勾股定理與幾何最值問題

1、1. 你對剛才動畫是怎樣你對剛才動畫是怎樣理解的？看了之后你想理解的？看了之后你想到了什么？到了什么？ 我思考我思考,我進步我進步?jīng)]有思考，就沒有進步?jīng)]有思考，就沒有進步3.小村民中小村民中 李艷玲李艷玲4.數(shù)學的靈魂是什么？數(shù)學的靈魂是什么？ 數(shù)學思想數(shù)學思想5.數(shù)學家的智慧：數(shù)學家的智慧：有人提出了這樣一個問題：有人提出了這樣一個問題：“假設(shè)在你面前假設(shè)在你面前有有 煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當怎樣去做？水，應(yīng)當怎樣去做？”6.這就是這就是 匈牙利著名數(shù)學家羅莎匈牙利著名數(shù)學家羅莎彼彼 得在他的名著得在他的名著無窮的玩藝無窮的玩藝中，通過

2、一個生動有趣的笑話，來中，通過一個生動有趣的笑話，來說明數(shù)學家是如何用說明數(shù)學家是如何用化歸化歸的思想方法解題的。的思想方法解題的。追問：追問：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做？中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做？”物理學家的答案：物理學家的答案：“點燃點燃 煤氣，再把水壺放上去。煤氣，再把水壺放上去?！睌?shù)學家的答案：數(shù)學家的答案：“只須把水壺中的水倒掉，問題就只須把水壺中的水倒掉，問題就 轉(zhuǎn)化為前面所說的問題了轉(zhuǎn)化為前面所說的問題了”。數(shù)學家的智慧：數(shù)學家的智慧：7. 所謂所謂化歸思想化歸思想，就是將一個較為

3、復(fù)雜的問，就是將一個較為復(fù)雜的問題通過轉(zhuǎn)化變形，使其歸結(jié)為另一個較為簡題通過轉(zhuǎn)化變形，使其歸結(jié)為另一個較為簡單的問題，從而使問題得到解決單的問題，從而使問題得到解決 常用的化歸方法有：立體問題轉(zhuǎn)化為平面常用的化歸方法有：立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題；折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題；多元問題轉(zhuǎn)問題；折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題；多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題化為一元問題，高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題 8.立體圖形中的最短距離問題立體圖形中的最短距離問題9.螞蟻怎樣走最近螞蟻怎樣走最近 立體圖形中的最值立體圖形中的最值問題問題1 110.AB101010BCA1010 立體圖形中的最值立體圖形中的最值小結(jié)：

4、小結(jié)： 把正方體表面展開，就把立體圖形中的問題把正方體表面展開，就把立體圖形中的問題 轉(zhuǎn)化為平面問題解決。轉(zhuǎn)化為平面問題解決。問題問題1 111.拓展拓展1 1：正方體：正方體 長方體長方體 把問題把問題1中的正方體變?yōu)殚L方體，中的正方體變?yōu)殚L方體，長方體的長為長方體的長為4cm,寬為寬為2cm，高為，高為1cm的長方體，螞蟻從的長方體，螞蟻從A到到B沿著表沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB12.(1)經(jīng)過前面和上底面經(jīng)過前面和上底面;(2)經(jīng)過前面和右側(cè)面經(jīng)過前面和右側(cè)面;(3)經(jīng)過左側(cè)面和上底面經(jīng)過左側(cè)面和上底面.AB24AB1C421BCA421B

5、CA13. 沒有歸納總結(jié)沒有歸納總結(jié),就沒有提高就沒有提高問題拓展問題拓展： 設(shè)長方體的長、寬、高分別為設(shè)長方體的長、寬、高分別為a a、b b、c c，且，且a ab bc c，則小螞蟻從，則小螞蟻從A A爬到爬到B B的最短路徑是的最短路徑是提示：提示：；比較比較 的大小的大小2+a2 2（b+c）b+c）、2+c2 2（a a+ +b b）2+b2 2（a a+ +c c）、22()abc即比較即比較abab、bcbc、acac的大小。的大小。14.拓展拓展2 2 長方體長方體 圓柱體圓柱體 如圖所示，有一個高為如圖所示，有一個高為12cm，底面半徑為，底面半徑為3cm的圓柱，的圓柱，在

