最新天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練17直線與圓錐曲線文1214325

1、 專題能力訓(xùn)練17直線與圓錐曲線一、能力突破訓(xùn)練1.(20xx全國(guó),文12)過(guò)拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn)f,且斜率為3的直線交c于點(diǎn)m(m在x軸的上方),l為c的準(zhǔn)線,點(diǎn)n在l上且mnl,則m到直線nf的距離為() a.5b.22c.23d.33答案：c解析：由題意可知拋物線的焦點(diǎn)f(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線mf:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因?yàn)閙在x軸的上方,所以m(3,23).因?yàn)閙nl,且n在l上,所以n(-1,23).因?yàn)閒(1,0),所以直線nf:y=-3(x-1).所以m到直線nf的距離為|3

2、×(3-1)+23|(-3)2+12=23.2.與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是a和b,那么過(guò)a,b兩點(diǎn)的最小圓截拋物線y2=8x的準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)為()a.4b.22c.2d.2答案：c解析：設(shè)直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因?yàn)橹本€與拋物線相切,所以=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而a(-2,0),b(0,-2).因此過(guò)a,b兩點(diǎn)的最小圓即為以ab為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2

3、,此時(shí)圓心(-1,-1)到準(zhǔn)線的距離為1,故所截弦長(zhǎng)為2(2)2-12=2.3.設(shè)拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn)為f,直線l過(guò)f且與c交于a,b兩點(diǎn).若|af|=3|bf|,則l的方程為()a.y=x-1或y=-x+1b.y=33(x-1)或y=-33(x-1)c.y=3(x-1)或y=-3(x-1)d.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案：c解析：由題意可得拋物線焦點(diǎn)f(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.當(dāng)直線l的斜率大于0時(shí),如圖,過(guò)a,b兩點(diǎn)分別向準(zhǔn)線x=-1作垂線,垂足分別為m,n,則由拋物線定義可得,|am|=|af|,|bn|=|bf|.設(shè)|am|=|af|=3t(t>0),

4、|bn|=|bf|=t,|bk|=x,而|gf|=2,在amk中,由|bn|am|=|bk|ak|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,則cosnbk=|bn|bk|=tx=12,nbk=60°,則gfk=60°,即直線ab的傾斜角為60°.斜率k=tan 60°=3,故直線方程為y=3(x-1).當(dāng)直線l的斜率小于0時(shí),如圖,同理可得直線方程為y=-3(x-1),故選c.4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,雙曲線c1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線c2:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)o,a,b.若oab的垂心為c2的

5、焦點(diǎn),則c1的離心率為. 答案：32解析：雙曲線的漸近線為y=±bax.由y=bax,x2=2py,得a2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得b-2bpa,2b2pa2.f0,p2為oab的垂心,kaf·kob=-1,即2b2pa2-p22bpa-0·-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.5.(20xx北京,文19)已知橢圓c的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為a(-2,0),b(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓c的方程;(2)點(diǎn)d為x軸上一點(diǎn),過(guò)d作x軸的垂線交橢圓c于不同的兩點(diǎn)m,n,過(guò)d作am的垂線交bn

6、于點(diǎn)e.求證:bde與bdn的面積之比為45.(1)解設(shè)橢圓c的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓c的方程為x24+y2=1.(2)證明設(shè)m(m,n),則d(m,0),n(m,-n).由題設(shè)知m±2,且n0.直線am的斜率kam=nm+2,故直線de的斜率kde=-m+2n.所以直線de的方程為y=-m+2n(x-m),直線bn的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點(diǎn)e的縱坐標(biāo)ye=-n(4-m2)4-m2+n2.由點(diǎn)m在橢圓c上,得4-

7、m2=4n2.所以ye=-45n.又sbde=12|bd|·|ye|=25|bd|·|n|,sbdn=12|bd|·|n|,所以bde與bdn的面積之比為45.6.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過(guò)橢圓m:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-3=0交m于a,b兩點(diǎn),p為ab的中點(diǎn),且op的斜率為12.(1)求m的方程;(2)c,d為m上兩點(diǎn),若四邊形acbd的對(duì)角線cdab,求四邊形acbd面積的最大值.解(1)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),p(x0,y0),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2

8、-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由題意知,m的右焦點(diǎn)為(3,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以m的方程為x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33或x=0,y=3.因此|ab|=463.由題意可設(shè)直線cd的方程為y=x+n-533<n<3,設(shè)c(x3,y3),d(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=-2n±2(9-

9、n2)3.因?yàn)橹本€cd的斜率為1,所以|cd|=2|x4-x3|=439-n2.由已知,四邊形acbd的面積s=12|cd|·|ab|=8699-n2.當(dāng)n=0時(shí),s取得最大值,最大值為863.所以四邊形acbd面積的最大值為863.7.已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右焦點(diǎn)為f(1,0),a,b是橢圓c的左、右頂點(diǎn),d是橢圓c上異于a,b的動(dòng)點(diǎn),且adb面積的最大值為2.(1)求橢圓c的方程.(2)是否存在一定點(diǎn)e(x0,0)(0<x0<2),使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)e的直線l與曲線c相交于m,n兩點(diǎn)時(shí),1|em|2+1|en|2為定值?若存在,求出定點(diǎn)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(

