高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不等式的性質(zhì)及解法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載不等式的性質(zhì)及解法知識(shí)要點(diǎn)：不等式與等式有許多不同，主要包括：1、等式兩邊同乘（或除）以一個(gè)數(shù)（或式），等式仍然成立；不等式兩邊同乘（或除）以一個(gè)數(shù)（或式），不等式能否成立，要考慮該數(shù)（式）的符號(hào)，acbc(c0)即 abacbc(c0)acbc(c0)2、解方程時(shí)允許出現(xiàn)不等價(jià)轉(zhuǎn)化，出現(xiàn)增根時(shí)以驗(yàn)根彌補(bǔ)；解不等式要求必須是等價(jià)轉(zhuǎn)化。3、解方程組時(shí)，方程組中的方程之間允許進(jìn)行加、減等運(yùn)算，以達(dá)到消元目的；解不等式組時(shí)，不等式組中的不等式之間只能獨(dú)立求解，再求交集。不等式的性質(zhì)可分為：abab0、1、公理bab這也是將不等式問題比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a b 的大小，a0轉(zhuǎn)化為恒等變形問題的

2、依據(jù)。2、基本性質(zhì)：（ 1） 對(duì)稱性abba這個(gè)性質(zhì)等式中也存在，即abb a ，對(duì)稱性說明了每一個(gè)已知的不等式都有兩種形式，如：a b2ab( a, b R)這個(gè)基本不等式本身就有 a 2b22ab 及 2ab a 2b2 兩種形式，要能靈活運(yùn)用。當(dāng)然若進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化還會(huì)有許多變式。（ 2） 傳遞性ab, bcac這個(gè)性質(zhì)是媒介法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，是放縮法證明不等式的依據(jù)。（ 3） 移項(xiàng)法則 abacbc如： x 32x1,相當(dāng)于在 x3 2 這個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上 3 得到的。3、運(yùn)算性質(zhì)：（ 1）加法運(yùn)算： ab, cdacb d（ 2）減法運(yùn)算：統(tǒng)一成加法運(yùn)算ab, cdab,dc

3、ad b c（ 3）乘法運(yùn)算： abo, cd0ac bd0（ 4）除法運(yùn)算：統(tǒng)一成乘法運(yùn)算a b 0, c d 0a b 0, 1 10a b0dcdc（由 y1 在（ 0， + ）上是減函數(shù)， cd0110）xa nbn ( ndc（ 5）乘方運(yùn)算： ab0N , n2)（ 6）開方運(yùn)算： ab0nanb(n N , n2)學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、函數(shù)的單調(diào)性：（ 1） aba3b3（ yx3 在 (,)上是增函數(shù) ）（ 2） ab2a2b（ y2x 在 (,)上是增函數(shù) ）諸如此類： ab0log 1alog 1b ylog 1x在 0上是減函數(shù)已知冪( , )222函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

4、等函數(shù)的單調(diào)性可做為不等式的性質(zhì)運(yùn)用。我們知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果兩個(gè)不等式的解集相等，那么這兩個(gè)不等式就叫做同解不等式。 一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)， 如果這兩個(gè)不等式是同解不等式那么這種變形叫做不等式的同解變形。 解不等式的每一步都要求是同解變形。一元一次不等式 （組）和一元二次不等式的解法， 是解其它各種不等式 （組）的基礎(chǔ)。高次不等式、分式不等、無理不等式、指數(shù)對(duì)數(shù)不等式的解法都是通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式（組）和一元二次不等式后求解。在解不等式的過程中，要注意保持字母的允許值范圍不發(fā)生變化。為此，要注意不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)或式對(duì)不等式所產(chǎn)生的影響，要注意不等式兩

