數(shù)學分析第六章微分中值定理及其應用4

1、第六章第六章 微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用3函數(shù)的增減性與極值函數(shù)的增減性與極值2一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內的一個

2、點內的一個點是是內有定義內有定義在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 設設)(xf在在點點0 x處處具具有有導導數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實根的實根即方程即方程使導數(shù)為零的點使導數(shù)為零的點xfxf 注意注意:.,)(是極值點是極值點但

3、函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導函數(shù)可導函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當如果當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf符號相同符號相同, ,則則)(

4、xf在在0 x處無極值處無極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數(shù)求導數(shù);0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()3(判斷極值點判斷極值點在駐點左右的正負號在駐點左右的正負號檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點情形不是極值點情形)例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3( )

5、3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm圖形如下圖形如下 設設)(xf在在0 x處具有二階導數(shù)處具有二階導數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當當0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當當0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0

6、000, 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如

7、下mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點在點時時xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導點函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點也可能是函數(shù)的極值點.m三、小結三、小結極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,

8、極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統(tǒng)稱為駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點臨界點. .函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點臨界點取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點點，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內內，)(xf在在0 x的的左左側側下下降降，而而在在0 x的的右右側側上上升升.思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當當0 x時，時， )0()(fxf)1s

9、in2(2xx 0 于是于是0 x為為)(xf的極小值點的極小值點當當0 x時，時，當當0 x時時，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之間振蕩之間振蕩因因而而)(xf在在0 x的的兩兩側側都都不不單單調調.故命題不成立故命題不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 一、一、 填空題：填空題：1 1、 極值反映的是函數(shù)的極值反映的是函數(shù)的 _性質性質. .2 2、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在0 xx 可導，則它在點可導，則它在點0 x處到處到 得極值的必要條件中為得極值的必要條件中為_._.3 3、 函 數(shù)函 數(shù)32)1(2 xy的 極 值 點 為的 極 值 點 為 _ ；

10、31)1(23 xy的極值為的極值為_._.4 4、 已知函數(shù)已知函數(shù) 0, 10,)(3xxxxxfx當當_ x時，時，為極為極_ y小值 ； 當小值 ； 當時時_ x，為極為極_ y大值大值. .練練 習習 題題二、求下列函數(shù)的極值：二、求下列函數(shù)的極值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所確定的函數(shù)所確定的函數(shù))(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 證明題：證明題：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23滿足條滿足條032 acb，則函數(shù)無極值則函數(shù)無極值. . 2 2、設設)(xf是是有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階導導數(shù)數(shù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)0)( xf， 則則0 x為為)(xf的的極極值值點點. .一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),無；無；