首先由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸實(shí)心軸31616 716 20 045m=45mm40 10.d例題例題3.43.47 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaPTTWdt13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力空心軸空心軸d20.5D2=23 mm3246

27、16 716 20 046m=46mm 1-40 10.Damax234221640MPa1PTTWDta13.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121aDdAA 實(shí)心軸實(shí)心軸d d1 1=45 mm=45 mm空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mmP P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P

28、 P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速2 2、計(jì)算各軸的扭矩、計(jì)算各軸的扭矩例題例題3.53.5313.4 13.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力求求: :各各軸軸橫截面上的最大切應(yīng)力；橫截面上的最大切應(yīng)力； 并校核各軸強(qiáng)度。并校核各軸強(qiáng)度。已知：已知：輸入功率輸入功率P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,

29、=120r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm. t t=30=30MPaMPa。. .T T1 1=M=M1 1=1114 N m=1114 N mT T2 2=M=M2 2=557 N m=557 N mT T3 3=M=M3 3=185.7 N m=185.7 N m 1max3-9116 1114EPa16.54MPa7010tTWt 2max3-9216 557HPa22.69MPa 5010tTWt 3max3-9316 185.7CPa

30、21.98MPa 3510tTWt3 3、計(jì)算各軸的橫截面上的、計(jì)算各軸的橫截面上的 最大切應(yīng)力；最大切應(yīng)力；校核各軸校核各軸 強(qiáng)度強(qiáng)度314.4 14.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角抗扭剛度抗扭剛度13.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形niPiiiGIlT1單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)剛度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件14.5 14.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形max許用單位扭轉(zhuǎn)角許用單位扭轉(zhuǎn)角pdTdxGIrad/mrad/m180pTGI/ /m m扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件已知已知T T 、D D 和和 ，校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度已知

31、已知T T 和和 ，設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面已知已知D D 和和 ，確定許可載荷確定許可載荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核剛度校核剛度已知已知T T 和和 / / ，設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面已知已知D D 和和 / / ，確定許可載荷確定許可載荷13.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形max tTWtt3116tWDmaxpTGI413 2pID例題例題13.613.613.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形maxTWtt 某傳動(dòng)軸所承受的扭矩某傳動(dòng)軸所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，軸的直徑軸的直徑d=40mmd=40mm，材料的材料的 =40MPa=40MP

32、a，剪切彈性模量剪切彈性模量G=80GPaG=80GPa，許可單位長度轉(zhuǎn)角許可單位長度轉(zhuǎn)角 / /=1 =1 / /m m。試校核軸的強(qiáng)度和剛試校核軸的強(qiáng)度和剛度。度。 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪A A 輸入功率輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪C C，B B 分別輸出功率分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)試確定試確定AC AC 段的直徑段的直徑d d1 1 和和BC BC 段的直徑段的直徑d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 兩段選同一直徑，試確定直

33、徑兩段選同一直徑，試確定直徑d d； (3)(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例題例題13.713.713.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631tTd按剛度條件按剛度條件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421fGTd3.3.直徑直徑d d1 1的選

34、取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d tt31max16dT1803241maxdGT13.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 按剛度條件按剛度條件4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632tTdmm76m107611080180458032180323429422fGTdmm762d 5.5.選同一直徑時(shí)選同一直徑時(shí)mm4 .861 dd13.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 6.6.將將主動(dòng)輪安裝在主動(dòng)輪安裝在兩從動(dòng)輪之間兩從動(dòng)輪之間1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理13.5 13.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形mN3060 mN458068工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16:49 階梯形圓柱直徑分別為階梯形圓柱直徑分別為d1= 4 cm , d2=7 cm,軸上裝有軸上裝有3個(gè)皮帶輪如圖所示。已知由輪個(gè)皮帶輪如圖所示。已知由輪3輸入的功率為輸入的功率為T3=30 kW,輪輪1輸出的功率為輸出的功率