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文檔簡介

1、數列一、數列的概念( 1)數列定義:按一定次序排列的一列數叫做數列;數列中的每個數都叫這個數列的項。記作an ,在數列第一個位置的項叫第1 項(或首項),在第二個位置的叫第 2 項,序號為n的項叫第 n 項(也叫通項)記作an ;數列的一般形式:a1 , a2 , a3 , an ,簡記作an。例:判斷下列各組元素能否構成數列( 1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省參加高考的考生人數。( 2)通項公式的定義:如果數列 an 的第 n 項與 n 之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式。例如: 1, 2, 3,4, 5,1111:1

2、, 2345an =7, nN數列的通項公式是n ( n),數列的通項公式是an =1 ( nN )。n說明: an表示數列, an 表示數列中的第n 項, an =fn 表示數列的通項公式; 同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如, an= (n1,n2k 1(k Z) ;1) =1,n2k不是每個數列都有通項公式。例如,1, 1.4 , 1.41 , 1.414,(3)數列的函數特征與圖象表示:序號: 123456項:456789上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函數觀點看, 數列實質上是定義域為正整數集N (或它的有限子集)的函數f (n) 當

3、自變量 n 從 1開始依次取值時對應的一系列函數值 f (1), f (2), f (3), , f ( n) ,通常用an 來代替 fn ,其圖象是一群孤立點。例:畫出數列an2n1的圖像 .(4)數列分類:按數列項數是有限還是無限分:有窮數列和無窮數列;按數列項與項之間的大小關系分:單調數列(遞增數列、遞減數列)、常數列和擺動數列。例:下列的數列,哪些是遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列?(1) 1, 2,3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,( 5)數列 an 的前 n 項和 Sn與通

4、項 an 的關系: anS1(n1)SnSn 1(n 2)例:已知數列 an 的前 n 項和 s2n2 3,求數列 an 的通項公式n二、等差數列題型一 、等差數列定義:一般地,如果一個數列從第2 項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d 表示。用遞推公式表示為anan 1d (n 2) 或 an 1and (n 1) 。例:等差數列 an2n 1 , anan 1題型二 、等差數列的通項公式:ana1(n 1)d ;說明:等差數列(通常可稱為A P 數列)的單調性:d0為遞增數列, d0為常數列, d0為遞減數列。例:

5、 1.已知等差數列an中, a7a916,a41,則 a12 等于()A15 B 30 C 31 D 642. an 是首項 a1 1,公差 d 3的等差數列,如果an2005,則序號 n 等于(A) 667( B) 668( C) 669(D) 6703.等差數列 an2n1, bn2n1 ,則 an 為bn 為(填“遞增數列”或“遞減數列” )題型三 、等差中項的概念:定義:如果 a , A , b 成等差數列,那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項。其中Aab2aba , A , b 成等差數列A即: 2an 1anan( 2ananman m )22例: 1( 06 全國 I )設 a

6、是公差為正數的等差數列,若aa2a15, a a a80 ,則 aaa)A 120B 105C 90D 752. 設數列 an是單調遞增的等差數列,前三項的和為12,前三項的積為 48,則它的首項是()A 1B.2C.4D.8題型四 、等差數列的性質:( 1)在等差數列 an 中,從第 2 項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;( 2)在等差數列 an 中,相隔等距離的項組成的數列是等差數列;( 3)在等差數列an中,對任意 m , n N , anam(nm)d , danam (m n) ;nm( 4)在等差數列an中,若 m , n , p , q N且 mnp

7、q ,則 amanap aq ;1題型五 、等差數列的前 n 和的求和公式:Snn(a1an )na1n( n1) d1 n 2( a1d ) n 。2222( Sn An2Bn( A, B為常數 )an是等差數列 )遞推公式:(a1an )n(aman ( m 1) ) nSn22例: 1.如果等差數列an中, a3a4a512 ,那么 a1a2.a7( A)14( B)21( C)28( D)352.( 2009湖南卷文)設 Sn 是等差數列an的前 n 項和,已知 a23 , a611,則 S7 等于 ( )A13B35C 49D 633.( 2009全國卷理)設等差數列an的前 n 項

