lilunwuli動(dòng)能定理

1、10 10 動(dòng)能定理動(dòng)能定理10.110.1 力的功力的功10.210.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理10.410.4 功率功率 功率方程功率方程 機(jī)械效率機(jī)械效率 10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能勢(shì)能 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例10.110.1 力的功力的功10.1.1 10.1.1 常力在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功常力在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功 sFWcos功是代數(shù)量，在國(guó)際單位制中，功的單位為功是代數(shù)量，在國(guó)際單位制中，功的單位為 J（焦耳）。（焦耳）。上式也可以寫(xiě)成上式也可以寫(xiě)成sFW 力在全路程

2、上作的功等力在全路程上作的功等于元功之和于元功之和：sFWdcos sFWsdcos0rFdW11dMMWrFkjiFzyxFFFkjirzyxdddd21)ddd(12MMzyxzFyFxFW上兩式也可寫(xiě)成以下矢量點(diǎn)乘形式上兩式也可寫(xiě)成以下矢量點(diǎn)乘形式：10.1.2 10.1.2 變力在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功變力在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功 10.110.1 力的功力的功 力在無(wú)限小位移力在無(wú)限小位移dr中作的功稱(chēng)為中作的功稱(chēng)為元功：元功：在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為三坐標(biāo)軸的單位矢量，則為三坐標(biāo)軸的單位矢量，則力力F從從M1到到M2的過(guò)程所作的功的過(guò)程所作的功根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公

3、式，有 gPm0 xF0yFmgFz21)ddd(12MMzyxzFyFxFW)(2112iiizzgmWiiczmmz)(2112cczzmgW10.1.3 10.1.3 常見(jiàn)力的功常見(jiàn)力的功1 1重力的功重力的功重力重力重力作功為重力作功為 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn) i 的質(zhì)量為的質(zhì)量為mi，運(yùn)動(dòng)始末的高，運(yùn)動(dòng)始末的高度差為（度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：則全部重力作功之和為：在直角坐標(biāo)軸上的投影為在直角坐標(biāo)軸上的投影為21)(d21zzzzmgzmg所以所以10.110.1 力的功力的功質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M 由由M1 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 M2時(shí)，彈時(shí)，彈性力作功為性力作功為

4、kF 00)(rlrkF21d12MMWrFrd0r21d)(012rrrlrkW2 2彈性力的功彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性力彈性力)(2222112kW202201)()(2lrlrk21d)(00rrrlrkrrd)d(212rr)d(21rrrrrdr10.110.1 力的功力的功3 3萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功)11(1221rrmfm萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。式中式中f 為萬(wàn)有引力常數(shù)為萬(wàn)有引力常數(shù) f =6.667

5、10-11m3/（kgs2）rFWMMd211210.110.1 力的功力的功r0r1r2M1M2MFo質(zhì)量為質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)M受到另一質(zhì)量為受到另一質(zhì)量為m1的固定點(diǎn)的固定點(diǎn)O的引的引力力F的作用。由牛頓萬(wàn)有引力定律知的作用。由牛頓萬(wàn)有引力定律知1212023m mm mffrr Frr當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從M1 1運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，引力時(shí)，引力F作的功為作的功為tcosFFddRsrFdWdMWZ21124 4轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)tdFstdFR10.110.1 力的功力的功力力F在切線(xiàn)上的投影為在切線(xiàn)上的投影為力力F的元功為的元功為因?yàn)橐驗(yàn)镕t

6、R等于等于F對(duì)于轉(zhuǎn)軸對(duì)于轉(zhuǎn)軸z的力矩的力矩Mz，于是于是 如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計(jì)如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計(jì)算，其中算，其中Mz為力偶對(duì)轉(zhuǎn)軸為力偶對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢的矩，也等于力偶矩矢M在軸在軸上的投影。上的投影。1 1光滑固定面約束光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束理想約束。2 2活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承軸承d0W Fr10.110.1 力的功力的功10.1.4 10.1.4 理想約束及內(nèi)力的功理想約束及內(nèi)力的功5 5柔性約束（不可伸

