工程制圖 2.5 直線與平面、平面與平面的相對位置

1、編輯課件1編輯課件2直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置相對位置包括相對位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。 若平面外的一直線與平面內(nèi)的一若平面外的一直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。條直線平行，則該直線與此平面平行。一、直線與平面平行一、直線與平面平行利用該定理： 在平面外作一直線與平面平行 判斷平面外直線與平面是否平行編輯課件3n a c b m abcmn例例1：過：過M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無數(shù)解有無數(shù)解有多少解？有多少解？編輯課件4例例2：過：過M點(diǎn)作一正平線點(diǎn)作一正平線MN平行于平面平行于平面 ABC。c

2、b a m abcmn唯一解唯一解n 編輯課件5例例3編輯課件6不平行不平行編輯課件7二、直線與平面相交二、直線與平面相交 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點(diǎn)交點(diǎn)是直線與平是直線與平面的面的共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)。交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可判別可 見性。見性。 我們先討論我們先討論直線直線或或平面平面中中至少有一個(gè)至少有一個(gè)處于特殊處于特殊位置的情況。位置的情況。編輯課件8abcmnc n b a m 1、平面為特殊位置、平面為特殊位置例：求直線例：求直線MN與平面與平面ABC的交點(diǎn)的

3、交點(diǎn)K，并判別可見性。，并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC是一是一鉛垂面鉛垂面，其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直線，該直線與線，該直線與mn的的交點(diǎn)交點(diǎn)即即為為K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段段在平面前，故正面投在平面前，故正面投影上影上k n 為可見。為可見。通過重影點(diǎn)判別可見性。通過重影點(diǎn)判別可見性。1 (2 )作作 圖圖k21k 編輯課件9例：求直線例：求直線MN與平面與平面ABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K，并判別可見性。，并判別可見性。abcmnc n b a m 1 (2 )k21k mb

4、ckACBKMNnHa12編輯課件102、直線為特殊位置、直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MN為為鉛垂線鉛垂線，其，其水平投影水平投影積聚積聚成一個(gè)成一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，故故交點(diǎn)交點(diǎn)K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在位于平面上，在前；點(diǎn)前；點(diǎn)位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 為不可見。為不可見。作圖作圖用面上取用面上取點(diǎn)法點(diǎn)法km(n)bm n c b a ac1 (2 )21k 編輯課件11m km(n)bn c b a ac1 (2 )21k m (n)bckACBCMHaNk 鉛垂線鉛垂線編輯

5、課件123、一般位置直線與一般位置平面相交、一般位置直線與一般位置平面相交編輯課件13編輯課件14一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交輔助平面法：輔助平面法：過直線作一特殊位置的平面，過直線作一特殊位置的平面，先求兩平面的交線，先求兩平面的交線，再求交線與已知直線的交點(diǎn)，再求交線與已知直線的交點(diǎn)，此交點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)。此交點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)。bacdeabcdemnkmnPVk編輯課件15平面與平面的相對位置平面與平面的相對位置編輯課件16一、兩平面平行一、兩平面平行 若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，別

6、與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，則這兩個(gè)平面平行。則這兩個(gè)平面平行。PQABCEFGABEF；ACEGPQ例例53試判斷兩已知試判斷兩已知平面平面ABC和和DEF是否平行？是否平行？例例5-4已知由平行兩直線已知由平行兩直線AB和和CD給定的平面，給定的平面，試過定點(diǎn)作一平面平行該面？試過定點(diǎn)作一平面平行該面？編輯課件17二、兩平面相交二、兩平面相交編輯課件18兩平面相交時(shí)要討論的問題兩平面相交時(shí)要討論的問題： 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定確定交線交線的的兩個(gè)端點(diǎn)。兩個(gè)端點(diǎn)。 先討論兩平面中先討論兩平面中至少有一個(gè)處至少有一個(gè)處于特殊位置于特殊位置的情況。的情況。 判別兩平面

7、之間的相互遮擋關(guān)系，判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：即： 判別可見性。判別可見性。編輯課件19abcedfedfcabklkl空間及投影分析：空間及投影分析：DEF為鉛垂面，為鉛垂面，在在H面投影積聚成直線，面投影積聚成直線，交線應(yīng)在此直線上，交線應(yīng)在此直線上，同時(shí)又在同時(shí)又在abc，故交線的水平投影為故交線的水平投影為kl,再求再求kl.編輯課件20例例1：求矩形平面：求矩形平面P與與ABC的的交線交線MN，并判別可見性，并判別可見性。HACBPacbpHMNnmac b p cpHb作圖過程作圖過程判別判別可見性可見性a mnn m 空間及投影分析空間及投影分析 ABC是一般位置平面，是