8、和為 Sn ,若 S972 , 則 a2a4 a9 =4.( 2010 重慶文)( 2)在等差數列an中, a1a910 ,則 a5 的值為()(A)5( B)6(C) 8(D)105.若一個等差數列前3 項的和為 34,最后3 項的和為146,且所有項的和為390,則這個數列有()A.13 項B.12項C.11 項D.10 項6.已知等差數列 an的前 n 項和為 Sn ,若 S1221,則a2a5a8a117.( 2009全國卷理)設等差數列an的前 n項和為 Sn ,若 a5S95a3 則S58( 98 全國)已知數列n是等差數列,1=1,1+ 2+ 10=100.bbbbb()求數列

9、bn的通項 bn;9.已知 an數列是等差數列,a1010 ,其前 10 項的和 S1070,則其公差 d 等于 ()A21C.1D.23B33310. ( 2009 陜西卷文)設等差數列an的前 n 項和為sn, 若a6s312, 則an11( 00 全國)設 an為等差數列, Sn 為數列 an的前 n 項和,已知S77,S15 75, Tn 為數列 Sn n的前 n 項和,求 Tn。12.等差數列 an 的前 n 項和記為 Sn ,已知 a1030,a20 50求通項 an ;若 Sn =242,求 n13.在等差數列 an 中,( 1)已知 S8 48, S12168,求a1和 d ;

10、( 2)已知 a6 10,S5已知 aa40,求 S31517題型六 . 對于一個等差數列:( 1)若項數為偶數,設共有2n項,則 S 偶S 奇 nd ; S奇an;S偶an 1( 2)若項數為奇數,設共有2n1項,則 S 奇 S 偶 an a中 ;S奇n。S偶n1題型七 . 對與一個等差數列,Sn , S2 n Sn , S3nS2n 仍成等差數列。例: 1. 等差數列 an 的前 m項和為30,前 2m項和為 100,則它的前3m項和為()A.130B.170C.210D.2602. 一個等差數列前 n 項的和為 48,前 2 n 項的和為 60,則前 3 n 項的和為3已知等差數列an

11、的前 10 項和為 100,前 100 項和為 10,則前 110 項和為4. 設 Sn 為等差數列an 的前 n 項和, S414, S10 S730,則 S9 =5( 06 全國 II )設 Sn 是等差數列 an的前 n 項和,若 S31,則 S6S63S12A 3B 1C 1D 110389題型八 判斷或證明一個數列是等差數列的方法:定義法:an 1and (常數)( nN )an是等差數列中項法:2an1anan 2(n N)an 是等差數列通項公式法:ankn b(k, b為常數 )an是等差數列前n 項和公式法:SAn2BnA B為常數)an是等差數列n( ,5,求a8和S8 ;

12、(3)。2例: 1.已知數列 an 滿足 an an12 ,則數列 an 為 ()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷2.已知數列 an 的通項為 an2n5 ,則數列 an 為 ()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷3.已知一個數列 an 的前 n 項和 sn2n24 ,則數列 an 為()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷4.已知一個數列 an 的前 n 項和 sn2n 2 ,則數列 an 為()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷5.已知一個數列 a

13、n 滿足 an22an 1 an0 ,則數列 an 為()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷6. 數列 an滿足 a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 ( nN )求數列an的通項公式;7(01 天津理,nnn2n)2)設 S 是數列 a 的前 n 項和,且 S=n ,則 a 是(A. 等比數列,但不是等差數列B.等差數列,但不是等比數列C.等差數列,而且也是等比數列D.既非等比數列又非等差數列題型九 . 數列最值( 1) a1 0 , d 0時, Sn 有最大值; a10 , d 0時, Sn 有最小值;( 2) Sn 最值的求法:若已知Sn