7、長(zhǎng)的繩索）柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索） rFrFddW0d)(rFF4 4聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3 3剛體沿固定面作純滾動(dòng)剛體沿固定面作純滾動(dòng)tvFdsrFWsFds010.110.1 力的功力的功質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功BAWrFrFddBArFrFdd)(dBArrF只要只要A、B 兩點(diǎn)間距離保持不變兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。內(nèi)力的元功和就等于零。 剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力的剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力的功之和等于零功之和等于零。)(dBArFrBA10.110.1 力的功力的功 221mv10.2.1

8、 10.2.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能221iivmT設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為動(dòng)能是標(biāo)量，恒取正值。在國(guó)際單位制中動(dòng)能的單位也為動(dòng)能是標(biāo)量，恒取正值。在國(guó)際單位制中動(dòng)能的單位也為J（焦耳）。（焦耳）。.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即10.210.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能iirv 221iivmTZiiJrm2221ZJT 平動(dòng)剛體的動(dòng)能平動(dòng)剛體的動(dòng)能 civv 221iivmTimm221cmvT

9、 icmv2212221iirm2221iirm10.210.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能點(diǎn)點(diǎn)C 質(zhì)心，質(zhì)心， 221PJT 2CCPmrJJ22)(21CCmrJTcCvr222121CcJmvT22)(2121CCrmJ點(diǎn)點(diǎn)P 某瞬時(shí)的瞬心，某瞬時(shí)的瞬心， 角速度角速度10.210.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能10.3.1 10.3.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理FvtmddrtmddddFrvtdd vrrFvvddmWmv)21d(21221222121Wmvmv 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式的矢量形式 因

10、因 得得上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式形式: :即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：式：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。點(diǎn)的力作的功。21122)21d(vvWmv10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分 形式：形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量， 等

11、于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這 段過(guò)程中所作功的和。段過(guò)程中所作功的和。iiiWvm)21d(2niniiiiWvm112)21d(iiiWvm)21(d2iWTdiWTT1210.3.2 10.3.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為為mi，速度為，速度為vi，有，有式中式中Wi 為作用于這個(gè)為作用于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力質(zhì)點(diǎn)上的力Fi作的元功。作的元功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將將n個(gè)方程相加，得：個(gè)方程相加，得：上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量

12、等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。元功的和。上式積分，得：上式積分，得：10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理例例圖示的均質(zhì)桿圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為 k =3kN/m，為使桿能由鉛直，為使桿能由鉛直位置位置OA轉(zhuǎn)到水平位置轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：解：取取OA桿研究對(duì)象桿研究對(duì)象)(212 . 12221kmgW)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022 8 .284

13、. 2303121202021T02T 4 .3888 .28020rad/s67. 30) J (4 .388得得由由WTT1210.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理Fmg 例例: 均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊；滑塊B：m；桿；桿AB：質(zhì)量不：質(zhì)量不計(jì)，計(jì)，平行于斜面。斜面傾角平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)，摩擦系數(shù)f，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：解：取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象cos sin 2mgSfSmgW)cossin2( fSmg 01Tgfa)cossin2(522222221212121 mrmvmvT運(yùn)

14、動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：rv 2245mvT 由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理:)cossin2(0452fmgSmv對(duì)對(duì)求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得)cossin2(25fmgvmvav10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理FNBFBFNAFAmgmg 例例: 圖示系統(tǒng)中圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重各重P，半徑均為，半徑均為R, 兩兩盤(pán)中心線(xiàn)為水平線(xiàn)盤(pán)中心線(xiàn)為水平線(xiàn), 盤(pán)盤(pán)A上作用矩為上作用矩為M(常量常量)的一力偶；重的一力偶；重物物D重重Q。問(wèn)下落距離。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止

15、)10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理QPPQPP解：解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象取系統(tǒng)為研究對(duì)象)(h/R QhMW01T2122221 2121BCAOJvgQJT22222232121221BARgPvgQRgP)78(162PQgvABC1RvARvB2BRv2由運(yùn)動(dòng)分析知：由運(yùn)動(dòng)分析知：h10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理vvBaWTT12由由 )(0)78(162hQRMPQgvRPQhgQRMv)78()(4 thQRMtvvgPQdd)(dd21678上面上面(1)式求導(dǎo)得：式求導(dǎo)得：(1)(1)RPQgQRMa)78()(801T)78(1622PQgvT)dd(thv )(h/R Q