6、圓柱下底面的在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到圓柱上底面點有一只螞蟻，它想吃到圓柱上底面上與上與A點相對的點相對的B點處的食物，問這只螞蟻沿著側(cè)面需點處的食物，問這只螞蟻沿著側(cè)面需要爬行的最短路程為多少厘米？要爬行的最短路程為多少厘米？( 的值取的值取3)AB 立體圖形中的最值立體圖形中的最值A(chǔ)B15. 沒有歸納總結(jié)沒有歸納總結(jié),就沒有提高就沒有提高 立體圖形上兩點間的最短立體圖形上兩點間的最短問題一般都是通過把立體圖問題一般都是通過把立體圖形的表面展開成平面圖形，形的表面展開成平面圖形，再利用再利用“兩點間距離最短兩點間距離最短”的方法解決。的方法解決。方法指導(dǎo)：方法指導(dǎo)：16.聰明的葛

7、藤聰明的葛藤 葛藤是一種刁鉆的植物，它自葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了得到陽光的沐己腰桿不硬，為了得到陽光的沐浴，常常會選擇高大的樹木為依浴，常常會選擇高大的樹木為依托，纏繞其樹干盤旋而上。如圖托，纏繞其樹干盤旋而上。如圖(1)(1)所示。所示。 葛藤又是一種聰明的植物，葛藤又是一種聰明的植物，它繞樹干攀升的路線，總是沿著它繞樹干攀升的路線，總是沿著最短路徑最短路徑螺旋線前進的。若螺旋線前進的。若將樹干的側(cè)面展開成一個平面，將樹干的側(cè)面展開成一個平面，如圖（如圖（2 2），可清楚的看出葛藤），可清楚的看出葛藤 在這個平面上是沿直線上升的。在這個平面上是沿直線上升的。（1）（2）數(shù)學

8、奇聞17.ABC20尺37=21（尺）聰明的葛藤18. 生活中常會遇到最短距離問題，建設(shè)生活中常會遇到最短距離問題，建設(shè)中常常會遇到最佳位置的選擇問題。中常常會遇到最佳位置的選擇問題。例如例如: 將軍飲馬（古代將軍飲馬（古代)問題，問題， 抽水站的最佳位置，抽水站的最佳位置， 建橋問題建橋問題 這些問題都可以化歸為：這些問題都可以化歸為：平面中線段和的最值問題。平面中線段和的最值問題。19. 問題問題. 如圖，在河邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，為節(jié)約材料，要使它到兩個村莊的距離最短，請你確定水泵站的位置？AB河邊 平面圖形中的線段最值平面圖形中的線段最值20. 進一步思考（將軍飲馬）

9、如圖，在河邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，為節(jié)約材料，要使它到兩個村莊的距離最短，請你確定水泵站的位置？C河邊A1AB利用對稱：將利用對稱：將兩條線段的和兩條線段的和轉(zhuǎn)化到一條直轉(zhuǎn)化到一條直線上線上，運用兩，運用兩點之間線段最點之間線段最短求最小值短求最小值 平面圖形中的最值平面圖形中的最值同側(cè)兩點向異側(cè)轉(zhuǎn)化同側(cè)兩點向異側(cè)轉(zhuǎn)化21.活動二活動二 如圖，河流與公路所夾的角是一個銳角，某公如圖，河流與公路所夾的角是一個銳角，某公司司A A在銳角內(nèi)現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭在銳角內(nèi)現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭C C，在公路邊，在公路邊D D修修建一個倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到建一個倉庫，工人們從公司

10、出發(fā)，先到 河邊的碼頭卸貨，河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉(zhuǎn)運到公路邊的倉庫里去，然后返回到再把貨物轉(zhuǎn)運到公路邊的倉庫里去，然后返回到A A處，問處，問倉庫、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短倉庫、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短河流公路A公司BC 平面圖形中的最值平面圖形中的最值22.河流公路A公司A1A2cD活動二活動二 抽象成數(shù)學模型：抽象成數(shù)學模型：點點A A在在MONMON內(nèi)，在邊內(nèi)，在邊MOMO和和NONO上各找一點上各找一點B B、C C使使AC+AB+BCAC+AB+BC（即（即ABCABC的周長）的距離最短。的周長）的距離最短。利用對稱：將三利用對稱：將三角形三邊和，

11、角形三邊和，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化到一條直線上化到一條直線上，用兩點之間線段用兩點之間線段最短求最小值最短求最小值23.例：如圖正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的點，BE=3，點P是對角線BD上一動點，（1）則EP+PC的最小值為 。A B E C D P P 24.例1：如圖正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的點，BE=3，點P是對角線BD上一動點，F(xiàn)是CD上的點，（2）若CF=6，則EP+PF的最小值為 。A B E C D P F 25.例1：如圖正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的點，BE=3，F(xiàn)是CD上的點，(3)則AFF的最小值為 。A B E C D F26.(4)如圖，如圖