14、 , Sn 的最值可求二次函數Snan2bn 的最值;可用二次函數最值的求法(n N );或者求出an中的正、負分界項,即:若已知 an ,則 Sn 最值時 n 的值( nN )可如下確定an0an0an 1或an 1。00例: 1等差數列an 中, a10,S9S12 ,則前項的和最大。2 設等差數列 an 的前 n 項和為 Sn ,已知a312, S120, S130求出公差 d 的范圍,指出 S1,S2, , S12 中哪一個值最大,并說明理由。3( 02 上海)設 an( n N* )是等差數列,Sn 是其前 n 項的和,且S5S6, S6 S7S8 ,則下列結論錯誤的是()A. d

15、0B.a7 0C.S9S5D.S6 與 S7 均為 Sn 的最大值4已知數列an 的通項 n98 ( nN ),則數列 an 的前 30 項中最大項和最小項分別是n995. 已知 an 是等差數列,其中 a31,公差 d8 。1( 1)數列 an 從哪一項開始小于0?( 2)求數列 an 前 n 項和的最大值,并求出對應n 的值6. 已知 an 是各項不為零的等差數列,其中a10 ,公差 d0 ,若 S100 , 求數列 an 前 n 項和的最大值7. 在等差數列 an 中, a125, S17S9 ,求 Sn 的最大值題型十 . 利用 anS1(n1)SnSn 1(n求通項2)1. 數列 a

16、n 的前 n 項和 Snn21( 1)試寫出數列的前5 項;(2)數列 an 是等差數列嗎?(3)你能寫出數列 an 的通項公式嗎?2已知數列an 的前 n 項和 Snn 24n1,則3. 設數列 an 的前 n 項和為 Sn=2n2,求數列 an 的通項公式;4.已知數列 an中, a13,前 n 和 Sn1 (n1)(an 1) 12求證:數列an 是等差數列求數列 an的通項公式5.( 2010 安徽文)設數列 an 的前 n 項和 Snn2 ,則 a8 的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 643等比數列等比數列定義一般地, 如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的

17、比等于同一個常數,那么這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比;公比通常用字母q表示 ( q0) ,即:( 0)。an 1anq q一、遞推關系與通項公式遞推關系: an 1 anq通項公式: ana1 q n 1推廣: anamqn m1 在等比數列an 中 , a14, q2 ,則 an2 在等比數列an 中 , a712, q3 2 , 則 a19_.3. (07 重慶文)在等比數列a 中,a2 8, 1 64,則公比 q 為()n( A)2( B)3( C)4( D)84.在等比數列an中, a22 , a554 ,則 a8 =5. 在各項都為正數的等比數列 an 中,首項

18、a13,前三項和為21,則 a3 a4 a5()A33 B72 C84 D189二、等比中項:若三個數a, b,c 成等比數列,則稱b 為 a與 c 的等比中項,且為 bac,注: b 2ac 是成等比數列的必要而不充分條件 .例:1. 23 和 23 的等比中項為 ()( A)1(B) 1(C)1(D )22. ( 2009 重慶卷文) 設 an是公差不為0 的等差數列, a1 2 且 a1 ,a3 , a6成等比數列, 則 an的前 n項和 Sn =()A n27nB n25nC n23nD n2n443324三、等比數列的基本性質,1. ( 1) 若 m n pq,則 am ana p

19、aq (其中 m, n, p, q N )( 2) q n man , an 2an m an m (n N)am( 3) an為等比數列,則下標成等差數列的對應項成等比數列.( 4) an既是等差數列又是等比數列an是各項不為零的常數列 .例: 1在等比數列an中 ,a1 和 a10 是方程 2x25x10 的兩個根 , 則 a4 a7()( A)5(B)2(C )1(D) 122222. 在等比數列an,已知 a15, a9 a10100,則 a18 =3. 在等比數列an中, a1 a633, a3a432, anan 1求 an若 Tnlg a1lg a2lg an , 求 Tn4.