16、hMW10.310.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理10.4.1 10.4.1 功率功率 tWPd因?yàn)橐驗(yàn)?rFdW所以所以 功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為zzMtMtWPddd式中式中Mz是力對(duì)轉(zhuǎn)軸是力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，的矩，是角速度。即：是角速度。即：作用于轉(zhuǎn)動(dòng)作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。剛體上的力的功率等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。10.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱(chēng)為功率，以單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱(chēng)為功率，以P表示。表示。 td

17、dPFvtrFF v取質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，兩端除以取質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，兩端除以dt，得，得 niniiiPtWtT11ddd上式稱(chēng)為上式稱(chēng)為功率方程功率方程，即，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。 每部機(jī)器的功率可分為三部分：輸入功率、無(wú)用功率每部機(jī)器的功率可分為三部分：輸入功率、無(wú)用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫(xiě)成：下，功率方程可寫(xiě)成：無(wú)用有用輸入PPPtTddtTPPPdd無(wú)用有用輸入

18、或或10.4.2 10.4.2 功率方程功率方程 10.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率 ，如一部機(jī)，如一部機(jī)器有器有n級(jí)傳動(dòng)，設(shè)各級(jí)的效率分級(jí)傳動(dòng)，設(shè)各級(jí)的效率分別為別為1、2 、n ,則總效率則總效率為為有效功率有效功率 = = tTPdd有用輸輸入入功功率率有有效效功功率率 機(jī)械效率機(jī)械效率表示機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，它表示機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，它是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然顯然，1n21 ，機(jī)械效率用，機(jī)械效率用表示，即表示，即10.4.3 10.4.3 機(jī)械效率機(jī)械效率 10.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)

19、械效率機(jī)械效率 例：例： 車(chē)床的電動(dòng)機(jī)功率為車(chē)床的電動(dòng)機(jī)功率為5.4 kW。由于傳動(dòng)零件之間。由于傳動(dòng)零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑。如工件的直徑d = 100 mm，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速n = 42 r/min，問(wèn)允許切削力的最大值為多少？，問(wèn)允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為若工件的轉(zhuǎn)速改為n=112 r/min，問(wèn)允許切削力的最大值，問(wèn)允許切削力的最大值為多少？為多少？解：解： 由題意知：由題意知： kW4 . 5輸入PkW62. 1%30輸入無(wú)用PP當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，有用功率為當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，有用功率為 kW78.

20、3無(wú)用輸入有用PPP設(shè)切削力為設(shè)切削力為F，切削速度為，切削速度為v，則，則 302ndFFvP有用即即 有用PdnF6010.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率當(dāng)當(dāng)n=112 r/min 時(shí)，允許的最大切削力為時(shí)，允許的最大切削力為Nk45. 678. 31121 . 060F當(dāng)當(dāng)n=42 r/min 時(shí)，允許的最大切削力為時(shí)，允許的最大切削力為 Nk19.1778. 3421 . 060F有用PdnF6010.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率 例：例： 電動(dòng)機(jī)車(chē)質(zhì)量為電動(dòng)機(jī)車(chē)質(zhì)量為m ，由靜止以勻加速度，由靜止以勻加速度a 沿水平沿水平直線(xiàn)軌道行駛，如

21、電動(dòng)機(jī)車(chē)所受的運(yùn)動(dòng)阻力等于直線(xiàn)軌道行駛，如電動(dòng)機(jī)車(chē)所受的運(yùn)動(dòng)阻力等于kmg (其其中中k是常數(shù)是常數(shù))。求電動(dòng)機(jī)車(chē)的功率。求電動(dòng)機(jī)車(chē)的功率。 解：解：設(shè)電動(dòng)機(jī)車(chē)行駛距離設(shè)電動(dòng)機(jī)車(chē)行駛距離s時(shí)的速度為時(shí)的速度為v，發(fā)動(dòng)機(jī)所做，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為的功為W，由動(dòng)能定理得：，由動(dòng)能定理得：kmgsWmv0212)2(2gvksmgW將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意及及得電機(jī)車(chē)的功率得電機(jī)車(chē)的功率tsvddtvadd)(dgakmgvtWP將將atgakmgP)( atv 代入上式，得：代入上式，得：10.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率 例：例：均質(zhì)圓輪半徑均質(zhì)圓輪半

