圓地知識(shí)點(diǎn)總結(jié)材料及典型例題

1、圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)歸納1. 圓的有關(guān)概念：圓、圓心、半徑、圓的內(nèi)部、圓的外部、同心圓、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓；圓心 角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。2. 圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。3. 圓的確定不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。4. 垂直于弦的直徑垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；推論1（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩

2、條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。垂徑定理及推論1可理解為一個(gè)圓和一條直線具備下面五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出另外三個(gè)：過圓心；垂直于弦；平分弦（不是直徑）；平分弦所對(duì)的優(yōu) ??；平分弦所對(duì)的劣弧。推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等。5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；所對(duì)的弦的弦心距相等。推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。此定理和推論可以理解成：在同圓

3、或等圓中，滿足下面四個(gè)條件中的任何一個(gè)就能推出另外三 個(gè)：兩個(gè)圓心角相等；兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等；兩個(gè)圓心角或兩條弧所對(duì)的弦 相等；兩條弦的弦心距相等。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。6. 圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等；推論2半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑；推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。7. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。探8.軌跡

4、 軌跡 符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡。（1）平面內(nèi)，至V定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓;（2）平面內(nèi)，和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；（3）平面內(nèi)，至V已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線。 例題分析例1.已知：如圖1，在。O中，半徑0M丄弦AB于點(diǎn)N。 若AB =，ON = 1，求MN的長； 若半徑 0M = R,/AOB = 120 °，求MN 的長。解：VAB = 2羽，半徑0M丄AB，AN = BN =苗1VON = 1，由勾股定理得0A = 2 MIN = 0M O

5、N = 0A ON = 1V半徑0M丄AB，且ZAOB = 120 zAOM = 60'ON = OA cos ZAON = OM cos60,0M 丄AB 于 N , AO = R, ON = h，貝U AB = 2Rsin n例2.£履-用、AIN-R-hi AM- JISO0=2hta n n2 2說明：如圖1，一般地，若ZAOB = 2n °已知：如圖2，在ABC中，ZACB = 90 °，Z = 25。，以點(diǎn)C為圓心、nD，求的度數(shù)分析：因?yàn)榛∨c垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)； 弧與弧之間還存在著和、差、倍、半的關(guān)系，因此這

6、道題有很多解法，僅選幾種供 參考。交AB于點(diǎn)解法一：（用垂徑定理求）如圖 2 - 1，過點(diǎn)C作CE丄AB于點(diǎn)E,交川口于點(diǎn)F。又 vZACB = 90 °，Z = 25 °，AFCA = 25 °n腫的度數(shù)為25解法二：（用圓周角求）如圖2 2，延長AC交。C于點(diǎn)E,VAE 是直徑，a/ADE = 90 ZXCB = 90 °，啟=25nAD, -的度數(shù)為50 ° o,aZ=/B = 25 °nFD的度數(shù)為50 ° o解法三：（用圓心角求）如圖2 3，連結(jié)CDOvZXCB = 90 °，啟=25 °,aZ

7、 = 65 ° CA = CD , AZADC =ZA = 65 °cADazaCD = 50 °的度數(shù)為50 °AC為半徑作O C,例3.已知：如圖3 , ABC內(nèi)接于。O且AB = AC ,O O的半徑等于6cm , O點(diǎn)到BC的距離 OD等于2cm，求AB的長。析：因?yàn)椴恢? A是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形外部，所以 需分兩種情況進(jìn)行討論。c略解：（1）假若/A是銳角，AABC是銳角三角形。如圖3，由AB = AC，可知點(diǎn)A是優(yōu)弧月匚的 中點(diǎn)，因?yàn)镺D丄BC且AB = AC,根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長線必過點(diǎn)A

