初中數(shù)學(xué)競賽福建賽區(qū)試題參考答案140

1、建陽外國語學(xué)校八年級下數(shù)學(xué)奧賽興趣班培訓(xùn)資料二2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案（05.26）一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1（甲）如果實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡為（ ） （第1（甲）題）（A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a1（乙）如果，那么的值為（ ）（A） （B） （C）2 （D）2（甲）如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個交點，其中一個交點

2、的坐標(biāo)為（3，2），那么另一個交點的坐標(biāo)為（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）2（乙） 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點坐標(biāo)（x，y）的個數(shù)為（ ）（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）如果為給定的實數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（ ）（A）1 （B） （C） （D）3（乙）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，則CD的長為（ ）（第3（乙）題）（A） （B）4 （C） （D）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“

3、你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù)）的正根小于3， 那么這樣的方程的個數(shù)是（ ）（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）5（乙）黑板上寫有共100個數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，

4、則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6（甲）按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x”到“結(jié)果是否>487？”為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是 .（第6（甲）題）6（乙）. 如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，那么的值為 7（甲）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則DMN的面積是 .（第7（甲）題）（第7（乙）題）7（乙）如圖，的半徑為20，是上一點.以為對角線作矩形，且.延長，與分別交于兩點，

5、則的值等于 8（甲）如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個實數(shù)根分別為，那么 的值為 8（乙）設(shè)為整數(shù)，且1n2012. 若能被5整除，則所有的個數(shù)為 .9（甲）2位八年級同學(xué)和m位九年級同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為 .9（乙）如果正數(shù)x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)若和均為三角形數(shù)，且abc，則的取值范圍是 .10（甲）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別

6、延長BA，CD，交點為E. 作BFEC，并與EC的延長線交于點F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長為 .（第10（甲）題）10（乙）已知是偶數(shù)，且1100若有唯一的正整數(shù)對使得成立，則這樣的的個數(shù)為 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11（甲）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，恒有；關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍11（乙） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， AO = 8，AB = AC，sinABC=CD與y軸交于點E，且SCOE = SADE. 已知經(jīng)過B，C，E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.（第11（乙）題）12（甲）如圖，的直徑為，過

7、點，且與內(nèi)切于點為上的點，與交于點，且點在上，且，BE的延長線與交于點，求證：BOC（第12（甲）題）12（乙）如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線， AC的中點I是ABD的內(nèi)心. 求證：（1）OI是IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）題）13（甲）已知整數(shù)a，b滿足：ab是素數(shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)a2012時，求a的最小值.13（乙）凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于？并說明理由14（甲）求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）將（n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)（可以相同）使得，求的最小值2012-04-16 人教

8、網(wǎng)一 2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題（正題）參考答案    一、選擇題1（甲）C解：由實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以     1（乙）B解：2（甲）D解：由題設(shè)知，所以.解方程組得  所以另一個交點的坐標(biāo)為（3，2）.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一個交點的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）B解：由題設(shè)x2y22x2y， 得02.因為均為整數(shù)，所以有   解得        

9、;以上共計9對.3（甲）D    解：由題設(shè)知，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ， 中位數(shù)為             ，于是                   .3（乙）B解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，連接AE.  （第3（乙）題）

10、0;由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE， BD = AE.又因為，所以.在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得 消去x得                (2y7)n = y+4，        

11、;        2n =. 因為為正整數(shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7 4（乙）C 解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1q5；或 ，1q2，此時都有. 于是共有7組符合題意  5（甲）D 解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是0，1

12、，2，3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所以，因此最大 5（乙）C 解：因為，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變 設(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則 ， 解得                     ， 二、填空題 6（甲）7x19 解：前四次操作的結(jié)果分別為  3x2

13、，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80. 由已知得       27x26487，                    81x80487. 解得  7x19. 容易驗證，當(dāng)7x19時，487 487，故x的取值范圍是 7x19 6

14、（乙）7 解：由已知可得    7（甲）8 解：連接DF，記正方形的邊長為2. 由題設(shè)易知，所以  ， 由此得，所以.  （第7（甲）題） 在RtABF中，因為，所以 ， 于是             . 由題設(shè)可知ADEBAF，所以 ，       . 于是

15、        ， ，                  .   又，所以.  因為，所以. 7（乙） 解：如圖，設(shè)的中點為，連接，則因為，所以 ，   （第7（乙）題） 所以    . 8（甲） 解

16、：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有 =k240， 由此得                           (k3)20   又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=.  故= 8（乙）1610 解：因為=. 當(dāng)