8、一般位置平面， 平面平面P是是鉛垂面鉛垂面，其水平投影，其水平投影積聚成直線積聚成直線 pH ，pH與與abc的的交點(diǎn)交點(diǎn)m、n 即為兩即為兩平面交線平面交線MN的的水平性投影水平性投影。編輯課件21ac b p cpba 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面P和和 ABC都都是是鉛垂面鉛垂面，它們，它們的水平投影有的水平投影有積聚性積聚性。ab與與p的的交點(diǎn)交點(diǎn)m(n) 即為兩平面交線即為兩平面交線MN的的積聚性投積聚性投影影。MN為鉛垂線。為鉛垂線。例例2：求矩形平面：求矩形平面P與與ABC的的交線交線MN，并判別可見性，并判別可見性。HACBPacbpMNM(n)n m 作圖過程作圖過

9、程m(n)判別判別可見性可見性編輯課件22aa c b p Pbc可通過正面投影可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別?？臻g及投影分析空間及投影分析平面平面P是是正垂面正垂面，正面投影，正面投影p 積聚積聚成一直線；成一直線； ABC是是一般位置平一般位置平面面。求出。求出ABC的的AC邊邊和和BC邊邊與與平面平面P的的交點(diǎn)交點(diǎn)M和和N，連接連接MN即得兩平面的交線。即得兩平面的交線。 求交線求交線 判別可見性判別可見性作作 圖圖 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線右側(cè)，平面在交線右側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。在上，其水平投影可見。能否不用重能否不用重影點(diǎn)判別？影點(diǎn)判

10、別？能能!如何判別？如何判別？例例3：求矩形平面：求矩形平面P與與ABC的的交線交線MN，并判別可見性，并判別可見性。交點(diǎn)交點(diǎn)的正面投影的正面投影m 、n m n nm編輯課件23二、兩個(gè)一般位置平面相交二、兩個(gè)一般位置平面相交 用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的交線用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的交線abcdefacbdefSvPvmnmnOX編輯課件24小小 結(jié)結(jié)重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：二、如何在平面上確定二、如何在平面上確定直線直線和和點(diǎn)點(diǎn)。三、兩平面平行的條件：一定是分別位于兩平三、兩平面平行的條件：一定是分別位于兩平 面內(nèi)的面內(nèi)的兩組相交直線對應(yīng)平行。兩組相交直線對應(yīng)平行。四、直線與平

11、面的四、直線與平面的交點(diǎn)交點(diǎn)及平面與平面的及平面與平面的交線交線是是 兩者的共有點(diǎn)或共有線。兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：解題思路：空間及投影分析空間及投影分析 目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。判別可見性判別可見性 尤其是尤其是如何利用重影點(diǎn)判別。如何利用重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。編輯課件25要要 點(diǎn)點(diǎn)一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形三個(gè)投影為邊數(shù)

12、相等的類似多邊形類似性類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性積聚性。另外兩個(gè)投影類似。另外兩個(gè)投影類似。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 實(shí)形性實(shí)形性。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。另外兩個(gè)投影積聚為直線。 編輯課件26二、平面上的點(diǎn)與直線二、平面上的點(diǎn)與直線 平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線平面上的直線 過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。 過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題三、平行問題 直線與平面平行

13、直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。直線平行于平面內(nèi)的一條直線。 兩平面平行兩平面平行 必須是一個(gè)平面上的一對相交直線對應(yīng)平行于必須是一個(gè)平面上的一對相交直線對應(yīng)平行于另一個(gè)平面上的一對相交直線。另一個(gè)平面上的一對相交直線。編輯課件27四、相交問題四、相交問題 求直線與平面的交點(diǎn)的方法求直線與平面的交點(diǎn)的方法 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。有性和平面的積聚性直接求解。 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上共有性和直線的積聚性，采取平面上 取點(diǎn)的方法求解。取點(diǎn)的方法求解。 求兩平面的交線的方法求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時(shí)兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時(shí)可找出兩平面的