8、，連結(jié)BOVBO = 6，OD = 2 二 JO滬-3?二肘- 二 4壓在 Rt AADB 中，AD = DO + AO = 6 + 2 = 8.AE = J 加 + 血=+ (42 = A 賓的（2若/A是鈍角，貝UAABC是鈍角三角形，如圖3 1添加輔助線及求出RD"忑，在 Rt KDB 中，AD = AO DO = 6 2 = 4 .Ab =十 曲=畢十（斗7空=4盡嗆綜上所述AB = 4點(diǎn)'滋或二弧民刪小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置 關(guān)系，防止丟解或多解。例4.已知：如圖4， AB是。O的直徑，弦CD丄AB，F(xiàn)是

9、CD延長線上一點(diǎn)，AF交。O于E。求證：AE EF= EC ED分析：求證的等積式 AE EF= EC ED中，有兩條線段EF、ED在止DF中，另兩條線段AE、EC沒AC，設(shè)法證明AFEDs/ceA即可有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線 證明：連結(jié)AC四邊形DEAC內(nèi)接于圓 zFDE = /CAE，/FED = /DCA n n直徑AB 丄CD zDCA =/CEA ,.ZFED=/CEA ED s/ceADS _胚 配,.AE EF= EC ED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分 析已知條件時(shí)，千萬不要忽略這一重要條件。例

10、5.已知：如圖5，AM是。O的直徑，過。O上一點(diǎn)B作BN丄AM，垂足 為N，其延長線交。O于點(diǎn)C，弦CD交AM于點(diǎn)E。（1）如果CD丄AB，求證：EN = NM ;（2）如果弦CD交AB于點(diǎn)F,且CD = AB，求證CE2 = EF ED;（3）如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長線交于點(diǎn)F,且CD = AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。證明：（1）連結(jié)BM （如圖5 1）AM 是直徑，/ABM = 90 CD 丄AB，ABM /CD zECN = /MBN，又 AM 丄 BC，.CN = BN Rt MEN 李t 注MN，AEN = NM點(diǎn)E是BC垂直

11、平分線AM上r n n n BE= ECCD = AB，.CD 二皿,；AD BC(2)連結(jié) BD，BE，AC (如圖 5 2) zACD =/BDC，又 AB = AC，AE = AE ZABE 也zACE，AZABE = /ACD =/BDC zBED 是公共角 BED s/FEBBE2 = EF ED，ACE2 = EF ED(3 )結(jié)論成立。如圖5 3證明：仿(2)可證ZABE也ACEBE= CE,且 ZABE = ZACE又VAB = CD，廣 廠 ZXCB = /DBC，ABD /AC Z3DE + ZACE = 180 °而/FBE+ZABE = 180AZ3DE =

12、/FBE，而ZBED是公共角'ED s/EBBE2 = EF ED，ACE2 = EF ED（二）直線與圓的關(guān)系1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交占八、直線名稱無切線割線圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系d > rd - r2. 切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。3. 切線的性質(zhì)（1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；（2）推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；（3）推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。此定理及推論可理解為以下三個(gè)條件中任知其中兩個(gè)就可推出第三個(gè)：垂直于切線；經(jīng)過 切點(diǎn)；經(jīng)過圓心

13、。4. 切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。5. 弦切角定理（1 ）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；（2）推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。6. 和圓有關(guān)的比例線段（1）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；（2）推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；（3）切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的 比例中項(xiàng)；（4）推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交

14、點(diǎn)的兩條線段長的積相等。7. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切 多邊形；（2 ）作圖：作一個(gè)圓，使它和已知三角形的各邊都相切。例題分析例6.已知：如圖6，AB是。O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CG切。O于D，DE 丄 AB 于 E。求證：/CDB = /EDB。分析：由ab是。o的直徑，聯(lián)想到直徑的三個(gè)性質(zhì)：(1 )直徑上的圓周角是直角。若連結(jié) AD，則得Rt KBD ;(2) 垂徑定理。如圖6 2，若延長DE交。O于F,則可得DE = EF,(3) 過直徑外端的切線與直徑垂直。如圖 6 3，若過B點(diǎn)作。O的切線BM，則AB