22、徑r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解：解：取輪為研究對(duì)象，均質(zhì)圓取輪為研究對(duì)象，均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能為輪作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能為222432121cccmvJmvT只有重力作功只有重力作功, ,重力的功率為重力的功率為 vg mPtsmgddsin 10.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率應(yīng)用功率方程：應(yīng)用功率方程：PtTdd得得tsmgtvvmccddsindd

23、24322ddddddccvsssvtttRr因，當(dāng)當(dāng)很小時(shí)很小時(shí)sin,于是得質(zhì)心于是得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程為的運(yùn)動(dòng)微分方程為0)(32dd22srRgts10.410.4 功率功率功率方程功率方程機(jī)械效率機(jī)械效率10.5.1 10.5.1 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng) 如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱(chēng)為完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱(chēng)為力場(chǎng)力場(chǎng)。例：重力場(chǎng)，太陽(yáng)引力場(chǎng)等等。例：重力場(chǎng)，太陽(yáng)引力場(chǎng)等等。 如果物體在力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只如果物體在力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與

24、力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng)（或（或保守力場(chǎng)保守力場(chǎng)）。）。 在勢(shì)力場(chǎng)中，物體受到的力稱(chēng)為在勢(shì)力場(chǎng)中，物體受到的力稱(chēng)為有勢(shì)力有勢(shì)力（或（或保守力保守力）。）。例：重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)，重力、彈性力、萬(wàn)有例：重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)，重力、彈性力、萬(wàn)有引力都是有勢(shì)力。引力都是有勢(shì)力。 10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)M 運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn)M0 ，有勢(shì)，有勢(shì)力所作的功稱(chēng)

25、為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)力所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M 相對(duì)于點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)M0的的勢(shì)能勢(shì)能。以。以V 表表示為示為0dMMVrF 點(diǎn)點(diǎn)M0 稱(chēng)為稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)零勢(shì)能點(diǎn)。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)而言的。零勢(shì)能點(diǎn)零勢(shì)能點(diǎn)而言的。零勢(shì)能點(diǎn)M0可以任意選取，對(duì)于不同可以任意選取，對(duì)于不同的零勢(shì)能點(diǎn)，在勢(shì)力場(chǎng)中同一位置的勢(shì)能可有不同的數(shù)值。的零勢(shì)能點(diǎn)，在勢(shì)力場(chǎng)中同一位置的勢(shì)能可有不同的數(shù)值。0)ddd(MMzyxzFyFxF 10.5.2 10.5.2 勢(shì)能勢(shì)能10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律1 1重力場(chǎng)中的勢(shì)能重力場(chǎng)中的勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)重力質(zhì)點(diǎn)重

26、力mg在各軸上的投影為在各軸上的投影為 0 xF0yFmgFz取取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)點(diǎn)M的勢(shì)能為的勢(shì)能為)(d00zzmgzmgVzz質(zhì)點(diǎn)系重力勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)系重力勢(shì)能 )(0cczzmgV其中其中m為質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量，為質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的為質(zhì)心的z坐標(biāo)，坐標(biāo)，zc0為零勢(shì)為零勢(shì)能位置質(zhì)心能位置質(zhì)心z坐標(biāo)。坐標(biāo)。 幾種常見(jiàn)勢(shì)能的計(jì)算幾種常見(jiàn)勢(shì)能的計(jì)算10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律2 2彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能 設(shè)彈簧的一端固定，另一端與設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為物體連接。彈簧的剛度系

27、數(shù)為k。 取取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則物體在點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，則物體在點(diǎn)M的勢(shì)能為的勢(shì)能為 )(2202kV 如取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則有如取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則有0 = 0，則，則22kV 10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律3 3萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m1 的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為m2的物體的萬(wàn)有引力的物體的萬(wàn)有引力F 作用。作用。 取點(diǎn)取點(diǎn)M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M 的勢(shì)能為的勢(shì)能為rFd0MMV式中式中 f 為引力常數(shù)。為引力常數(shù)。 rrdd0 r因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 1d221rr

28、rrmfmV如選取點(diǎn)如選取點(diǎn)M0 在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即r1=，則，則 rmfmV210221rrmfmFrd02210rrmfmMM)11(2121rrmfm10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，端鉸支，B端由端由無(wú)重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時(shí)彈簧已拉長(zhǎng)無(wú)重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時(shí)彈簧已拉長(zhǎng)0。如彈簧剛度系數(shù)為如彈簧剛度系數(shù)為k， 如質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢(shì)力的作用，各有勢(shì)力可有各自如質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢(shì)力的作用，各有勢(shì)力可有各自的零勢(shì)能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系中的各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能

