微專題26數(shù)列中有關(guān)奇偶項問題

1、微專題26 數(shù)列中有關(guān)奇偶項問題真題感悟（2019天津卷）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0.已知ai = bi = 3,b2= a3, b3= 4a2 + 3.(1) 求an和bn的通項公式；1, n為奇數(shù)，(2) 設(shè)數(shù)列cn滿足 Cn= bn, n 為偶數(shù).求 aiCl + a2C2+ a2nC2n( n N*).d,等比數(shù)列bn的公比為q(q>0).d = 3,q=3,解（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為3q = 3 + 2d,依題意，得15+ 4d,解得故 an= 3+ 3(n1)= 3n, bn= 3X 3n_1 = 3n.所以an的通項公式為an = 3n, bn的通項公

2、式為bn= 3n.(2)aici + a2C2+ a2nC2n= (ai + a3 + a5+.+ a2n 1)+ (a2b1 + a4b2 + a6b3+ a2nbn)n (n 1)2X 6 + (6X 31 + 12X 32 + 18X 33+ 6nX 3n)=3n2 + 6(1 X 31 + 2X 32+ nX 3n). 記 Tn= 1 X 31 + 2X 32+ nX3n, 則 3Tn= 1 X 32 + 2X 33+ nX 3n+1，一得，2Tn= 3 32 33一3n+ nX 3n+13 (1 3n)1 3+ nX 3n+1(2n 1) 3n+1 + 32(2n 1) 3n+ 32

3、(2n 1) 3n+ 2+ 6n2+ 92(n N*).N*（或它的有限子考點整合1. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成是一個定義域為正整數(shù)集 集1 , 2, 3, 4,，n)的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一系列函 數(shù)值2. 數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集 N*或它的有限子集1 , 2, 3, 4, n為定義域的函數(shù)表達式；如果對應的函數(shù)表達式是分段形式給出的， 則數(shù)列的 通項也分段給出.f3.對于分奇偶給出的數(shù)列通項公式 an=g我們稱為數(shù)列中有關(guān)奇偶項問題.(n),( n為奇數(shù))，(、/粉、對應的數(shù)列問題j (n),( n為偶數(shù))熱點聚焦f)類熱點一 數(shù)列中與奇偶項有關(guān)的求和

4、問題【例1】(2019蘇州測試)已知數(shù)列an滿足an+1 + an= 4n 3(n N*).(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求a1的值；當a1 = 2時，求數(shù)列an的前n項和S;2+ 2(3)若對任意n N*，都有% | an+1 > 5成立，求a1的取值范圍.an + an+1解(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d,貝U an = a1 + (n 1)d, an+1 = a1 +nd.由 an+1 + an = 4n 3, 得1+ nd) + a + (n 1)d =4n 3,1即 2d= 4, 2a1 d= 3,解得 d= 2, a1 = 3. 由 an+1 + an= 4n 3(

5、n N*),得 an+2+ an+1 = 4n+ 1(n N ).兩式相減，得 an+2 an= 4.所以數(shù)列a2n1是首項為a1,公差為4的等差數(shù)列. 數(shù)列a2n是首項為a2,公差為4的等差數(shù)列，由 a2 + a1= 1, a1 = 2,得 a2= 1,所以an2n, n為奇數(shù),2n 5, n為偶數(shù).當n為奇數(shù)時，an = 2n, an+1 = 2n 3.Sn= a1 + a2 + a3 + an=(ai + a2)+ (a3 + a4)+ + (an-2+ an-1) + an=1 + 9+ (4n 11)+ 2nn 12x( 1+ 4n 11)+ 2n 2n2 3n+ 52當n為偶數(shù)時,