20、等比數列 an 的各項為正數,且a5a6a4 a718,則 log 3 a1 log3 a2log3a10 ()A 12B10C 8D 2+ log535. ( 2009 廣東卷理)已知等比數列 an 滿足 an0,n1,2,,且 a5 a2 n 522n (n3) ,則當 n 1時, log 2 a1log 2 a3log2 a2 n 1()A. n(2 n1)B.(n1)2C.n2D.(n1)2四、等比數列的前n 項和,na1(q1)Sna1 (1 q n ) a1an q(q 1)1q1 q例: 1.已知等比數列 an 的首相 a15 ,公比 q2 ,則其前 n 項和 Sn2. 已知等比

21、數列 an 的首相 a15,公比 q1n 項,當項數 n 趨近與無窮大時,其前2和 Sn3. 設等比數列 an 的前 n 項和為 Sn ,已 a26, 6a1a330 ,求 an 和 Sn4( 2006 年北京卷)設 f (n) 2242721023 n 10 (nN ) ,則 f ( n) 等于()4A 2 (8n1)B 2 (8n 1 1)C 2 (8n 3 1)D 2 (8 n 41)7777q;5( 1996 全國文, 21)設等比數列 a 的前 n 項和為 S ,若 S S 2S ,求數列的公比nn3696設等比數列 an 的公比為 q,前 n 項和為 Sn,若 Sn+1,S n,S

22、n+2 成等差數列,則q的值為.五 . 等比數列的前 n 項和的性質若數列 an是等比數列, S是其前 n 項的和, k N *,那么 S ,SS, S3kS成等比數列 .nk2 kk2 kS6S9例: 1.( 2009 遼寧卷理)設等比數列 an 的前 n項和為 Sn ,若S3 =3 ,則S=678A. 2B.3 C.3D.32.一個等比數列前 n 項的和為48,前 2 n 項的和為60,則前3 n 項的和為()A 83B108 C 75D 633.已知數列an是等比數列,且Sm10,S2 m30,則 S3m4. 等比數列的判定法( 1)定義法: an 1q(常數)an為等比數列;an( 2

23、)中項法: an 12an an 2(an0)an為等比數列;( 3)通項公式法:ank q n (k, q為常數)an為等比數列;( 4)前 n 項和法:Snk(1 qn ) ( k, q為常數)an為等比數列。Snkkqn (k, q為常數)an為等比數列。例: 1.已知數列 an 的通項為 an2n ,則數列 an 為 ()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷2.2an an 2(an0) ,則數列 an 為 (已知數列 an 滿足 an 1)A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷3.已知一個數列 an 的前 n 項和 s

24、n22 n 1 ,則數列 an 為()A. 等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷5. 利用 anS1(n1)SnSn 1 (n求通項2)例: 1. ( 2005北京卷)數列 an 的前 n 項和為 Sn,且 a1=1, an 11 Sn ,n=1, 2, 3,求a2, a3,34na的值及數列 a 的通項公式2. ( 2005 山東卷)已知數列an的首項 a15, 前 n 項和為 Sn ,且 Sn 1Snn5(nN * ) ,證明數列an1 是等比數列四、求數列通項公式方法( 1)公式法(定義法)根據等差數列、等比數列的定義求通項例: 1 已知等差數列 an 滿足:

25、 a37, a5a726, 求 an ;2. 已知數列 an 滿足 a12, anan 11(n1) ,求數列 an 的通項公式;3.數列 an 滿足 a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 ( nN ),求數列an 的通項公式;4. 已知數列 an 滿足 a12, 112 ,求數列an 的通項公式;an 1an5. 設數列 a 滿足 a1011,求 a 的通項公式且1n1 an 11 ann6. 已知數列 an 滿足 an 12an, a1 1,求數列 an 的通項公式。an257. 等比數列 a n 的各項均為正數,且2a13a21, a329a2 a6 ,求數列 an 的通項