17、被5除余數(shù)是1或4時，或能被5整除，則能被5整除； 當(dāng)被5除余數(shù)是2或3時，能被5整除，則能被5整除； 當(dāng)被5除余數(shù)是0時， 不能被5整除. 所以符合題設(shè)要求的所有的個數(shù)為 9（甲）8 解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知 ， 由此得0b43.      又 ，所以. 于是                 

18、;     043， 87130， 由此得 ，或. 當(dāng)時，；當(dāng)時，不合題設(shè). 故 9（乙） 1     解：由題設(shè)得  所以                   ， 即       

19、0;              . 整理得                         ， 由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得. 又因為 1，所以1. 10（甲） 解：如圖，連接AC

20、，BD，OD.   （第10（甲）題） 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90°. 依題設(shè)BFC = 90°，四邊形ABCD是O 的內(nèi)接四邊形，所以 BCF =BAD, 所以 RtBCFRtBAD ，因此 . 因為OD是O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC，  于是 . 因此 . 由，知因為， 所以 ，BA=AD ，故 . 10（乙）. 12 解：由已知有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)設(shè)，則

21、125 （）若，可得，與b是正整數(shù)矛盾 （）若至少有兩個不同的素因數(shù)，則至少有兩個正整數(shù)對滿足；若恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)不小于3，則至少有兩個正整數(shù)對滿足 （）若是素數(shù)，或恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)為2，則有唯一的正整數(shù)對滿足 因為有唯一正整數(shù)對，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12個 三、解答題 11（甲）解： 因為當(dāng)時，恒有，所以 ， 即，所以         &

22、#160;                 （5分） 當(dāng)時，；當(dāng)時，即 ， 且                    ，   解得     

23、                                     （10分） 設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得  因為，所以 ， 解得，或 因此&#

24、160;                 （20分） 11（乙）解：因為sinABC=，所以 AB = 10 由勾股定理，得 BO=.  （第11（乙）題） 易知ABOACO， 因此 CO = BO = 6.  于是A（0，8），B（6，0），C（6，0）. 設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，n），由SCOE = SADE，得SCDB = SAOB.  所以&#

25、160;                 ， ， 解得n=4.   因此D為AB的中點，點 D的坐標(biāo)為（3，4）.            （10分） 因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點E為ABC的重心，所以點E的坐標(biāo)為. 設(shè)經(jīng)過B，C，E三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析

26、式為y=a（x6）（x+6）. 將點E的坐標(biāo)代入，解得a =.  故經(jīng)過B，C，E三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為 .                （20分） 12（甲） 證明：連接BD，因為為的直徑，所以又因為，所以CBE是等腰三角形  （第12（甲）題）           &#

27、160; （5分） 設(shè)與交于點，連接OM，則又因為，所以               （15分） 又因為分別是等腰，等腰的頂角，所以 BOC            （20分） 12（乙）證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知     &#

28、160;         （第12（乙）題） 所以                         CI = CD 同理，           

29、60;       CI = CB. 故點C是IBD的外心. 連接OA，OC，因為I是AC的中點，且OA = OC， 所以O(shè)IAC，即OICI. 故OI是IBD外接圓的切線.                           &

30、#160;      （10分） （2） 如圖，過點I作IEAD于點E，設(shè)OC與BD交于點F.  由，知OCBD. 因為CBF =IAE，BC = CI = AI，所以 RtBCFRtAIE， 所以BF = AE. 又因為I是ABD的內(nèi)心，所以 AB+ADBD = 2AE = BD. 故AB+AD = 2BD             &#

31、160;                   （20分）  13（甲）解：設(shè)ab = m（m是素數(shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）.  因為                  (a+b)24ab = (ab)2，

32、0;所以                  (2am)24n2 = m2，  (2am+2n)(2am2n) = m2.      （5分） 因為2am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素數(shù))，所以          &#

33、160;  2am+2nm 2，2am2n1. 解得               a，.  于是               = am.           （10分） 又a201

34、2，即2012. 又因為m是素數(shù)，解得m89. 此時，a=2025. 當(dāng)時，. 因此，a的最小值為2025.                        （20分） 13（乙）解：假設(shè)凸邊形中有個內(nèi)角等于，則不等于的內(nèi)角有個 （1）若，由，得，正十二邊形的12個內(nèi)角都等于；                                    （5分） （2）若，且13，由，可得，即11 當(dāng)時，存在凸邊形，其中的11個內(nèi)角等于