29、點(diǎn)的一組的零勢(shì)能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系中的各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能點(diǎn)的一組位置，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的位置，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的“零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置”。 質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各有勢(shì)力作功的代數(shù)和稱(chēng)為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能。各有勢(shì)力作功的代數(shù)和稱(chēng)為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能。 0)(FAM020lmglkkmg2010.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，桿于微小擺如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，桿于微小擺角角 處，勢(shì)能為處，勢(shì)能為2lmg2)2(21220lmgllk (1)如重力

30、以桿的水平位置為零如重力以桿的水平位置為零勢(shì)能位置，彈簧以自然位置為零勢(shì)勢(shì)能位置，彈簧以自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則桿于微小擺角能點(diǎn)，則桿于微小擺角處勢(shì)能為處勢(shì)能為kgmlk8212222注意注意 kmg20可得可得 2221lkV20)(21lk1VV)(212020lk2lmg10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有勢(shì)力的功可通過(guò)勢(shì)能計(jì)算。質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有勢(shì)力的功可通過(guò)勢(shì)能計(jì)算。 設(shè)某個(gè)有勢(shì)力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，從點(diǎn)設(shè)某個(gè)有勢(shì)力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，從點(diǎn)M1 到點(diǎn)到點(diǎn)M2，該力所作的功為，該力所作的功為W1

31、2。 取點(diǎn)取點(diǎn)M0 為零勢(shì)能點(diǎn)，則為零勢(shì)能點(diǎn)，則01MM 110VW02MM220VW 因有勢(shì)力的功與軌跡形狀無(wú)關(guān)，從因有勢(shì)力的功與軌跡形狀無(wú)關(guān)，從M1經(jīng)經(jīng)M2到到M0201210WWW21201012VVWWW2112VVW 即即有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的初始和有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的初始和終了位置的勢(shì)能的差。終了位置的勢(shì)能的差。10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和稱(chēng)為機(jī)械能機(jī)械能。 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理1212WTT如只有有勢(shì)力作功，則如

32、只有有勢(shì)力作功，則211212VVWTT 移項(xiàng)后移項(xiàng)后 2211VTVT 即即質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有有勢(shì)力作功，其機(jī)械質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有有勢(shì)力作功，其機(jī)械能保持不變能保持不變。這種質(zhì)點(diǎn)系稱(chēng)為。這種質(zhì)點(diǎn)系稱(chēng)為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 如質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，稱(chēng)為如質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，稱(chēng)為非保守系統(tǒng)非保守系統(tǒng)，非，非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12， 非保守力所作的功為非保守力所作的功為W 12 ，由動(dòng)能定理有，由動(dòng)能定理有121212

33、WWTT2112VVW因因 則則 122112WVVTT121122)()(WVTVT 如如W12為負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能減小，稱(chēng)為負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能減小，稱(chēng)為為機(jī)械能耗散機(jī)械能耗散； 如如W12為正功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能增加，這為正功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能增加，這時(shí)外界對(duì)時(shí)外界對(duì) 系統(tǒng)輸入了能量。系統(tǒng)輸入了能量。10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 例例: 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用初速度地傾倒后，求

34、質(zhì)心的速度（用桿的傾角桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。和質(zhì)心的位置表達(dá)）。 解：解：取桿為研究對(duì)象，由于水平方向不受外力，且初始取桿為研究對(duì)象，由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心靜止，故質(zhì)心C 鉛垂下降。鉛垂下降。由于只有重力作功由于只有重力作功, 因此機(jī)械因此機(jī)械能守恒。取地面為零勢(shì)能面能守恒。取地面為零勢(shì)能面01TmglV211222)dd(21)dd(21tymtJTc)2(2ylmgV222)dd(21)dd(241tymtml10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律由機(jī)械能守恒定律：由機(jī)械能守恒定律：將將代入上式，化簡(jiǎn)后得代入上式，化簡(jiǎn)后得)c

