基于（rQ）策略的易腐品M-M-1-N排隊(duì)庫(kù)存系統(tǒng)

1、    基于（r，q）策略的易腐品m/m/1/n排隊(duì)庫(kù)存系統(tǒng)    張鶴摘 要：基于（r，q）訂貨策略研究了易腐品的m/m/1/n庫(kù)存模型。假設(shè)顧客的達(dá)到時(shí)間間隔，服務(wù)時(shí)間，易腐品壽命，進(jìn)貨時(shí)間都服從指數(shù)分布，首先，利用擬生滅過(guò)程理論得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡條件，然后利用矩陣幾何解得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率，從而得到了一些系統(tǒng)的性能指標(biāo)，最后，利用系統(tǒng)的性能指標(biāo)得到成本函數(shù)，再利用遺傳算法求解了模型的最優(yōu)庫(kù)存策略。關(guān)鍵詞：易腐品；（r，q）策略；擬生滅過(guò)程；矩陣幾何解；遺傳算法中圖分類號(hào)：tb 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a doi：10.19311/ki.16723198.20

2、19.33.1031 引言易腐性產(chǎn)品是指那些必須在有限時(shí)間內(nèi)售出，否則將發(fā)生變質(zhì)、損壞、揮發(fā)、過(guò)期且必須進(jìn)行清倉(cāng)處理的商品，其顯著特點(diǎn)是在儲(chǔ)存和流通的過(guò)程中其數(shù)量會(huì)因?yàn)樽冑|(zhì)、揮發(fā)、失效等而逐漸減少。如生鮮食品，水果，蔬菜，牛奶，鮮花，藥品等，存儲(chǔ)過(guò)程中隨存儲(chǔ)時(shí)間的增加，商品會(huì)因?yàn)榘l(fā)生腐爛、變質(zhì)等原因使得數(shù)量減少。目前我國(guó)的易腐性產(chǎn)品在流通過(guò)程中造成的各種損失非常大，每年易腐產(chǎn)品造成的各種損耗之和高達(dá)千億。所以對(duì)易腐品庫(kù)存系統(tǒng)的分析是很重要的，易腐品的庫(kù)存問(wèn)題也引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。schwarz等研究了分別基于隨機(jī)訂購(gòu)策略，（r，q）策略，（s，s）策略，等待空間有限或無(wú)限的排隊(duì)庫(kù)存系統(tǒng)，給出

3、了每個(gè)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布。sivakumar研究了基于（s，s）策略的顧客源有限的易腐品庫(kù)存系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)情況下，給出了庫(kù)存水平和需求量的聯(lián)合概率分布。推導(dǎo)了各種系統(tǒng)性能指標(biāo)，并用數(shù)值方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行了說(shuō)明。manuel等研究了基于（s，s）策略的等待空間有限的兩類顧客的易腐品庫(kù)存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)以及成本函數(shù)并求解。ravichandran研究了基于（s，s）策略具有馬爾可夫需求，erlangian壽命和損失銷售的連續(xù)盤點(diǎn)易腐庫(kù)存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)以及成本函數(shù)。mohamed 等基于（r，q）策略研究了具有不耐煩顧客的易腐庫(kù)存系統(tǒng)的服務(wù)率最優(yōu)控制問(wèn)題，利用線性規(guī)劃算法對(duì)平穩(wěn)最優(yōu)策

4、略進(jìn)行了計(jì)算，并給出了數(shù)值算例。perry和stadje基于（s-1，s）策略研究了具有有限等待空間的延期銷售的易腐品庫(kù)存系統(tǒng)，給出了成本函數(shù)并求解。melikov和shahmaliyev研究了基于（s-1，s）策略等待空間有限的延期銷售的易腐品庫(kù)存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)以及數(shù)值結(jié)果，解決了成本最小的優(yōu)化問(wèn)題。上述文獻(xiàn)多是基于（s，s）策略或是（s-1，s）策略進(jìn)行研究，本文基于（r，q）訂貨策略研究了易腐品的m/m/1/n庫(kù)存模型。第二節(jié)給出了模型的描述，第三節(jié)求解了系統(tǒng)的平衡條件，第四節(jié)利用擬生滅過(guò)程求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量，第五節(jié)給出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)，第六節(jié)利用遺傳算法求解出成本函數(shù)

5、的最優(yōu)解，第七節(jié)給出了結(jié)論。2 模型描述模型的基本假設(shè)如下：顧客需求的到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布，顧客到達(dá)后按到達(dá)先后順序形成一個(gè)隊(duì)列，并且等待空間是有限的，若系統(tǒng)中有n個(gè)顧客，其他顧客將不會(huì)進(jìn)入隊(duì)列。每位顧客的需求量為一個(gè)單位的庫(kù)存。系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)員，采用先到先服務(wù)的服務(wù)規(guī)則。服務(wù)需要一定的時(shí)間，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。商品的壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，商品變質(zhì)后不能出售，庫(kù)存數(shù)量相應(yīng)減少。系統(tǒng)采用（r，q）進(jìn)貨策略，即當(dāng)系統(tǒng)的庫(kù)存水平下降到安全水平r時(shí)，系統(tǒng)立即向供貨商發(fā)出訂貨請(qǐng)求，每次訂貨量為q，進(jìn)貨時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。系統(tǒng)是延期銷售的，即當(dāng)庫(kù)存為零時(shí)，允許顧客可以進(jìn)