6、Sn a1 + a2 + a3+ an(a1 + a2)+ (a3 + a4) + + (an 1+ an)n /、2 (1 + 4n 7) 2n2 3n 1 + 9+-+ (4n 7)綜上，Sn 22n + 5, n為奇數(shù),2°, n為偶數(shù).(3)由(2) 知,an 2n 2 + a1, n為奇數(shù),2n 3 a1, n為偶數(shù).當 n 為奇數(shù)時，an 2n 2+ a1, an+1 2n 1 a1.22,an+ an+1E 22由> 5 得 a2 a1 > 4n2+ 16n 10.an + an+1令 f(n) 4n2+ 16n 10 4(n 2)2 + 6, 當 n 1

7、或 3 時，f(n)max 2,所以 a2 a1 > 2. 解得 a1> 2 或 a1< 1.當 n 為偶數(shù)時，an 2n a一3, an+1 2n + a1. 212r an + an+122由 .> 5 得 a1+ 3a1> 4n2 + 16n 12.an + an+1令 g(n) 4n2 + 16n 12 4(n 2)2 + 4,當 n 2 時，g(n)max 4,所以 a2 + 3a1 >4, 解得a1> 1或aK 4.綜上，a1的取值范圍是(一°°, 4 U 2 ,+x).探究提高 1.第(1)問，已知數(shù)列為等差數(shù)列，故只

8、需要寫出數(shù)列的通項公式，根據(jù)關(guān)于n的一次式恒成立，建立方程組，就能解決問題2. 第(2)問中，要能對n分奇、偶數(shù)討論，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列來求和，這里要弄清等 差數(shù)列的項數(shù)，這是易錯點.3. 第(3)問中，分奇、偶數(shù)分類討論，值得注意的對任意n N*恒成立，故求a1的取值范圍，將奇、偶數(shù)的情形取交集而不是并集.2n，n為奇數(shù)，【訓練1】已知數(shù)列an的通項an=中站 求數(shù)列an的前n項和3n+ 1，n為偶數(shù)，Sn.解 當n為偶數(shù)時，設(shè)n= 2k(k N*)，則 Sn= S2k= (a1 + a3+ a5+ a2k-1)+ (a2 + a4+ a2k)=(2門2 Sn = 3（2n +1-2） + 3X

9、 - + 2n=3n + 2n+ 3（2n+1 - 2）.當n為奇數(shù)時（此時n- 1為偶數(shù)），11）2+ 2（n- 1） + 3（2n- 2） + 2n + 212'綜上可知，Sn =313n2+2n +1 (2n+1-2)，n為偶數(shù).4n2 + 2n+號一12，n為奇數(shù).熱點二數(shù)列中有關(guān)奇偶項的新定義問題【例2】 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知+ 22k-1)+ (3 X 2+ 1)+ (3X 4+ 1)+ (3X 2k + 1)2 一 22k-1 =+ 3X 2(1 + 2+-+ k

10、) + k1 2=3(22k+1 - 2) + 3k2 + 4k.2k-nn- 2-k.Sn= Si-1?n + 223數(shù)列an是等和數(shù)列，且a仁2,公和為5,那么ai8的值為 這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為.解析由題意知，an+ an+1 = 5,且ai = 2,2, n為奇數(shù)，所以an=則ai8 = 3.3, n為偶數(shù)，當n為偶數(shù)時，n5nSn= (2 + 3)+ (2 + 3) + (2 + 3) = 2(2 + 3)=；當n為奇數(shù)時，Sn= (2 + 3)+ (2 + 3)+ (2 + 3)+ 2n 15n 1(2+ 3) + 2=-5n 1故此數(shù)列的前n項和Sn =2 , n為奇