35、os1 (2lytltyddsin2ddtyltddsin2ddtyltddsin2ddygty22sin31sin6dd)2()dd(21)dd(24121222ylmgtymtmlmglmglV2112222)dd(21)dd(241tymtmlT)2(2ylmgV01T10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 例例: 兩根均質(zhì)桿兩根均質(zhì)桿AC和和BC各重為各重為P，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l，在，在C處光滑鉸處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線(xiàn)始終在鉛垂面內(nèi)，初接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線(xiàn)始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，始靜止，C 點(diǎn)高度為點(diǎn)高度為h，求鉸，求鉸

36、C到達(dá)地面時(shí)的速度。到達(dá)地面時(shí)的速度。10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 解：解：取整體為研究對(duì)象：由于只取整體為研究對(duì)象：由于只有重力作功有重力作功, 因此機(jī)械能守恒。取因此機(jī)械能守恒。取地面為零勢(shì)能面地面為零勢(shì)能面01T22223123121lgPlgP lvC分析分析AC桿運(yùn)動(dòng)，桿運(yùn)動(dòng)，PhPhV221102V由機(jī)械能守恒定律：由機(jī)械能守恒定律：ghvC3231CvgPPh A點(diǎn)為其速度瞬心。點(diǎn)為其速度瞬心。22122AJT2231CvgPT 10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律vA 例：例：均質(zhì)圓輪半

37、徑均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解：取輪為研究對(duì)象，此系統(tǒng)解：取輪為研究對(duì)象，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取質(zhì)心的最低位的機(jī)械能守恒，取質(zhì)心的最低位置置O 為重力場(chǎng)零勢(shì)能點(diǎn)，圓輪在為重力場(chǎng)零勢(shì)能點(diǎn)，圓輪在任一位置的勢(shì)能為任一位置的勢(shì)能為同一瞬時(shí)的動(dòng)能為同一瞬時(shí)的動(dòng)能為)cos1)(rRmgV243cmvT 由機(jī)械能守恒，有由機(jī)械能守恒，有0)(ddTVt10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)

38、勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律把把V和和T的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得0dd23ddsin)(tvmvtrRmgcc，rRvtcdd于是得于是得 0sin32dd22gts當(dāng)當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)， rRssin，于是得，于是得 0)( 32dd22srRgts22ddddtstvc因因,rRs10.510.5 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng). .勢(shì)能勢(shì)能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形

39、式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可用量形式，他們都用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)形式有能量轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)形式有能量轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。 應(yīng)用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改應(yīng)用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力。變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力。 應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例解：解：取桿為研究對(duì)象取桿為研究對(duì)象2312lPlgP

40、lg 2/3由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：On0XagPC 2OtPYlgPagPC例：例：均質(zhì)桿均質(zhì)桿OA，重，重P，長(zhǎng)，長(zhǎng)l，繩子突然剪斷。求該瞬，繩子突然剪斷。求該瞬時(shí)，桿的角加速度及時(shí)，桿的角加速度及O處反力。處反力。對(duì)對(duì)O點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理：點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理：PY41O)(OOFMJ10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 xynCatCall0AB例：例：圖示彈簧兩端各系以重物圖示彈簧兩端各系以重物A和和B，放在光滑的水平，放在光滑的水平面上面上, 重物重物A和和B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1、m2, 彈簧的原長(zhǎng)為彈簧的原長(zhǎng)為l0，剛，剛性系數(shù)為性系數(shù)為k。若

41、將彈簧拉到。若將彈簧拉到 l 然后無(wú)初速地釋放，問(wèn)當(dāng)彈簧然后無(wú)初速地釋放，問(wèn)當(dāng)彈簧回到原長(zhǎng)時(shí)，重物回到原長(zhǎng)時(shí)，重物A和和B的速度各為多少？的速度各為多少？10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ll0AB解：解：取整體為研究對(duì)象。取整體為研究對(duì)象。x 0 xF因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以?yīng)用動(dòng)量定理應(yīng)用動(dòng)量定理應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理2200)(21llk（2）BAvmvm210（1）由由(1)(1)、(2)(2)兩式解得：兩式解得：)()(21102mmmllkmvA)()(21201mmmllkmvB021212221BAvmvm10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定

