高中數(shù)學（北師大版）必修五教案：2.2 三角形中的幾何計算 參考教案

1、§2 三角形中的幾何計算教學目的：1進一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學重點：利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向教學難點: 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：啟發(fā)引導式1啟發(fā)學生在證明三角形問題或者三角恒等式時，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應用，比如互補角的正弦值相等，互補角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導學生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形

2、形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學過程：一、復習引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講解范例：例1在任一ABC中求證：- 1 - / 8證：左邊=0=右邊例2 在ABC中，已知，B=45° 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=45°<90° 即b<a A=60°或120°當A=60°時C=75° 當A=120°時C=15° 解二：設c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之：當時 從而A=60° ，C=75°當時同理可求得：A=120° ，C=15

3、°例3 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長度 （3）ABC的面積解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120°（2）由題設： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的長解：在ABD中，設BD=x則即 整理得：解之： （舍去）由余弦定理： 例5 ABC中，若已知三邊為連續(xù)正

4、整數(shù)，最大角為鈍角，1°求最大角 ; 2°求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1°設三邊 且C為鈍角 解得 或3 但時不能構(gòu)成三角形應舍去當時 2°設夾C角的兩邊為 S當時S最大=例6 在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點，且AD4，求BC邊長分析：此題所給題設條件只有邊長，應考慮在假設BC為后，建立關(guān)于的方程而正弦定理涉及到兩個角，故不可用此時應注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然用利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設BC邊為，則由D為BC中點，可得BDDC，在AD

5、B中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180°cosADBcos（180°ADC）cosADC解得，2, 所以，BC邊長為2評述：此題要啟發(fā)學生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應用來求解sinA，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設BD5，DC3，則由互補角ADC、ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA三、課堂練習：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積解：設

6、ABC三邊為a，b，c則ABC又，其中R為三角形外接圓半徑, abc4RSABC4×1×0251所以三角形三邊長的乘積為1評述：由于題設條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式ABC發(fā)生聯(lián)系，對abc進行整體求解2在ABC中，已知角B45°，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cosC又0C180°，sinC在ABC中，AB評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學生注意正、余弦定理的綜合運用3在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值解：c

7、osAcos45°，0A45°A90°, sinAsinBsin30°，0B0°B30°或150°B180°若B150°，則BA180°與題意不符0°B30° cosBcos（AB）cosA·cosBsinA·sinB又C180°（AB）cosCcos180°（AB）cos（AB）評述：此題要求學生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時，應根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負進行取舍，在確定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三

8、角函數(shù)值進行比較四、小結(jié) 通過本節(jié)學習，我們進一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力五、課后作業(yè)：六、板書設計（略）七、課后記及備用資料： 1正、余弦定理的綜合運用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA這是只含有三角形三個角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，下面舉例說明之例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數(shù)解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2si

9、nAsinCcosB，2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0 cos B150°例2求sin210°cos240°sin10°cos40°的值解：原式sin210°sin250°sin10°sin50°在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA中，令B10°，C50°，則A120°sin2120°sin210°sin250°2sin10°sin50°cos120°sin210&#

10、176;sin250°sin10°sin50°（）2例3在ABC中，已知2cosBsinCsinA，試判定ABC的形狀解：在原等式兩邊同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2sin2A，sin2Csin2BBC故ABC是等腰三角形2一題多證在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形證法一：欲證ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a2bcosC，即2cosC·sinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC0即sin（BC）0，BC（）B、