11、數(shù),5n，n為偶數(shù).裂1, n為奇數(shù)，答案 3 Sn =5n，n為偶數(shù)探究提高解決此類信息題的關(guān)鍵是認真審題，準確地領(lǐng)會新的概念所具有的特 點，并加以充分運用【訓練2】(2019南通調(diào)研)若數(shù)列an同時滿足：對于任意的正整數(shù)n,an+1> an 恒成立；對于給定的正整數(shù) k, an-k+ an+k= 2an對于任意的正整數(shù)n(n>k)恒成 立，則稱數(shù)列an是“R(k)數(shù)列”.2n 1, n為奇數(shù)，(1)已知an=込沖町 判斷數(shù)列an是否為“ R(2)數(shù)列”，并說明理由；2n, n為偶數(shù)，已知數(shù)列bn是“R數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p> 1)，使得b3p-3, b3p-1, b3p

12、+ 1, b3p + 3成等差數(shù)列，證明：bn是等差數(shù)列.b3n1 = b2 + (n 1)d = bi+ d H (n 1)d= bi + (3n 1 1)3,an2 + an+2 2(n 2) 1 + 2(n+ 2) 1 2(2n 1) 2an.當 n 為偶數(shù)時，an+1 an (2n+ 1) 2n1>0,所以 an+1an, an2+ an+2 2(n 2) + 2(n+ 2) 4n= 2an.所以數(shù)列an是“ R(2)數(shù)列”.(2)證明由題意可得bn3 + bn+ 3 2bn,則數(shù)列b1, b4, b7,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d1, 數(shù)列b2, b5, b8,是等差數(shù)列，設(shè)其公

13、差為d2,數(shù)列b3, b6, b9,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d3.因為 bn< bn + 1 ,所以 b3n + 1 = b3n+2= b3n+4,所以 b1+ nd1< b2+ nd2<b+ (n+ 1)d1,所以 n(d2 d1)> b1 b2,n(d2 d1)< b1 b2 + d1 .若d2 d1V 0,則當n>；時，不成立；若d2 d1>0,則當n>b d時，不成立；d2 d1若d2 d1 0,則和都成立，所以d1 d2.同理得 d1 d3,所以 d1 d2 d3,記 d1 d2 d3 d.設(shè) b3p 1 b3p 3 b3p+ 1 b3p

14、 1 b3p+ 3 b3p+ 1 入法一(定義法)貝U b3n1 ban 2 b3p1 + (n p)d b3p+1 + (n p 1)d b3p 1 b3p+1 + d d入同理可得b3n b3n 1 b3 n+1 b3n= d入所以bn+1 bn d入所以數(shù)列bn是等差數(shù)列.法-(通項公式法)A b3p1 b3p3 b2 + (p 1)d b3 + (p 2)d b2 b3 + d,b3p+1 b3p 1 b1 + pd b2+ (p 1)d b1 b2+ d,b3p +3 b3p +1 b3 + pd (b1 + pd) b3 b1,以上三式相加可得3 A 2d,所以入一fd, 所以 b

15、3n-2 b1 + (n 1)d b1 + (3n 21)3,d b3n = b3 + (n 1)d = bi + 2+ (n 1)d= bi + (3n 1)3,所以 bn= b1 + (n 1)3,所以 bn +1 bn= 3,所以數(shù)列bn是等差數(shù)列.熱點三數(shù)列中有關(guān)奇偶項的存在性與恒成立問題2an， n = 2k 1，【例3】(2019鹽城三模)已知數(shù)列an滿足a1= m, an+1 =an+ r, n = 2k(k N*, r R),其前n項和為Sn.(1) 當m與r滿足什么關(guān)系時，對任意的n N*，數(shù)列an都滿足an+ 2= an?(2) 對任意實數(shù)m, r，是否存在實數(shù)p與q,使得

16、a2n+1 + p與a2n + q是同一個 等比數(shù)列？若存在，請求出p, q滿足的條件；若不存在，請說明理由.當m= r = 1時，若對任意的n N*，都有Sn> 2a,求實數(shù)入的最大值.解 (1)由題意，得 a1= m, a2= 2a1 = 2m, a3= a2+ r = 2m+ r, 首先由a3 = a1,得m+ r = 0.2an, n= 2k 1,*當 m+ r = 0 時，因為 an+1=(k N ),an m, n = 2k所以 a1 = a3= = a2k1= m, a2 = a4 = a2k= 2m, 故對任意的n N*，數(shù)列an都滿足an+2= an, 即當實數(shù)m, r