26、公式8. 已知數列 an 滿足 a12,an3an 1 (n1) ,求數列 an 的通項公式;9. 已知數列 a 滿足且anan 12n N),求數列 a的通項公式;(nna1 2, a2 4 a n 210. 已知數列 an 滿足a2,n 1nN ),求數列an 的通項公式;1且 an 152(an 5 ) ( n11. 已知數列 an 滿足 a12,且 an 152n 123(an52n2) ( nN ),求數列an 的通項公式;12. 數列已知數列an 滿足 a11 , an4an1 1(n1). 則數列an 的通項公式 =2( 2)累加法1、累加法適用于: an 1anf (n)a2a

27、1f (1)若 an 1an f (n) ( n2) ,則a3a2f (2)an1anf ( n)n兩邊分別相加得an 1a1f (n)k 1例: 1.已知數列 an 滿足 a11 ,an1an1,求數列 an 的通項公式。24n212. 已知數列 an 滿足 an 1an2n1,a11 ,求數列 an 的通項公式。3. 已知數列 an 滿足 an 1an23n1,a13 ,求數列 an 的通項公式。4. 設數列 an 滿足 a12 , an 1an3 22 n 1 ,求數列 an 的通項公式( 3)累乘法適用于:an 1f (n)an若an1f (n) ,則a2a3f (2),an1f (n

28、)ana1f (1),a2anan 1n兩邊分別相乘得,a1f (k)a1k1例: 1. 已知數列 an 滿足 an 12(n1)5nan,a13 ,求數列 an 的通項公式。2.已知數列an 滿足 a12, an 1n an ,求 an 。3n13.已知 a13 , an 13n1 an (n 1) ,求 an 。3n2( 4)待定系數法適用于 an 1qanf (n)解題基本步驟:1、確定f ( n)2、設等比數列an1 f ( n) ,公比為3、列出關系式an 11 f (n1)2 an2 f (n)4、比較系數求1 , 25、解得數列an1 f ( n) 的通項公式66、解得數列an

29、的通項公式例: 1. 已知數列 an 中, a1 1, an2an 11(n2),求數列an的通項公式。2.( 2006,重慶,文,14)在數列an中 , 若 a11, an12an3(n1),則該數列的通項an _3.(2006.福建 .理 22.本小題滿分14 分)已知數列an 滿足 a11, an 12an1(n N* ).求數列 an 的通項公式;4.已知數列 an 滿足 an 1 2an3 5n ,a16 ,求數列an 的通項公式。解:設 an 1 x 5n 12(an x5n )5. 已知數列 an 滿足 an 13an52n4,a11,求數列 an 的通項公式。解:設 ax 2n

30、 1y3(ax2ny)n 1n6.已知數列an 中, a15, an 11 an( 1) n 1 ,求 an6327. 已知數列 an 滿足 a2a3n24n5, a1,求數列 an 的通項公式。n 1n1解:設 an 1 x(n 1)2y( n1)z2(an xn2yn z)8. 已知數列 an 滿足 an 12an4 3n 1, a11,求數列an 的通項公式。遞推公式為 an 2pan 1qan (其中 p, q 均為常數)。先把原遞推公式轉化為an 2san 1 t(an 1 san )stp其中 s, t 滿足qst9. 已知數列 an 滿足 an 25an 16an , a11, a22 ,求數列 an 的通項公式。( 5)遞推公式中既有Sn分析:把已知關系通過 anS1, n1轉化為數列an 或 Sn 的遞推關系,然后采用相應的方法求解。SnSn 1, n 21.(2005北京卷)數列an的前 n 項和為Sn,且 a1,an 11234的=1Sn , n=1, 2, 3,求a , a , a3值及數列 an 的通項公式2. ( 2005 山東卷)已知數列an 的首項 a15, 前 n 項和為 Sn ,且 Sn 1Snn5(nN * )

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