15、丄BM由CD是。O的切線，聯(lián)想到切線的三個(gè)性質(zhì):(1) 過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。如圖 6 1，若連結(jié)0D，貝U OD丄CD ;(2) 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。若連結(jié) AD，則ZCDB = /A;(3) 切割線定理。如圖6，CD2 = CB CA。由DE丄AB于E,聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：(1) Rt ADEB 中兩銳角互余，即/ EDB + /EBD = 90 ° ;(2) 垂徑定理。如圖6 2，只要延長DE交。0于F,則可得到相等的線段，相等的??；(3) 構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。即連結(jié) AD，貝U可得到 ADB是直角三角形，DE是斜邊上 的高，又可得到兩對(duì)相等的銳角，三個(gè)

16、相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定理、面積公式等。證明：連結(jié) AD，如圖6，VAB是直徑，：/ADB = 90DE 丄 AB，a/EDB = ZACD 是O 0 的切線，：/CDB = ZA，aJCDB =/EDB此例題還有許多證法，比如連結(jié) OD，如圖6 1，禾I用切線的定義；又比如延長 DE交。O于F，連結(jié)BF，如圖6 2，利用垂徑定理；還可以過點(diǎn) B作。O的切線交CD于點(diǎn)M，如圖6 3，利用切 線長定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。小結(jié)：此例題證明/CDB =/EDB，即證明BD 是ZCDE的平分線，由此證明可以聯(lián)想到 AD也是/CD AC AD一，蟲DDE 沖ECCr=AC

17、-遲CSIjCDCE . oc文檔疋 0£ - £CTft/)r=fiE AE*OE EC二HE ' 樣GDE的平分線。另外，通過對(duì) 此例題的分析和4中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳角、相等的線段、相等的弧及相似三角形等等，為此可將圖6-4分解成三個(gè)基本圖形。如圖6 - 5，以利于進(jìn)一步理解線段之間的比例關(guān)系。例7.已知：如圖7,點(diǎn)P是半圓0的直徑BA延長線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CD丄AB于D點(diǎn)，若 PA: PC = 1 : 2，DB = 4，求 tan ZPCA 及 PC 的長證明：連結(jié)CBPC切半圓0于C點(diǎn)，：ZPCA = /B vzP = /P，aZPA

18、Cs/pcbAC : BC = PA : PCAC PA tsnan E PC 2AB是半圓0的直徑，/ACB = 90又VCD丄ABAC2 ADAB AD 仆/“d-=一 ,AD = - 勸=一 X 4 二 1曲 BD AB BDBC24'AB = AD + DB = 5 + - - .:- : - - It -PA = -t 2啓二凹 33例8.已知：如圖8，在Rt ZABC中，/B = 90 °，A的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE = DC,以D為圓心，DB長為半徑作O D。求證：（1） AC是。D的切線；(2 ) AB + EB = AC分析：（1 ）欲證

19、AC與。D相切，只要證圓心D到AC的距離等于。D的半徑BD。因此要作DF丄AC于F（2）只要證 AC = AF + FC = AB + EB，證明的關(guān)鍵是證 BE= FC，這又轉(zhuǎn)化為證 EBD也ZFD 證明：（1）如圖8，過D作DF丄AC，F(xiàn)為垂足AD 是/BAC 的平分線，DB 丄AB ,：DB = DF點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑AC是。D的切線(2) VAB丄BD , O D的半徑等于 BD ,AB 是O D 的切線， AB = AF在Rt 經(jīng)ED 和 Rt 舉CD 中，ED = CD , BD = FD ED =/ECD ,.°.BE= FCAB + BE = AF + F