17、滿足m+ r = 0時，題意成立.(2)依題意，a2n+1 = a2n+ r = 2a2n1 + r，貝U a2n+1+ r = 2(a2n 1 + r), 因為a1+ r = m+ r，所以當m+ r工0時，a2n+1 + r是等比數(shù)列，且 a2n+1 + r = (a1 + r)2n=(m+ r)2n.為使a2n+1 + p是等比數(shù)列，貝U p= r.同理，當m+ r工0時，a2n + 2r是等比數(shù)列，且 a2n+ 2r = (m+ r)2n,則當a2n+ q是等比數(shù)列時，q = 2r.2.第問中，要注意等比數(shù)列的首項不能為0.綜上所述： 若m+ r = 0,則不存在實數(shù)p, q,使得a2

18、n+1 + p與a2n+ q是同一個等比數(shù) 列； 若m+ r工0,則當p, q滿足q = 2p= 2r時，a2n+1+ p與a2n + q是同一個等 比數(shù)列.法一一 當 m= r= 1 時，由可得 a2n1 = 2n 1, a2n = 21 2,當 n = 2k 時，an = a2k= 21 2,Sn= S2k= (21 + 22+ 2k) + (22 + 23+ 2k+1) 3k=3(2k+1 k2),所以Sn= 31 ank2k+1 2kk+1 k令 Ck= ?k+1 2，貝U Ck+1 Ck = 2k+22 22(1 k) 2k+1 2 (2k+ 2 2)( 2k+1 2) v0,所以2

19、,疋i；當 n = 2k 1 時，an= a2k-1 = 2k 1, Sn = S2k a2k= 3(21 k2) (21 2) = 2k 2 3k 4,Sn3kSn所以an=4-尸，同理可得才1,疋1, 綜上所述，實數(shù)入的最大值為1.2an, n= 2k 1,*法二因為 a1= 1, an+1=(k N ),an+ 1, n = 2k故數(shù)列an中各項都是正數(shù)，故Sn> 1,an而當n= 1時，嚴=1,故實數(shù)入的最大值為1.an探究提高1.一般地，對于數(shù)列問題，我們經(jīng)常通過枚舉數(shù)列中的前幾項找規(guī)律, 然后根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解題第(2)小題本質(zhì)上就是“由遞推關(guān)系求通項公式”；第(3)小題，用

20、的是：分離參數(shù)，分類討論，用作差比較考察數(shù)列的單調(diào)性3.若一個數(shù)列an滿足an+1 = Aan+ B,可以湊成一個等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的通、B項為 an+ C,貝U an+i + C = A(an + C),比較兩式得 C=(Am 1).1【訓練3】(2019蘇州期末)已知數(shù)列an中ai = 1, an+1= 11由(1)知，數(shù)列a2n 2是首項為6公比為3的等比數(shù)列,分 "an 3n,n為奇數(shù),n為偶數(shù).(1) 是否存在實數(shù) 入使得數(shù)列a2n- b是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請說明理由.(2) 若Sn是數(shù)列an的前n項和，求滿足Sn>0的所有正整數(shù)n.1解(1)

21、由已知，得 a2(n+1) = §a2n+1 + (2n+ 1) =3a2n- 3(2n) + 2n+ 1 = *a2n+ 1.1123令 a2(n + 1)3(a2n- b,得 a2(n + 1)= §a2n+ 3 所以 夕131此時，a2 = 3+ 1 2= 6.3所以a2n 2 =1 n 11丄2 3n，1即 a2n= 2所以存在 =3使得數(shù)列a2n b是等比數(shù)列.1由 a2n= §a2n1 + (2n 1)，得 a2n 1 = 3a2n 3(2n 1) =|3寺6n + 3,、3111以 a2n1 + a2n = 2 3 3n 6n+ 3+ 2 3 3n

