高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：1.3 充要條件與反證法

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.51.3 充要條件與反證法知識梳理1.充分條件：如果pq，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）成立，命題中的條件是充分的，也可稱q是p的必要條件.2.必要條件：如果qp，則p叫q的必要條件，逆命題（或否命題）成立，命題中的條件為必要的，也可稱q是p的充分條件.3.充要條件：如果既有pq，又有qp，記作pq，則p叫做q的充分必要條件，簡稱充要條件，原命題和逆命題（或逆否命題和否命題）都成立，命題中的條件是充要的.4.反證法：當(dāng)直接證明有困難時(shí)，常用反證法.點(diǎn)擊雙基1.ac2bc2是ab成立的a.充分而不必要條件b.充要條件c.必要而不充分條件d.既不充分也不必

2、要條件解析：abac2bc2，如c=0.答案：a2.（2004年湖北，理4）已知a、b、c為非零的平面向量.甲：a·b=a·c，乙：b=c，則a.甲是乙的充分條件但不是必要條件b.甲是乙的必要條件但不是充分條件c.甲是乙的充要條件d.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：命題甲:a·b=a·ca·（bc）=0a=0或b=c.命題乙:b=c，因而乙甲，但甲乙.故甲是乙的必要條件但不是充分條件.答案：b3.（2004年浙江，8）在abc中，“a30°”是“sina”的a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充

3、分也不必要條件解析：在abc中，a30°0sina1sina，sina30°a150°a30°.“a30°”是“sina”的必要不充分條件.答案：b4.若條件p:a4，q:5a6，則p是q的_.解析：a45a6，如a=7雖然滿足a4，但顯然a不滿足5a6.答案：必要不充分條件5.（2005年春季上海，16）若a、b、c是常數(shù)，則“a0且b24ac0”是“對任意xr，有ax2+bx+c0”的a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件解析：若a0且b24ac0，則對任意xr，有ax2+bx+c0，反之，則不一定成立.如

4、a=0，b=0且c0時(shí)，也有對任意xr，有ax2+bx+c0.因此應(yīng)選a.答案：a典例剖析【例1】 使不等式2x25x30成立的一個(gè)充分而不必要條件是a.x0 b.x0c.x1，3，5d.x或x3剖析：2x25x30成立的充要條件是x或x3，對于a當(dāng)x=時(shí)2x25x30.同理其他也可用特殊值驗(yàn)證.答案：c【例2】 求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”.x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“

5、若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左邊，得a·12+b·1+c=a+b+c.a+b+c=0，x=1是方程的根.綜合（1）（2）知命題成立.深化拓展求ax2+2x+1=0（a0）至少有一負(fù)根的充要條件.證明：必要性：（1）方程有一正根和一負(fù)根，等價(jià)于a0.（2）方程有兩負(fù)根，等價(jià)于0a1.綜上可知，原方程至少有一負(fù)根的必要條件是a0或0a1.充分性：由以上推理的可逆性，知當(dāng)a0時(shí)方程有異號兩根；當(dāng)0a1時(shí)，方程有兩負(fù)根.故a0或0a1是方程ax2+2x+1=0至少有一負(fù)根的充分條件.答案：a0或0a1.【例3】 下列說法對不對?如果

6、不對，分析錯(cuò)誤的原因.（1）x2x2是x=x2的充分條件；（2）x2x2是x=x2的必要條件.解：（1）x2=x+2是x=x2的充分條件是指x2=x+2x=x2.但這里“”不成立，因?yàn)閤=1時(shí)，“”左邊為真，但右邊為假.得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因可能是應(yīng)用了錯(cuò)誤的推理：x2=x+2x=x2=x.這里推理的第一步是錯(cuò)誤的（請同學(xué)補(bǔ)充說明具體錯(cuò)在哪里）.（2）x2=x+2是x=x2的必要條件是指x=x2x2=x+2.但這里“”不成立，因?yàn)閤=0時(shí)，“”左邊為真，但右邊為假.得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因可能是用了錯(cuò)誤的推理:x=x2=xx+2=x2.這里推理的第一步是錯(cuò)誤的（請同學(xué)補(bǔ)充說明具體錯(cuò)在哪里）.評述：此題的