10、1)設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知可得adb的面積的最大值為12·2a·b=ab=2.f(1,0)為橢圓右焦點(diǎn),a2=b2+1.由可得a=2,b=1,故橢圓c的方程為x22+y2=1.(2)過(guò)點(diǎn)e取兩條分別垂直于x軸和y軸的弦m1n1,m2n2,則1|em1|2+1|en1|2=1|em2|2+1|en2|2,即21-x022=1(x0+2)2+1(x0-2)2,解得x0=63,e若存在必為63,0,定值為3.證明如下:設(shè)過(guò)點(diǎn)e63,0的直線方程為x=ty+63,代入c中得(t2+2)y2+263ty-43=0.設(shè)m(x1,y1),n

11、(x2,y2),則y1+y2=-263tt2+2=-26t3(t2+2),y1y2=-43(t2+2),1|em|2+1|en|2=1(1+t2)y12+1(1+t2)y22=11+t2·1y12+1y22=11+t2·(y1+y2)2-2y1y2y12y22=11+t2·-26t3(t2+2)2+83(t2+2)-43(t2+2)2=3.綜上得定點(diǎn)為e63,0,定值為3.8.已知a是橢圓e:x24+y23=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交e于a,m兩點(diǎn),點(diǎn)n在e上,mana.(1)當(dāng)|am|=|an|時(shí),求amn的面積;(2)當(dāng)2|am|=|an|時(shí)

12、,證明:3<k<2.(1)解設(shè)m(x1,y1),則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對(duì)稱性知,直線am的傾斜角為4.又a(-2,0),因此直線am的方程為y=x+2.將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此amn的面積samn=2×12×127×127=14449.(2)證明將直線am的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|

13、am|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由題設(shè),直線an的方程為y=-1k(x+2),故同理可得|an|=12k1+k23k2+4.由2|am|=|an|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn).f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在區(qū)間(0,+)單調(diào)遞增.又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在區(qū)間(0,+)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在區(qū)間(3,2)內(nèi).所以3<k<2.二、思維提升訓(xùn)練9.如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p&

14、gt;0)的焦點(diǎn)為f,拋物線上的點(diǎn)a到y(tǒng)軸的距離等于|af|-1.(1)求p的值;(2)若直線af交拋物線于另一點(diǎn)b,過(guò)b與x軸平行的直線和過(guò)f與ab垂直的直線交于點(diǎn)n,an與x軸交于點(diǎn)m.求m的橫坐標(biāo)的取值范圍.解(1)由題意可得,拋物線上點(diǎn)a到焦點(diǎn)f的距離等于點(diǎn)a到直線x=-1的距離,由拋物線的定義得p2=1,即p=2.(2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,f(1,0),可設(shè)a(t2,2t),t0,t±1.因?yàn)閍f不垂直于y軸,可設(shè)直線af:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,b1t2,-2t.又直線ab的斜率

15、為2tt2-1,故直線fn的斜率為-t2-12t.從而得直線fn:y=-t2-12t(x-1),直線bn:y=-2t.所以nt2+3t2-1,-2t.設(shè)m(m,0),由a,m,n三點(diǎn)共線得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m<0或m>2.經(jīng)檢驗(yàn),m<0或m>2滿足題意.綜上,點(diǎn)m的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-,0)(2,+).10.已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)p3,12在橢圓e上.(1)求橢圓e的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)o且斜率為12的直線l與橢圓e交于不

16、同的兩點(diǎn)a,b,線段ab的中點(diǎn)為m,直線om與橢圓e交于c,d,證明:|ma|·|mb|=|mc|·|md|.(1)解由已知,a=2b.又橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)p3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以橢圓e的方程是x24+y2=1.(2)證明設(shè)直線l的方程為y=12x+m(m0),a(x1,y1),b(x2,y2),由方程組x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判別式為=4(2-m2).由>0,即2-m2>0,解得-2<m<2.由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2

17、-2.所以m點(diǎn)坐標(biāo)為-m,m2,直線om方程為y=-12x.由方程組x24+y2=1,y=-12x,得c-2,22,d2,-22.所以|mc|·|md|=52(-m+2)·52(2+m)=54(2-m2).又|ma|·|mb|=14|ab|2=14(x1-x2)2+(y1-y2)2=516(x1+x2)2-4x1x2=5164m2-4(2m2-2)=54(2-m2).所以|ma|·|mb|=|mc|·|md|.11.(20xx江蘇,17)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f

18、1,f2,離心率為12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)p在橢圓e上,且位于第一象限,過(guò)點(diǎn)f1作直線pf1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)f2作直線pf2的垂線l2.(1)求橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1,l2的交點(diǎn)q在橢圓e上,求點(diǎn)p的坐標(biāo).解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)闄E圓e的離心率為12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因此橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y23=1.(2)由(1)知,f1(-1,0),f2(1,0).設(shè)p(x0,y0),因?yàn)閜為第一象限的點(diǎn),故x0>0,y0>0.當(dāng)x0=1時(shí),l2與l1相交于f1,與題設(shè)不符.當(dāng)x01時(shí),直線pf1的斜率為y0x0+1,直線pf2的斜率為y0x0-1.