22、=2 3 n-6n+ 9.所以 S2n = (ai + a2)+ (a3 + a4)+ (a2n-1 + a2n)1 i 21 n=2 3+ 3 + 3 一6(1 + 2+ n) + 9n1 23 3n + 6n 1,3 15從而 S2n-1 S2n a2n 今一 3門2+6門一 .1因為3和一3n2 + 6n 3(n 1)2+ 3在n N*時均單調(diào)遞減，所以 S2n和®n1均各自單調(diào)遞減.計算得 Si 1，S2 3，S3 7，S4 9，所以滿足Sn>0的所有正整數(shù)n的值為1和2.【新題感悟】(2019鹽城模擬)在數(shù)列an中，已知a1 1, a2入滿足a2n 1,a2n1+1，

23、a2n1+2，a2n是等差數(shù)列(其中n2，n N)，且當n為奇數(shù)時，公 差為d;當n為偶數(shù)時，公差為一d.(1) 當A 1，d 1時，求a8的值；當dM0時，求證：數(shù)列|a2n+ 2 a2n|(n N*)是等比數(shù)列；當M1時，記滿足am a2的所有m構(gòu)成的一個單調(diào)遞增數(shù)列為bn，試求數(shù) 列bn的通項公式.(1) 解 由 1，d 1，所以a2 1，又a2，a3，a4為等差數(shù)列且公差為一1，所 以 a4 a2 2 1，又a4，a5，a8為等差數(shù)列且公差為1， 所以 a8 a4 + 4 3.(2)證明當n 2k+ 1時，a22k，a22k+1，a22k+ 2，a22k+1是等差數(shù)列且公差為d，所以

24、a22k+1 a22k + 22kd，同理可得a22k a22k 1 22k 1d，兩式相加， 得 a22k+1 a22k 1 22k 1d；當 n 2k 時，同理可得 a22k+2 a22k 22kd， 所以 |a2n+2 a2n| 2nd.又因為dM 0,所以n+ 2n.|a2 a2 |n+1 n 11|a2 a2|務-2( n2)，所以數(shù)列|a2n+2-a2n|(n N )是以2為公比的等比數(shù)列.解 因為a2入 所以a4 a2 2d 2d,由(2)知 a22k+1 a22k 1 + 22k 1d,所以 a22k+1 a22k-1 + 22k 1d a22k-3 + 22k3d + 22k

25、-1d,依次下推，得 a22k+1 az1+ 21d+ 23d+-+ 22k 3d + 22k 1d, 所以 a22k+1 + |(22k- 1)d,當 22k+1< n< 22k+ 2 時，an a22k +1-(n- 22k+1)d22k + 3 + 丁 n由 am= a2,得m=+ 32?2k+322門 + 22所以b2k =-3 所以bn=- §n為奇數(shù))； 由(2)知 a22k +2 = a22k 22kd= a22k-2 - 22k-2d- 22kd, 依次下推，得 a22k+ 2 = a22- 22d- 24d22k-2d- 22kd,所以 a22k+ 2=

26、 2d-4(2；- 1)d,當 22k+2< nW 22k+ 3 時,an= a22k+2+ (n 2)d A+ n22k+ 422k+422?k+4 2由 am a2,得 m 3 + 3，所以 b2k+2 3 +所以bn牛+ 2（n為偶數(shù)）綜上所述,-bn+2rl+322- 3-2n+32（n為偶數(shù)），（n為奇數(shù)）專題W練時接高割求煮1 n 1*1設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且an 4+ -，若對任意n N，都有 Kp（S-4n） 3,求實數(shù)p的取值范圍1；1n1- 2解 令 f(n)= Sn-4n= 4n+廠4n =1- 22 1 n3 12 .2q n當n為奇數(shù)時，f(n)= 1