20、C = AC小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半 徑”的方法。此例題屬于后一類例9.已知：如圖9 , AB為O O的弦，P為BA延長線上一點(diǎn)，PE與O O c相切于點(diǎn)E, C為衛(wèi)月中點(diǎn)，連CE交AB于點(diǎn)F。求證:-分析：由已知可得 PE2 = PA PB，因此要證PF2 = PA PB ,只要證 PE= PF。即證ZPFEZPEFo證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點(diǎn)G,連結(jié)ED, zCED = 90 °n點(diǎn)C為丘的中點(diǎn)，：CD丄AB , aZ

21、CFGZDPE為O O切線，E為切點(diǎn) zPEFZD, azPEFZCFGVzCFG=ZPFE,a/PFE=ZPEF,aPE= PFPE2 = PA PB, APF2 = PA PB證明二：如圖9 1，連結(jié)AC、AEnn n點(diǎn)C是呂的中點(diǎn),必，A/CAB = /aecPE 切O O 于點(diǎn) E,AZPEA = /C zPFEZCAB +ZC,ZPEF=ZPEA + ZAECzPFE=/PEF,：PE= PFPE2 = PA PB, APF2 = PA PB例10.(1)如圖10,已知直線AB過圓心O,交O O于A、B，直線AF交O O于F (不與B重合)，直線I交O O于C、D，交BA延長線于E,

22、且與AF垂直，垂足為G,連結(jié)AC、AD圖10求證：/ BAD =/CAG ;（2）在問題（1 ）中，當(dāng)直線I向上平行移動(dòng)，與。O相切時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)你在圖10 - 1中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10標(biāo)記字母；問題（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由 證明：（1）連結(jié)BDVAB 是O O 的直徑，：ZADB = 90zAGC = ZADB = 90 °又VACDB是。O內(nèi)接四邊形zACG = /B，A/BAD =/CAG連結(jié)CFvzBAD =/CAG，/EAG = /FAB/DAE = /FAC 又 v/ADC =/F,azaDE s/afc，：

23、AC AD = AE AF(2)見圖10 1兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下: 連結(jié)BC ,VAB 是直徑，a/ACB = 90 JACB = /AGC = 90 GC 切O O 于 C,azGCA = /ABC zBAC = /CAG (即/BAD =/CAG )連結(jié)CFVzCAG = /BAC , ZGCFZGAC , zGCF=/CAE,/ACF = ZACG ZGFC ,ZE=ZACG /CAEAC _ AF JXCF = /E,azaCF s/aec.AC2 = AE AF (即 AC AD = AE AF)說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，并通過探究式的提問加強(qiáng)了對(duì)學(xué)

24、生 證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注。例11.如圖11，AB是。O的直徑O過AC的中點(diǎn)D , DE丄BC,垂足為E。(1) 由這些條件，你能推出哪些正確結(jié)論？(要求，不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過程中所連輔 助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出 4個(gè)結(jié)論即可)。(2) 若/ABC為直角，其他條件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些新的正確結(jié)論？并畫出圖 形。分析：(1)若連結(jié)DO，可證得DE是O O的切線。若連結(jié)DB，由直徑AB和點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可得AB = BC，ZA = /C等。而且DE丄BC于點(diǎn)E， CT2 = CS * BC 澎=時(shí)又由雙垂圖形，可得(2)連結(jié)DO

25、、OB。方法同上。 答：下列結(jié)論可供選擇，如圖(1 DE是。O的切線CD2(2 )® CE= BE=CE CBDE=BE等。11 1 AB = BC /A = /C DE2 = BE CE©ZC+ZCDE = 90 ° DE = CE DE/AB CB是OO的切線CCD _ CE _ DECD _ CECACB=AB(11)十 BC2 二 AC2(12)DA EB®/A = /CDE = 45®ZC=ZCDE = 45ooOCB2 = CD CA尋找結(jié)論的關(guān)鍵是抓住命題的條件及其特點(diǎn)(尤說明：本題是結(jié)論開放的探索性問題，答案不唯其是利用特殊幾何