6、入系統(tǒng)進(jìn)行等待。需求到達(dá)，服務(wù)過(guò)程和進(jìn)貨過(guò)程是相互獨(dú)立的。3 系統(tǒng)平衡條件3.1 狀態(tài)過(guò)程我們規(guī)定系統(tǒng)的狀態(tài)過(guò)程為x（t），y（t）；t0，其中x（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)量，y（t）表示t時(shí)刻的庫(kù)存數(shù)量。狀態(tài)空間為：=i，j，03.2 系統(tǒng)平衡條件根據(jù)擬生滅過(guò)程定義可知過(guò)程x（t），y（t）；t0是擬生滅過(guò)程，令f=b+c+d，有所以，公式（1）就是系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)平衡的充分必要條件。d表示系統(tǒng)中顧客的到達(dá)率，c表示系統(tǒng)庫(kù)存不為零時(shí)的服務(wù)率，即當(dāng)系統(tǒng)的到達(dá)率小于服務(wù)率時(shí)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)平衡。4 矩陣幾何解定義穩(wěn)態(tài)概率為：第三步：由公式（2）和方程組（3）可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量。5 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)5

7、.1 平均等待隊(duì)長(zhǎng)elq=n-1i=1r+qj=0ipi+1，j=n-1i=1ipi+1e2=p0ri-rn-1i-r-2-n-1rn-1i-r-1e25.2 平均庫(kù)存ei=ni=0r+qj=0jpi，j=ni=0pie3=p0（i-rn+1）i-r-1e3其中e3=0，1，r+qt5.3 平均訂貨率ep=ni=0rj=0jpi，j=ni=0pie4=p0（i-rn+1）i-r-1e4其中e4=（a，b）t，a是r+1維的行向量，所有元素都是1，b是q維行向量，所有元素都是0。5.4 平均庫(kù)存損失率er=ni=0r+qj=0jpi，j=ni=0pie3=p0（i-rn+1）i-r-1e3（5）

8、顧客平均損失率eli=r+qj=0p（n，j）=pne2=p0rne26 成本分析系統(tǒng)的成本假設(shè)主要由顧客平均等待成本，庫(kù)存保管成本，每次訂貨成本，產(chǎn)品腐壞成本和顧客損失成本組成。假設(shè)每位顧客平均等待成本是c1，單位時(shí)間單位庫(kù)存的保管成本是c2，單位時(shí)間每次訂貨成本是c3，單位時(shí)間產(chǎn)品腐壞成本是c4，單位時(shí)間顧客損失成本c5。所以系統(tǒng)的成本函數(shù)是：cr，q=c1el+c2ei+c3ep+c4er+c5eli遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化理論中自然選擇和遺傳機(jī)制的計(jì)算模型，是一種通過(guò)模擬自然進(jìn)化過(guò)程來(lái)尋找最優(yōu)解的方法。本文采用13中的遺傳算法來(lái)進(jìn)行最優(yōu)解的搜索，具體步驟如下：第一步：初始化：設(shè)置進(jìn)

9、化代數(shù)計(jì)數(shù)器t=0，設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)t，隨機(jī)生成m個(gè)個(gè)體作為初始群體p（0）。第二步：個(gè)體評(píng)價(jià)：計(jì)算群體p（t）中各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度。第三步：選擇運(yùn)算：將選擇算子作用于群體。選擇的目的是把優(yōu)化的個(gè)體直接遺傳到下一代或通過(guò)配對(duì)交叉產(chǎn)生新的個(gè)體再遺傳到下一代。第四步：交叉運(yùn)算：將交叉算子作用于群體。判斷個(gè)體的有效性，如果是有效個(gè)體，則保留；如果是無(wú)效個(gè)體，則隨機(jī)生成一個(gè)交叉位置進(jìn)行交叉，直至有效。第五步：變異運(yùn)算：將變異算子作用于群體。判斷個(gè)體的有效性，如果是有效個(gè)體，則保留；如果是無(wú)效個(gè)體，則隨機(jī)生成一個(gè)交叉位置進(jìn)行交叉，直至有效。第六步：對(duì)新種群適應(yīng)度評(píng)價(jià)，找到最好的染色體，將它與上一次進(jìn)化中最

10、好的染色體比較，記錄每一代進(jìn)化中最好的適應(yīng)變和平均適應(yīng)度。第七步：終止條件判斷：如果滿足算法終止的條件，輸出當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體，算法結(jié)束；如果不滿足算法終止的條件，轉(zhuǎn)到第三步。本文研究了，對(duì)最優(yōu)策略和最優(yōu)成本的影響，令c1=2，c2=5，c3=20，c4=50，c5=15，n=50。其中參數(shù)設(shè)置為=2，=5，=0.1，由表4可知，隨著的增大，最優(yōu)成本逐漸增大，最小庫(kù)存無(wú)明顯改變，訂貨量都逐漸減小。7 結(jié)論本文基于（r，q）訂貨策略研究了易腐品的m/m/1/n庫(kù)存模型。根據(jù)系統(tǒng)符合擬生滅過(guò)程得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡條件，采用矩陣幾何解方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率，從而得到了一些系統(tǒng)的性能指標(biāo)，最后，利用系統(tǒng)的

11、性能指標(biāo)得到成本函數(shù)，再利用遺傳算法求解了模型的最優(yōu)庫(kù)存策略，研究了系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)對(duì)成本，最低庫(kù)存以及訂貨量的影響。參考文獻(xiàn)1s.k.goyal，b.c.giri.recent trends in modeling of deteriorating inventoryj.european journal of operational research，2001，134（1）：116.2謝如鶴，劉霆保鮮鏈-食品鏈物流的后起之秀j.中國(guó)物流與采購(gòu)，2004，6：1416.3m.schwarz，c.sauer，h.daduna，r.kulik，r.szekli.m/m/1 queueing syste

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