5、邊同次乘方、開方或取對(duì)數(shù)等運(yùn)算的可行性。在解不等式或不等式組的過程中，要熟練掌握集合的交、并運(yùn)算；要充分運(yùn)用數(shù)軸與圖象的直觀， 找全輔助不等式， 把每一個(gè)解不等式問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為解不等式組問題。方程與函數(shù)的思想、分類與歸納的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想及數(shù)形結(jié)合的思想在解不等式問題中都有著廣泛的應(yīng)用。解不等式的方法有：圖象法一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；轉(zhuǎn)化法分式不等式、無理不等式、指數(shù)對(duì)數(shù)不等式等。1、一元二次不等式的解法解一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)有密切聯(lián)系求根、畫圖象、寫解集例 1：解關(guān)于 x 的不等式 ax2(a1)x1 0 其中 a0解：由一元二次方程 ax2(a1)x

6、10 的根為 x11, x21 知a（1）當(dāng) 11，即 0 a1時(shí)二次函數(shù) y ax2(a1)x1 的草圖為：a1 )故原不等式的解為 (1,a（2） 011, 即 a1 時(shí)二次函數(shù) y ax2(a 1)x 1 的草圖為：a學(xué)習(xí)必備歡迎下載故原不等式的解為（1,1）a（3） 11，即 a=1 時(shí)二次函數(shù)y ax2a(a 1)x 1 的草圖為：故原不等式的解為綜上，當(dāng)0a1時(shí)原不等式的解集為(1,1)；a當(dāng) a 1 時(shí)原不等式解集為 ( 1 ,1) ；a當(dāng) a 1時(shí)原不等式解集為 。例 2：已知關(guān)于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是 x|x1 , 或x1。32求關(guān)于 x 的不等式 ax 2

7、bxc0 的解集。解：此題是對(duì)一元二次不等式的解進(jìn)行講行討論知解集求原不等式中待定常數(shù)的值。 ax 2bxc0 的解集是 x|x1, 或 x132 y= ax 2bxc 的草圖應(yīng)為：故： 不等式 ax 2bxc0 可化為x 2 b xc0即 x25 x10aa66解得其解集為x|1x1232、高次不等式的解法解高次不等式的方法是圖象法，具體步驟是求根、畫圖象、寫解集。例：解不等式 x33x 2x10解：方程 x33x 2x10 可化為 ( x 1)( x 22x 1) 0 知其根為x1 1, x 212, x312故函數(shù) y x 33x2x1的草圖為：學(xué)習(xí)必備歡迎下載因此，原不等式的解集為x|

8、 x12或1x123、分式不等式的解法解分式不等式的方法是轉(zhuǎn)化法，具體步驟是移項(xiàng)、通分、轉(zhuǎn)化。首先將不等式經(jīng)過同解變形，化成f ( x)然后再利用同種變形：0 g( x)例： 解不等式x29x117x22x1解：移項(xiàng)，通分得6x25x 4x 22x 1f ( x)0 或 f ( x)0 （ g( x )0 ）的形式，g( x)g( x)f ( x) g( x) 0 或 f ( x)0f ( x) g( x) 0g( x) 0g( x)0 (2x1)( 3x4)0(2x1)( 3x 4)( x 1)20轉(zhuǎn)化為1)20( x1)2( x(2x1)( 3x4)010x解得，所求不等式的解集為說明：高

9、次不等式中對(duì)重根的處理分奇次重根、偶次重根兩種。如(x x1 ) 3( x x2 )( x x3 ) 0 ( x x1 )( x x2 )( x x3 )0;(x x1 ) 4 ( xx2 )( xx3 )xx1或 xx1 時(shí)不等式成立（若0( xx2 )( x x3 ) 0為大于零，則 xx1 時(shí)不等式不成立）。4、無理不等式的解法解無理不等式的方法是通過乘方討論的方法將其轉(zhuǎn)化。f ( x)g( x)g( x)0g( x)0f (x ) g( x)2或0f ( x)f (x )0f ( x)g( x)g( x) 0f (x ) g( x)2f ( x)g(x )f ( x)g( x)g( x)05、指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法解指對(duì)數(shù)不等式的方法是通過函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（組）求解。a 1 時(shí)，0a1時(shí)，a f ( x)a g ( x)l o g f ( x )aa f ( x )a g ( x)f (x )l o g g( x)af ( x)g( x)g( x)0f ( x)g( x)g(x )學(xué)習(xí)必備歡迎下載