7、解答比較注重邏輯推理.事實(shí)上，也可以從真值集合方面來分析：x2=x+2的真值集合是1，2，x=x2的真值集合是0，2，1，20，2，而0，2 1，2，所以（1）（2）兩個(gè)結(jié)論都不對.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2004年重慶，7）已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件解析：依題意有pr，rs，sq，prsq.但由于rp，qp.答案：a2.（2003年北京高考題）“cos2=”是“=k+，kz”的a.必要不充分條件b.充分不必要條件c.充分必要條件d.既不充分又不必要條件解析：cos2=2

8、=2k±=k±.答案：a3.（2005年海淀區(qū)第一學(xué)期期末練習(xí)）在abc中，“ab”是“cosacosb”的a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件解析：在abc中，abcosacosb（余弦函數(shù)單調(diào)性）.答案：c4.命題a：兩曲線f（x，y）0和g（x，y）=0相交于點(diǎn)p（x0，y0），命題b：曲線f（x，y）+g（x，y）0（為常數(shù)）過點(diǎn)p（x0，y0），則a是b的_條件.答案：充分不必要5.（2004年北京，5）函數(shù)f（x）=x22ax3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必要條件是a.a（，1b.a2，+）c.1，2d.a（，12，+）解析

9、：f（x）=x22ax3的對稱軸為x=a，y=f（x）在1，2上存在反函數(shù)的充要條件為1，2（，a或1，2a，+），即a2或a1.答案：d6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=pn+q（p0且p1），求數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件.分析：先根據(jù)前n項(xiàng)和公式，導(dǎo)出使an為等比數(shù)列的必要條件，再證明其充分條件.解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=p+q；當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1=（p1）·pn1.由于p0，p1，當(dāng)n2時(shí)，an是等比數(shù)列.要使an（nn*）是等比數(shù)列，則=p，即（p1）·p=p（p+q），q=1，即an是等比數(shù)列的必要條件是p0且p1且q=1.再證充分性：當(dāng)p0且p1且q=

10、1時(shí)，sn=pn1，an=（p1）·pn1，=p（n2），an是等比數(shù)列.培養(yǎng)能力7.（2004年湖南，9）設(shè)集合u=（x，y）xr，yr，a=（x，y）|2xy+m0，b=（x，y）|x+yn0，那么點(diǎn)p（2，3）a（ub）的充要條件是a.m1，n5b.m1，n5c.m1，n5d.m1，n5解析：ub=（x，y）nx+y，將p（2，3）分別代入集合a、b取交集即可.選a.答案：a8.已知關(guān)于x的一元二次方程mx24x+4=0， x24mx+4m24m5=0. 求使方程都有實(shí)根的充要條件.解：方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是1=（4）216m0，即m1；方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是2=（4m）2

11、4（4m24m5）0，即m.方程都有實(shí)數(shù)根的充要條件是m1.9.已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).求證：三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.證明：反證法：假設(shè)三個(gè)方程中都沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由題意a、b、c互不相等，式不能成立.假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.探究創(chuàng)新10.若x、y、z均為實(shí)數(shù)，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x

12、+，則a、b、c中是否至少有一個(gè)大于零？請說明理由.解：假設(shè)a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，則a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，30，且無論x、y、z為何實(shí)數(shù)，（x1）2+（y1）2+（z1）20，a+b+c0.這與a+b+c0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個(gè)大于0.思悟小結(jié)1.要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，如“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”“都是”的否定形式是“一個(gè)也沒有”“至少有兩個(gè)”“不都是”.2.證明充要性要從充分性、必要性兩個(gè)方面來證明.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”等字眼多用反證法.2.強(qiáng)調(diào)反證法的第一步，要與否命題分清.3.要證明充要性應(yīng)從充分性、必要性兩個(gè)方面來證.拓展題例【例題】 指出下列