12、正方形ABCD中，AB=8，DAC的平分線交DC于點F ，若點M 、N 分別是AD和AF 上的動點，則NM+ND 的最小值是 。M NF 27.AOBPMNA1B128.2、如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，AD是BC邊中線, M是AD上一動點,E 是AC邊上一點，若AE=2，EM+CM最小值是 。 方法總結(jié)：求兩條線段和最小時，做其中一個定點關(guān)于直線的對稱點，連接對稱點與另一個定點，與這條直線的交點即為所求做的動點，利用軸對稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為把兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段。29.2 2、如圖，在銳角、如圖，在銳角ABCABC中，中，AB=4AB=4 BAC=45BAC=45，BAC BAC 的平分

13、線交的平分線交 BCBC于于D D，M M、N N分別是分別是ADAD和上和上的動點，則的動點，則BM+MNBM+MN的的最小值是最小值是 。2總結(jié)：求一條線段的最小值通常作垂線，利用垂線段最短。在“練一練”第二題綜合運用軸對稱的性質(zhì)和垂線段最短。30.活動一：活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？的行程最短，橋應(yīng)修在何處？ 平面圖形中的最值平面圖形中的最值31.活動一：活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)在要在小河上架

14、一座橋，使得這兩村之間在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？的行程最短，橋應(yīng)修在何處？ 平面圖形中的最值平面圖形中的最值BA32.BAB1cD活動一：活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？的行程最短，橋應(yīng)修在何處？利用平移：將折利用平移：將折線和的最小值，線和的最小值，轉(zhuǎn)化到一條直線轉(zhuǎn)化到一條直線上上，用兩點之間，用兩點之間線段最短求最小線段最短求最小值值33.活動二活動二 抽象成數(shù)學模型：抽象成數(shù)學模型：點點A A在在MONMON內(nèi)，

15、在邊內(nèi)，在邊MOMO和和NONO上各找一點上各找一點B B、C C使使AC+AB+BCAC+AB+BC（即（即ABCABC的周長）的距離最短。的周長）的距離最短。NMA公司BCO提示一：提示一：求三角形求三角形周長的最小值可轉(zhuǎn)周長的最小值可轉(zhuǎn)化為一條直線上化為一條直線上34.活動三活動三：根據(jù)上述原理回答：在兩條互相垂直根據(jù)上述原理回答：在兩條互相垂直的公路的公路a a、b b旁有兩個居民小區(qū)旁有兩個居民小區(qū)A A、B B，現(xiàn)要在這，現(xiàn)要在這兩條公路旁建立兩奶站向兩居民區(qū)供奶，應(yīng)建兩條公路旁建立兩奶站向兩居民區(qū)供奶，應(yīng)建在何處，使得兩居民小區(qū)在何處，使得兩居民小區(qū)A A、B B與這兩個奶站所與

16、這兩個奶站所圍成的四邊形的周長最??？圍成的四邊形的周長最??？ 我思考我思考,我進步我進步變式思考變式思考 活躍思維活躍思維BA公路a公路bCD35.活動三活動三 抽象成數(shù)學模型：在直線抽象成數(shù)學模型：在直線a a和直線和直線b b上各找一點上各找一點C C、D D，使，使AB+AD+CD+BCAB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。（即圍成的四邊形）的最小值。 我思考我思考,我進步我進步變式思考變式思考 活躍思維活躍思維BA公路a公路bCD提示一：提示一：AB為定值，為定值，只需求折線只需求折線AD、CD、BC和的最小值。和的最小值。36. 我思考我思考,我進步我進步變式思考變式思考

17、 活躍思維活躍思維BA公路a公路bB1A1CD利用對稱：三利用對稱：三邊和邊和轉(zhuǎn)化到一轉(zhuǎn)化到一條直線上條直線上，用，用兩點之間線段兩點之間線段最短求最小值最短求最小值活動四活動四 抽象成數(shù)學模型：在直線抽象成數(shù)學模型：在直線a a和直線和直線b b上各找一點上各找一點C C、D D，使，使AB+AD+CD+BCAB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。（即圍成的四邊形）的最小值。37.親愛的同學們，你們會運用這個數(shù)學思想了嗎？親愛的同學們，你們會運用這個數(shù)學思想了嗎？客觀問題客觀問題抽象抽象數(shù)學化數(shù)學化數(shù)學問題數(shù)學問題找準目標模型找準目標模型把問題化歸成模型把問題化歸成模型數(shù)學模型數(shù)學模型得解得解運用模型運用模型求求解解38. 歸納歸納 總結(jié)總結(jié) 反思反