26、圖形的判定和性質(zhì))，在幾何中諸如：相等關(guān)系、特殊圖形、兩圖形的關(guān)系等。(三)圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)歸納1. 基本概念(1 )兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義。(2) 兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線、公切線長的定義(3) 兩圓的連心線、圓心距、公共弦。2.圓和圓的位置關(guān)系兩圓的位置1圓心距d與兩圓的外公切線條數(shù)內(nèi)公切線條數(shù)公切線條數(shù)半徑R、r的關(guān)系外離224外切213相交R-r <d < 尺十尸(RNr)202內(nèi)切d = R-r(R >r)101內(nèi)含d cR-r(R >r)0003. 相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦4. 相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓

27、相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上例題分析例12.已知兩圓外切時(shí)，圓心距為10cm，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距為 4cm，求兩圓半徑的長。 解：設(shè)兩圓的半徑分別為 Rcm和r cm。依題意，得R * F = 10._R = 1r=3答：大圓的半徑為7cm，小圓的半徑為3cm。例13.已知：如圖12，兩圓相交于A、B，過點(diǎn)A的直線交兩圓于C、D，過點(diǎn)B的直線交兩圓于E、 F。求證：CE/FD。分析：要證CE/FD，可通過角的關(guān)系證平行，即只要證/ E=/BFD或證ZECD + /D = 180。，若 證ZEZBFD，只需將ZBFD轉(zhuǎn)化成與。01有關(guān)的圓周角，或圓內(nèi)接四邊形的外角，只要連結(jié)AB即可； 若要證ZE

28、CD + ZD = 180。，也需連結(jié)AB，得ZEBA = ZD，ZEBA + /ECD= 180。，則也可得證。證明一：（用同位角證）連結(jié) AB四邊形 EBAC 內(nèi)接于O 01，a/BAD =/E又 v/BFD =/BAD，a/BFD =/ECE/FD證明二：（用同旁內(nèi)角證）連結(jié) AB四邊形EBAC內(nèi)接于。01，z.zC+ZB = 180。，又tb =ZD， z.zC+ZD = 180 °，EC/FD 小結(jié)：兩圓相交時(shí)，常添的輔助線是作兩圓的公共弦（四）正多邊形和圓知識(shí)歸納1. 基本概念正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的中心角以及平面鑲嵌等2.

29、正多邊形的判定與性質(zhì)(1 )把圓分成"lv ' 等份：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正 n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切 正n邊形。(2 )任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。如圖16所示，設(shè)正n邊形的中心角為氐，半徑為R,邊長為去，邊心距為rn，周長為Pn，面積為Sn，則由有關(guān)圖形的性質(zhì)可以推得:廠130°rK -渥込(1)(3)“；(4)4；7b11D(5) *=叫；(6)4. 與圓有關(guān)的計(jì)算圓的面積弓形面

30、積"，L''；(4 )扇形面積(1)圓的周長 門；(如圖16)5. 與圓有關(guān)的作圖(1) 過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓；(2) 作三角形的內(nèi)切圓；(3) 等分圓周(三、六、十二、四、八、五等分)，作正三角形、正四邊形、正六邊形6. 圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖(1 )圓柱的側(cè)面積:(r :底面半徑，h :圓柱高)(2 )圓錐的側(cè)面積:(L = 2冗R，R是圓錐母線長，r是底面半徑)。(n為側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)，R為母線長)。例題分析例14.已知：如圖17，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦 求兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形面積。解：連結(jié)OC、OBAB與小圓相切于點(diǎn) C，AB的長為12cm，設(shè)大圓半徑OB = R，小圓半徑OC = rAB與小圓相切于點(diǎn) C,：OC丄AB，且AC = BCAB = 12 , ABC = 6.J - J - 卅 -.-/。4-例15.在正五邊形 ABCDE中，AC、BE相交于F,若AB = a,略解：如圖18