42、理的綜合應(yīng)用舉例m2 gm1 gFBFAvBvA例：例：圖示圓環(huán)以角速度圖示圓環(huán)以角速度繞鉛垂軸繞鉛垂軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)。此圓自由轉(zhuǎn)動(dòng)。此圓環(huán)半經(jīng)為環(huán)半經(jīng)為R, 對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。在圓環(huán)中的點(diǎn)。在圓環(huán)中的點(diǎn)A放一質(zhì)量放一質(zhì)量為為m的小球。設(shè)由于微小的干擾小球離開(kāi)點(diǎn)的小球。設(shè)由于微小的干擾小球離開(kāi)點(diǎn)A，小球與圓環(huán)，小球與圓環(huán)間的摩擦忽略不計(jì)。求當(dāng)小球到達(dá)點(diǎn)間的摩擦忽略不計(jì)。求當(dāng)小球到達(dá)點(diǎn)B和和C時(shí)，圓環(huán)的角速時(shí)，圓環(huán)的角速度和小球的速度。度和小球的速度。ACB10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ACB解：解：取整體為研究對(duì)象。取整體為研究對(duì)象。z1.小球小

43、球AB應(yīng)用動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理 0zM因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以BBmRJJ22mRJJB應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理mgRmmRJJJmgRvB1)(22222222121BBmvJ221J10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例F1zF1yF1xmgFyPFx2.小球小球AC應(yīng)用動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理 0zM因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以CJJC應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理mgR2gRvC2解得解得解得解得222121CCmvJ221J10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx 例：例：如圖所示兩均質(zhì)圓輪質(zhì)量均為如圖所示兩均質(zhì)

44、圓輪質(zhì)量均為m，半徑為，半徑為R，A輪繞輪繞固定軸固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，B輪在傾角為輪在傾角為的斜面上作純滾動(dòng)，的斜面上作純滾動(dòng)，B輪中輪中心的繩繞到心的繩繞到A輪上。若輪上。若A輪上作用一力偶矩為輪上作用一力偶矩為M的力偶，忽的力偶，忽略繩子的質(zhì)量和軸承的摩擦，求略繩子的質(zhì)量和軸承的摩擦，求B輪中心輪中心C點(diǎn)的加速度、點(diǎn)的加速度、繩子的張力、軸承繩子的張力、軸承O的約束反力和斜面的摩擦力。的約束反力和斜面的摩擦力。10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例解：解：取整體為研究對(duì)象。取整體為研究對(duì)象。smgRM)sin(01T2222212121BCCAOJmvJT221mR

45、JJCORvCBA222222)(21(2121)(21(21RvmRmvRvmRTCCC由動(dòng)能定理，得由動(dòng)能定理，得smgRMmvC)sin(02將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得mRmgRMaC2sin2Cmv12WMsinmgs10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 假設(shè)輪假設(shè)輪B的中心的中心C由靜止開(kāi)始由靜止開(kāi)始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)一段距離沿斜面向上運(yùn)動(dòng)一段距離s，則各力所作功的和為，則各力所作功的和為 (2)取輪取輪A為研究對(duì)象。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為研究對(duì)象。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程RFMJTAO其中其中 221mRJORaCA得得 )sin3(41mgRMRF

46、T應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得cosTOxOxFFmasinTOyOyFmgFma因因 aox=aoy=0，得，得cosTOxFFsinTOyFmgFcos)sin3(41mgRMRsin3)sin4(412MmgRR10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 (3)取輪取輪B為研究對(duì)象，為研究對(duì)象，F(xiàn)mgFmaTCsin代入已量，得代入已量，得)sin(41mgRMRF本問(wèn)題也可應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)求解。本問(wèn)題也可應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)求解。 )sin3(41mgRMRFTmRmgRMaC2sinFRJCRaC221mRJC)sin(41mgRMRF

47、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 例例: 均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿為均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。速度和地面約束力。CA10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例CA解：解：取桿為研究對(duì)象。由于水平方向不受力，倒下過(guò)程中取桿為研究對(duì)象。由于水平方向不受力，倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落。質(zhì)心將鉛直下落。cos2lvCPvCC2222)cos311 (212121C

