泰勒公式課件PPT課件

1、一、泰勒公式一、泰勒公式0 xx nf x P x0nx x當一個函數(shù)f (x)相當復(fù)雜時,為了計算它在一點x=x0時，是比高階的無窮小.附近的函數(shù)值或描繪曲線f (x)在一點P(x0,f(x0)附近的形狀時,我們希望找出一個關(guān)于(x-x0)的n次多項式函數(shù)近似表示f (x)且當)(xPn0annxxaxxaxxa)()()(020201機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共49頁012,naaaa首先首先確定多項式函數(shù)的系數(shù)假定f (x)在含有點x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到 0010200,1!,2!, !nnaf xafxafxn afx這樣,對Pn(x) 求各階導(dǎo)數(shù),然后

2、分別代入以上等式得即得 (n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn)( 0!212xPan, )(0 xf ,)(0)(!1xPannnn)(0)(xfn!21!1n)(00 xPan, )(0 xf)(01xPan, )(0 xf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共49頁把所求得的系數(shù)代入得)(xPn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21 nnf xP xRx0nxx其次其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且據(jù)此重

3、復(fù)使用洛必達法則，可推得高階無窮小)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共49頁0)()(lim100nnxxxxxR0 xx0nx x時，是比高階的無窮小.即當Rn(x)于是f (x)可表示)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共49頁一、問題的提出1.1.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則有則有2.2.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,則有則有 )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxf

4、xf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共49頁xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例如例如, , 當當x很小時很小時, , xex 1 , , xx )1ln(（如下圖）（如下圖）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共49頁不足之處不足之處問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計可估計1、精確度不高、精確度不高2、誤差不能估計。、誤差不能估計。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1(

5、n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,)(xP為多項式函數(shù)為多項式函數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、nP(x)和和nR(x)的確定的確定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點相交點相交0 x,),()(且近似程度要好且近似程度要好若要若要xPxfn ?)(應(yīng)應(yīng)滿

6、滿足足什什么么條條件件xPn第8頁/共49頁設(shè)設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa ),(! 202xfa ,).(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(0)(0)(xf

7、xPnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共49頁三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則則當當x在在),(ba內(nèi)時內(nèi)時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和: : 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x與與 x之間之間) ). . )()(!)()(!

8、 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共49頁定理定理:泰勒泰勒(Taylor )中值定理中值定理),(bax有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則對于任一 )0(之間與在xx如果f (x)在含有點x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共49頁特例特例:當 n = 0 時, 泰勒公式)(xf)(0 xf)(0

9、 xxf變成拉格朗日中值定理)0(之間與在xx公式稱為f (x)按 (x-x0) 的冪展開的帶有拉格朗日型公式 稱為拉格朗日型余項拉格朗日型余項 .余項的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共49頁拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即機動 目錄 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共49頁注注: :取取00 x, , 1.1.當當0 n時時, ,泰勒公式變成泰勒公式變成 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 10)1(00)(200000)(!)()(!)()(! 2)()()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf )10()(. 200 xxx又又 則余項則余項 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共49頁二、幾個函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個函數(shù)的麥克勞林公式,0間之與在則x上述公式稱為f(x)的麥克勞林麥克勞

11、林( Maclaurin)公式公式 .,00 x因此可令 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!) 1()()(nnnxnxfxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中取, ) 10 (x從而泰勒公式變?yōu)檩^簡單的形式,即 )(xRn其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共49頁xexf)(xe1x!33x!nxn!22x故!) 1( n) 10(1nxxe例例1:1:求函數(shù)解解: :因為的n階麥克勞林展開式.所以 nxfxfxfxe， 00001.nffff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共49頁xxfsin)(xsinx!33x!55x! ) 12(1

12、2mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm令n=2m，于是有例例2:2:求函數(shù)解解: :因為的n階麥克勞林展開式.所以 cos ,sin ,cos ,fxx fxx fxx 4sin ,sin,2nfxxfxx n 11sin,2nnfxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共49頁! )2(2mxm類似地,可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx22x33xnxn)1ln(xx)(xRn其中)(xRn11)1 (1

13、) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共49頁)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(!2 ) 1(! n) 1() 1(n以上介紹的幾個函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)該熟記！機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共49頁三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展開式求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展開式 2cosf xx211coscos2 ,22xx例例3:3:求解解: :因為 又 的麥克勞林展開式.! )2(2

14、mxmxcos1!22x!44xm) 1(!)22(m)cos() 1(1xm) 10(22mx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共49頁 242211111cos12212222!4!2!mmxxxxm 所以221222cos22 !2mmxxm，mmxm212!)2(2x2cos故12! 22x4! 423xm) 1(!)22(m)2222cos(212mxm) 10(22mx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共49頁 0ln 11f xxx在1ln 1ln 21ln 2 12xxx所以 23111 111111ln2 ln 1ln2122223 22nnxxxxx

15、n 例例4:4:求函數(shù) 解解: :因為 處的泰勒展開式.22x33xnxn)1ln(xx11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共49頁1111110112112nnnxnx ，即 21x2222) 1(xnnnx2) 1()1ln(x2ln111)1(21 ) 1(2) 1() 1(nnnnxxn) 10(1) 1(n3323) 1(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共49頁例例 5 5 計算計算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxx

16、x )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 )241.(21)(2lim, 01cos)(lim20420 xxfxxxfxxx求求練習(xí)：練習(xí)：利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共49頁2. 在近似計算中的應(yīng)用在近似計算中的應(yīng)用 )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(xe例例5:5:利用的8階麥克勞林展開式計算e的近似值,并估計誤差.e11!31!1n!21!) 1(1n) 10(e解解: :

17、取n=8，進行計算得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共49頁111 12.71829,2!8!e 581113 10 .9!9!Re 其誤差 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共49頁xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應(yīng)用公式在近似計算中的應(yīng)用; ;第27頁/共49頁xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應(yīng)用公式在近似計算中的應(yīng)用; ;第28頁/共49頁xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Tayloray

18、lor 公式在近似計算中的應(yīng)用公式在近似計算中的應(yīng)用; ;第29頁/共49頁xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應(yīng)用公式在近似計算中的應(yīng)用; ;第30頁/共49頁xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應(yīng)用公式在近似計算中的應(yīng)用; ;第31頁/共49頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第32頁/共49頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第33頁/共49頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第34頁/共49頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第35頁/共49頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第36頁/共49頁2 2. .T Tayloraylor 公式