27、+ 2 單調(diào)遞減，則當n= 1時，f(n)max12；21 n當n為偶數(shù)時，f(n)= 2 1 2 單調(diào)遞增，則當n = 2時，f(n)min：所以對任意n N*，都有 K p(Sn4n)< 3,*13即對任意n N , 4n三卩三s 4n，所以2=3.故p的取值范圍為2, 3.2.在等差數(shù)列an中，已知公差d = 2, a2是a1與a4的等比中項.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè) bn = an (n+ 1)，記 Tn= b1+ b2 b3 + b4+2(1)%,求 Tn.解 (1)由題意知(a1 + d)2= a1(a1 + 3d), 即(a1 + 2)2= a1(a1 +

28、6),解得 a1 = 2, 所以數(shù)列an的通項公式為an= 2n.(2) 由題意知 bn= an (n+ 1) = n(n+ 1),2所以 Tn= 1 x2 + 2X3 3X4+-+ ( 1)nn (n+ 1).因為bn+1 bn = 2(n+ 1),可得當n為偶數(shù)時，Tn= ( b1 + b2)+ ( b3+ b4)+ ( bn 1+ bn)24+ 8+ 12+ 2n =n (n + 2)2n /、2 (4+2n)當n為奇數(shù)時,Tn = Tn 1 + ( bn)=(n 1)( n+ 1)n(n+ 1)=(n+ 1) 22（蔦1）, n為奇數(shù)，所以Tn n（羅2）, n為偶數(shù).3.（2019徐

29、州三模）等差數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足ai3, b1 1, b2 + S2 10, a5 2b2 a3.求數(shù)列an和bn的通項公式;22, n為奇數(shù)，令cn $設(shè)數(shù)列Cn的前n項和為Tn,求T2n.bn, n為偶數(shù)，解（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d,數(shù)列bn的公比為q,貝U b2+ ' J。'a5 2 b2 a3.q + 6+ d= 10,d = 2,即解得3+4d 2q = 3 + 2d,q 2,所以 an 3+ 2(n 1) 2n+ 1, bn 2n 1.n (a1 + an), 小、由 a1 3, an 2n+ 1 得 Sn2 n(n + 2),則Cn

30、 =,n為奇數(shù)，即- n-出，偽奇數(shù),2n 1, n為偶數(shù)，2n1, n為偶數(shù)，T2n=(C1 + C3+ + C2n 1)+ (c2 + C4 + C2n)1 1 + 11 + +13 + 35 +2n 1 2n+ 1+ (2 + 23+-+ 22n1)12 (1 4n)1 一 +2n+ 11 4盤+3(4n-1).1 2 14.（2019連云港模擬）設(shè)正項數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足Sn=才*2+為九正項等比數(shù)列bn滿足 b2 a2, b4 as.（1）求數(shù)列an , bn的通項公式；an, n 2k 1,*設(shè)Cn其中k N .數(shù)列Cn的前n項和為Tn,求所有正整數(shù)bn, n 2k,1.

31、m的值，使得盤恰好為數(shù)列©中的項.1 1解 (1)因為an>0,當n= 1時，ai =尹彳+qai，解得ai1 2 ii 21又 Sn= 2*n+ 2*n，故當 n2 時，Sn-1 = qan-1 + 2*n-1,兩式相減并整理得a an-1) 1(an+ an-1)= 0.又因為an>0,所以an+ an-10,所以 an an-1 = 1(n2),所以an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以 an= a1 + (n 1) x 1 = n.設(shè)bn的公比為q(q>0).由 bn= an, b4= a6,得 qn=芒=豈=3,所以 q= ,3. 所以 bn= bnq

