橢圓的簡單幾何性質(zhì)離心率專題

1、標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關(guān)的關(guān)系系22221(0)xyabab關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱

2、長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b.b.(a(ab)b)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba222211121,;,( ,0),xyPPabPOPPOcPPPP、點 是橢圓（ab0）上的一動點，當(dāng) 坐標(biāo)為_時到原點 的最大距離為_ 當(dāng) 的坐標(biāo)為_時 到原點 的最小距離為_，設(shè)F則當(dāng) 的坐標(biāo)為_時 F 的距離最大為_，的坐標(biāo)為_時 F 的距離最小為_。二.離心率的常見題型及解法題型一：定義法例1.已知橢圓方程為 + =1，求橢圓的離心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c

3、帶公式求帶公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.幾何意義：幾何意義：e e為為OPFOPF2 2的正弦值的正弦值3. 3. 已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 變式訓(xùn)練1： 若橢圓 + =1的離心率為1/2，求m的值.222cea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 221bea題型二：方程法例2.依據(jù)a,b,c,e的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c,的齊次式，解出e即可，但要注意橢圓離心率范圍是0eb0)+ =1(ab0)的三個頂點為的三個頂點為B B1 1 (0(0，-b)-b)，B B2 2 (0(0

4、，b),A(a,0),b),A(a,0),焦點焦點F(c,0)F(c,0)且且B B1 1FFABAB2,2,求該橢圓的離心率。求該橢圓的離心率。22ax22byB B2 2 (0(0，b)b)B B1 1 (0(0，-b)-b)A(a,0)A(a,0)F(c,0)F(c,0)x xoy y 練習(xí) 2 ：已知一橢圓的短軸長與焦距長相等，求橢圓的離心率。五.小結(jié)1.知識點：求離心率的兩種常規(guī)方法：（1）定義法:求a,c或a、c的關(guān)系；（2）方程法:根據(jù)題上的相等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次式，解出e.2.思想方法： 方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想22221(0)xya bab 練習(xí)2、（1），則橢圓的長軸

5、長_，短軸長_,離心率_ （2）若橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則其離心率為_221(0)mxym（3）已知橢圓）已知橢圓 的長軸是短軸的的長軸是短軸的2倍倍則則m=2a2bc/a高考鏈接（2012新課標(biāo)全國卷）設(shè)F1和F2是橢圓 + =1(ab0)的左、右焦點，P為直線 x= 上一點， F2 P F1是底角為30的等腰三角形， 求該橢圓的離心率。22ax22bya23F2 (c,0)xoyF F1 1 (-c,0) (-c,0)x=3a/2x=3a/2P302c2cc2c=3a/22c=3a/2221222125.1,(0),.xyabF FabPFPFP例 已知橢圓是兩個焦點，是橢

6、圓上一點，求最大時 點坐標(biāo) yoF1 1F2 2xP21PFF證明：設(shè)2211| ,|tPFtPF令212222124cost tctt由橢圓的第一定義得：att221212212212122221242)(24cost tct tttt tctt2121222244t tt tca12cos212t tb,)2(222121attt t又)(21時取等號當(dāng)tt 12cos22ab最大。時，即當(dāng)21), 0(PFFbP例例4 4 設(shè)設(shè)F F1 1、F F2 2為橢圓為橢圓 的兩焦點，若橢圓上存在點的兩焦點，若橢圓上存在點P P，使，使 F F1 1PFPF2 26060，求橢圓離心率的取，求橢

7、圓離心率的取 值范圍值范圍. .222210 xyabab1 ,1)2eF F1 1O OF F2 2x xy yP P典型例題典型例題22121212( 3,0)(3,0)112032xyPmnPP1、已知F、F是橢圓的兩個焦點， 是橢圓上的點，當(dāng) FF時， FF的面積最大，則有（ ）A m=12,n=3 B m=24,n=6C m=6,n= D m=12,n=6 A122112 FFFP QPFPQ PFPQ、 、 為橢圓的兩個焦點，過 的直線交橢圓于 、 兩點且，求橢圓的離心率。Q QBOyxF1F2MP P六.課后練習(xí)2.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1和F2 ，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓

