高考數(shù)學(xué)--導(dǎo)數(shù)中二次求導(dǎo)的運(yùn)用

1、名師精編歡迎下載高考數(shù)學(xué) -導(dǎo)數(shù)中二次求導(dǎo)的運(yùn)用【理· 2010 全國(guó)卷一第 20題】已知函數(shù) f (x) ( x 1)ln x x 1 .（）若 xf '(x)x2ax1，求 a 的取值范圍；（）證明： ( x1) f ( x)0解析： 先看第一問，首先由f ( x)( x 1)ln x x1 可知函數(shù) fx的定義域?yàn)?0,，易得 f xln xx 1 1 1 ln x 1xx則由 xf '(x)x2ax1可知 x ln x1x2ax1，化簡(jiǎn)得xx ln xx2ax ，這時(shí)要觀察一下這個(gè)不等式，顯然每一項(xiàng)都有因子 x ，而 x 又大于零，所以兩邊同乘1 可得 ln

2、xx a ，所以有 aln xx ，在對(duì) gxln x x 求導(dǎo)有xgx11，即當(dāng) 0 x 1時(shí)，gx 0，g x在區(qū)間0,1上為增函數(shù)； 當(dāng) x1x時(shí)， gx0；當(dāng)1 x 時(shí)， g x 0， gx 在區(qū)間1,上為減函數(shù)。所以 gx在 x1 時(shí)有最大值，即 gxln xxg 11。又因?yàn)?a ln xx ，所以 a1 。應(yīng)該說(shuō)第一問難度不算大，大多數(shù)同學(xué)一般都能做出來(lái)。再看第二問。要證 ( x1) f ( x)0 ，只須證當(dāng)0 x 1 時(shí)， fx 0 ；當(dāng) 1 x 時(shí)， f x 0 即可。由上知 fx1，但用 fx去分析 fx 的單調(diào)性受阻。我們可以嘗試再對(duì)ln x1x11 ，顯然當(dāng)f xln

3、 x求導(dǎo)，可得f x0 x1時(shí)，f x01；當(dāng) xx1xx2時(shí)， fx 0 ，即 fxln x在區(qū)間 1,上為減函數(shù)，所以有當(dāng)0 x1時(shí)，xf xf 1 1 ， 我 們 通 過 二 次 求 導(dǎo) 分 析 f x的 單 調(diào) 性 ， 得 出 當(dāng) 0 x1 時(shí)f x1 ， 則 f x在 區(qū) 間 0, 1 上 為 增 函 數(shù) ， 即 f xf 10，此時(shí)，則有( x1) f (x)0 成立。名師精編歡迎下載下面我們?cè)诮又治霎?dāng)1 x 時(shí)的情況，同理，當(dāng)1 x 時(shí)，fx0，即f x在區(qū)間 1,上 為 增 函 數(shù) ， 則 fxf 1 1 ， 此 時(shí) ， fx為增函數(shù)，所以f xf 10 ，易得 ( x1)

4、f ( x)0也成立。綜上， ( x1) f ( x) 0得證。下面提供一個(gè)其他解法供參考比較。解：（） fxln x1xx ln x1，則 xfx題設(shè) xf '(x)x2ax1等價(jià)于 ln xxa 。令 g xln x x ，則 g x11 。x當(dāng) 0 x 1時(shí)， g x 0；當(dāng) x1時(shí)， g x0， x1 是 gx的最大值點(diǎn)，所以 g xg 11。綜上， a 的取值范圍是1,。（）由（）知，gxg 11，即 ln xx1 0 。當(dāng) 0 x 1時(shí)， f xln xx ln x x 1ln x x ln x1 1xln xx ln110x1x因?yàn)?x1 0，所以此時(shí) ( x1) f (

5、 x)0 。當(dāng) x 1時(shí)， f xln x x ln x x 11110。ln x x lnxx所以 ( x 1) f ( x)0比較上述兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)用二次求導(dǎo)的方法解題過程簡(jiǎn)便易懂，思路來(lái)得自然流暢，難度降低， 否則， 另外一種解法在解第二問時(shí)用到第一問的結(jié)論，而且運(yùn)用了一些代數(shù)變形的技巧，解法顯得偏而怪，同學(xué)們不易想出。不妨告訴同學(xué)們一個(gè)秘密： 熟煉掌握二次求導(dǎo)分析是解決高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題的一個(gè)秘密武器！名師精編歡迎下載【理· 2010 安徽卷第17 題】設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù)x22 ,。f x exa xR（）求fx 的單調(diào)區(qū)間與極值；（）求證：當(dāng)a ln21且 x 0 時(shí)， ex x22ax1 。解析：第一問很常規(guī)， 我們直接看第二問。 首先要構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)g xexx22ax1，如果這一著就想不到，那沒轍了。然后求導(dǎo)，結(jié)果見下表。g x ex2x ag x求導(dǎo)得g x e 22 ，繼續(xù)對(duì)x0,ln 2ln 2ln 2,gx0g減極小值增x由上表可知 gxgln 2，而gln 2eln22ln 22a22ln 22a2 a ln 21 ，由 a ln21知g ln 2 0 ，所以