32、n-n= 2(.3)n-n.(2)由題意得Cn =n, n = 2k- 1,2 32- 1, n = 2k(k N*),所以 T2m= (a1 + a3+ a2m-1) + (b2+ b4 + b2m)m (1 + 2m 1)2 (1- 3m)2+1-3=3m+ m2- 1,Tnm-1 = Tnm- bnm= 3m+ m2- 1-2x 3m-1 = 3m-1 + m2- 1,Tnm _ 3m+ m2- 1 _2 (nf 1)Tnm-1 = 3m 1 + m2 1 = 3 3m1 + m2-產(chǎn)3,故若爭為Cn中的項,則只能為C1, C2, C3.若3 2 (m2- 1)3m-1 + m2 1C1

33、 =1,則3m-1 = 0,所以m無解若3 2 (m2- 1)3m1 + m2 1cn = 2,貝U 3m-1 + 1 m2 = 0,顯然m= 1不合題意，m= 2符合題意.2m,當 m3 時，令 f(m) = 3m 1 + 1 m2,貝 U f'n(= 3m1ln 3 設(shè) g(m)= 3m1ln 3 2m,貝U g'm) = 3m-1(ln 3)2 2>0,即 f'm)= 3m1ln 3-2m 為增函數(shù)，故 f'm)f' (3)0,即 f(m)為增函數(shù)，故 f(m)>f(3) = 1>0.故當m3時方程3m-1 + 1 m2 = 0無

34、解， 即m= 2是方程3m1 + 1 m2= 0的唯一解.2( m2 一 1)若3 2 = C3= 3, 則m2= 1,即m= 1(舍負).綜上所述，m= 1或m= 2.an + 2， n 2k 1，5. (2019徐州期末)在數(shù)列an中，已知a1 1， a2 2， an+2 3an，n 2k (k N*).(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 求滿足2an+1 an+ an+2的正整數(shù)n的值；(3) 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,問是否存在正整數(shù) m, n,使得®n mSzn 1 ?若 存在，求出所有的正整數(shù)對(m, n);若不存在，請說明理由.解(1)由題意，數(shù)列an的奇數(shù)項構(gòu)成以

35、a1 1為首項，公差為2的等差數(shù)列； 偶數(shù)項構(gòu)成以a2 2為首項，公比為3的等比數(shù)列.所以對任意正整數(shù)k, a2k1 2k 1, a2k 2x 3k 1.所以數(shù)列an的通項公式為n, n 2k 1,*ank N .2 321, n 2k,(2) 當n為奇數(shù)時，由2an+1 an+ an+2,n+1得 2x 2x 3丁 1 n+n + 2,n1x 1(,3)xx ln 3 1所以 2x 3 2 n+1,令 f(x) 2x 3 2 x 1(x> 1),3x ln 3 1In 31> 0,可知f(x)在1 ,+x)上是增函數(shù),所以 f(x)f(1) 0,3n 1所以當且僅當n= 1時，滿

36、足2x3 2 = n+ 1，即卩2a2 = ai + a3.當n為偶數(shù)時，由2an+1 = an + an+ 2,n+22(n+ 1) = 2X 32 1 + 2X 3匚n n即 n + 1 = 32 1 + 32,上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，因此不成立綜上，滿足2an+1 = an+ an+2的正整數(shù)n的值只有1.(3) S2n= (a1+ a3+ a2n 1) + (a2 + a4+ a2n)3n+ n2 1,n N*.n (1 + 2n 1)2 (1 3n)2+13S2n 1 = S2n 一 a2n = 3“ 1 + n2 1.假設(shè)存在正整數(shù)m, n,使得S2n= m®n1,則 3n+ n2 1= m(3n 1 + n2 1),所以 3n1(3 m)= (m 1)(n2 1), (*)從而3 m>0,所以mW3, 又 m N*，所以 m= 1 , 2, 3.當m= 1時，(*)式左邊大于0,右邊等于0,不成立；當m= 3時，(*)式左邊等于0,所以2(n2 1) = 0, n= 1,所以S2= 3S1;當 m= 2 時，(