8、于點P，若為F2PF1等腰直角三角形，求橢圓的離心率.1.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距長成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率.3.3.已知橢圓的兩個焦點為已知橢圓的兩個焦點為F F1 1和和F F2 2，A A為橢圓上一為橢圓上一點點 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2，AFAF1 1F F2 2=60=60，求該橢圓的，求該橢圓的離心率。離心率。1.1.橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率 ，長軸長為，長軸長為6 6，則橢圓的方程則橢圓的方程 為為（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C

9、)(D)15y9x22 或或或或C2.若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率差數(shù)列，則其離心率e=_已知橢圓 的離心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k練習(xí)2：已知橢圓 的離心率 ，求 的值 ）（111522kkykx21ek練習(xí)3：例例4 4：點點M(x,y)M(x,y)與定點與定點F(4,0)F(4,0)的距離和它到定

10、直的距離和它到定直線線l l:x = :x = 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點，求點M M的軌跡的軌跡。42554xyoFMlF1l( (橢圓的第二定義橢圓的第二定義) )準(zhǔn)線方程：準(zhǔn)線方程：cxa21.1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e、幾幾何意義：何意義：a a- -長長半半軸軸、b b- -短短半半軸軸、c c- -半焦距，半焦距，e e- -離心率；離心率； 相相互關(guān)系：互關(guān)系： 橢圓中的基本元素橢圓中的基本元素2.2.基本點：基本點：頂點、焦點、中心頂點、焦點、中心3.3.基本線基本線: : 對稱軸對稱軸（共兩條線），（共兩條線），準(zhǔn)線準(zhǔn)線222baca

11、ce 焦點總在長軸上焦點總在長軸上! !課堂小結(jié)課堂小結(jié)ca2ca2-準(zhǔn)線準(zhǔn)線例3：22594511312FxyPAPAPF已知 是橢圓的左焦點， 是橢圓上動點點（， ）是一定點（）求的最小值變式變式2234121112FxyPAPAPF已知 是橢圓的左焦點， 是橢圓上動點點（， ）是一定點（）求的最小值直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系種類:相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點) 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定代數(shù)方法代數(shù)方法222201AxByCxyab由方程組20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程組有兩解兩個交點相交方程組有一解一個交點相切方程組無解無交點相離1.1.

12、位置關(guān)系：相交、相切、相離位置關(guān)系：相交、相切、相離2.2.判別方法判別方法( (代數(shù)法代數(shù)法) ) 聯(lián)立直線與橢圓的方程聯(lián)立直線與橢圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)(1)00直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2)(2)=0 =0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)(3)0 k-3366-k33當(dāng) =時有一個交點當(dāng)或時有兩個交點當(dāng)時沒有交點lmm oxyml解：設(shè)直線 平行于 ，224501259xykxy由方程組22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（

13、）450lxyk則 可寫成：12k25k25解得=，=-25.k 由圖可知 oxy45250mxy直線 為：22402515414145mld直線 與橢圓的交點到直線 的距離最近。且思考：最大的距離是多少？max22402565414145d設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )兩點，直線兩點，直線P P1 1P P2 2的斜率為的斜率為k k弦長公式：弦長公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知識點知識點2：弦長公式：弦長公式可推廣到任意二次曲線例例3 3：已知斜率為已知斜率為1 1的直線的直線L

14、 L過橢圓過橢圓 的右焦點，交橢圓于的右焦點，交橢圓于A A，B B兩點，求弦兩點，求弦ABAB之長之長222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例5 ：已知橢圓：已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式來構(gòu)造韋達(dá)定理法：

15、利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式來構(gòu)造知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題例例 5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點坐標(biāo)和斜率出中點坐標(biāo)和斜率點點作差作差知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題點差法：點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy設(shè)中點，01

16、20122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在橢圓上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點問題，常用設(shè)而不求的思想方法 例例5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y

17、)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有一條兩點的直線有且只有一條解后反思：中點弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點中點”這這一一 條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，練習(xí)： P49：A8例例6、如圖，已知橢圓如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點，兩點， AB的中點的中點M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2

18、)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以A為中點為中點橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的

19、直線方程.22:(1)195xy解橢圓(2,0)F2lyx直線 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦長練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以A為中點為中點橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在橢圓內(nèi)。1122( ,),(,)AMNM x yN x y設(shè)以 為中點的弦為且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy兩式相減得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 為中點的弦為方程為:59140 xy