48、CCvmJmvT由動(dòng)能定理，得由動(dòng)能定理，得 )sin1 (2)cos311 (2122lmgvmCglvC321lg3當(dāng)當(dāng) 時(shí)解出時(shí)解出 0P 設(shè)任一瞬時(shí)桿與水平線(xiàn)的夾角為設(shè)任一瞬時(shí)桿與水平線(xiàn)的夾角為，如，如圖所示，圖所示，P為桿的瞬心。為桿的瞬心。 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知由運(yùn)動(dòng)學(xué)知, , 桿的角速度桿的角速度10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例mgFNvCvA桿剛到達(dá)地面時(shí)。桿剛到達(dá)地面時(shí)。 CmaFmgN1222NmlJlFC沿鉛垂方向投影，得沿鉛垂方向投影，得t2CCAlaa4NmgF AC由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得由運(yùn)動(dòng)學(xué)知由運(yùn)動(dòng)學(xué)知10.61

49、0.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例aCtCAaaAFNmgaA由于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)在水平方向守恒，由于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)在水平方向守恒，aC 應(yīng)為鉛垂應(yīng)為鉛垂,以點(diǎn)以點(diǎn)A為基點(diǎn)為基點(diǎn)ntCACACAaaaanCAa例：例：兩個(gè)相同的滑輪兩個(gè)相同的滑輪A和和B，半徑各為，半徑各為R，重量各為，重量各為P，用繩纏繞連接。兩滑輪可視為均質(zhì)圓輪。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始用繩纏繞連接。兩滑輪可視為均質(zhì)圓輪。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求輪運(yùn)動(dòng)。求輪B質(zhì)心質(zhì)心C的速度的速度v及加速度及加速度a與下落距離與下落距離h的關(guān)系。的關(guān)系。ACBh10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ACBh解：解：取整體為

50、研究對(duì)象。取整體為研究對(duì)象。ABvPh由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：BARRvACBABv取輪取輪A為研究對(duì)象為研究對(duì)象FR取輪取輪B為研究對(duì)象為研究對(duì)象RF由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：22)21(21ARgP22)21(21BRgP221vgP0tRgPAdd212應(yīng)用動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理tRgPBdd21210.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例FxFyPPPFFxFyPF由于由于F=F，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以BARv2代入上面的方程，得代入上面的方程，得PhvgP285ghv522上式兩邊求導(dǎo)，得上式兩邊求導(dǎo)，得PvvagP45ga54Ph22)21(

51、21ARgP22)21(21BRgP221vgP0FRtRgPAdd212RFtRgPBdd21210.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：例：圖示三棱柱體圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為的質(zhì)量為m1, 放在光滑的水平放在光滑的水平面上，可以無(wú)摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量為面上，可以無(wú)摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體的均質(zhì)圓柱體O由靜由靜止沿斜面止沿斜面AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)。如斜面的傾角為向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)。如斜面的傾角為,求三求三棱柱的加速度。棱柱的加速度。ABCO10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例ABCO解：取整體為研究對(duì)象。解：取整體為研究對(duì)象。應(yīng)用動(dòng)量

52、定理應(yīng)用動(dòng)量定理x 0 xF因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所?1221rcosvmmmv應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理s0其中其中cos2r12r2122vvvvvrvr)cos(r12vvm11vmsin2gSm21121vm222222)21(2121rmvm10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例FNm2gm1gvrv2v1v1sin)(21cos)(432212122221gSmvmmmmm兩邊求導(dǎo)（注意：兩邊求導(dǎo)（注意： ），得），得1221rcosddvmmmvtSsincos)(cos)(2312212112122221vmmmgmavmmmmm所以所以gmmmma22212

53、1sin232sin10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例例：例：重重150N的均質(zhì)圓盤(pán)與重的均質(zhì)圓盤(pán)與重60N、長(zhǎng)、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB在在B處用鉸鏈連接。處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。的約束反力。解：解：（1 1）由動(dòng)量矩定理求盤(pán)的角）由動(dòng)量矩定理求盤(pán)的角加速度加速度 取圓盤(pán)為研究對(duì)象取圓盤(pán)為研究對(duì)象; 0)(FmB 0BBJ00，圓盤(pán)平動(dòng)，圓盤(pán)平動(dòng)。由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理)(BFmJBB0B13-6 13-6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例（2）用動(dòng)能定理求速度。取系統(tǒng)研究。初始時(shí)）用動(dòng)能定理求速度。取系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ， 最低位置時(shí)：最低位置時(shí)：2221AJT 2221213121BBvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121llGGllGllGWWTT12)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1Bv由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：2221BvgG22163BvgGG10.610.6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例vB