高考第一輪復習數(shù)學：5.5 向量的應用

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.55.5 向量的應用知識梳理理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應用，能將當前的問題轉(zhuǎn)化為可用向量解決的問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和應用能力.特別提示許多代數(shù)、幾何中的問題都可以轉(zhuǎn)化為向量來處理.它不僅能解決數(shù)學學科本身的問題，跨學科應用也是它的一個特點.點擊雙基1.若o是abc內(nèi)一點，+=0，則o是abc的a.內(nèi)心b.外心c.垂心d.重心解析：以、為鄰邊作平行四邊形obdc，則=+.又+=0，+=.=.o為ad的中點，且a、o、d共線.又e為od的中點，o是中線ae的三等分點，且oa=ae.o是abc的重心.答案：d2.將橢圓x2+6y22x12y13=0按向

2、量a平移，使中心與原點重合，則a的坐標是a.（1，1）b.（1，1）c.（1，1）d.（1，1）解析：橢圓方程變形為（x1）2+6（y1）2=20.需按a=（1，1）平移，中心與原點重合.答案：c3.平面直角坐標系中，o為坐標原點，已知兩點a（3，1）、b（1，3），若點c滿足=+，其中、r，且+=1，則點c的軌跡方程為a.3x+2y11=0b.（x1）2+（y2）2=5c.2xy=0d.x+2y5=0解析：c點滿足=+且+=1，a、b、c三點共線.c點的軌跡是直線ab.答案：d4.在四邊形abcd中，·=0，=，則四邊形abcd是a.直角梯形b.菱形c.矩形d.正方形解析：由

3、83;=0知.由=知bcad.四邊形abcd是矩形.答案：c5.（2004年全國，理9）已知平面上直線l的方向向量e=（，），點o（0，0）和a（1，2）在l上的射影分別是和a，則=e，其中等于a.b.c.2d.2解析：如圖所示，令e過原點，與e方向相反，排除a、c，驗證d即可.答案：d典例剖析【例1】 已知a、b是兩個非零向量，當a+tb（tr）的模取最小值時，（1）求t的值；（2）求證：b（a+tb）.剖析：利用|a+tb|2=（a+tb）2進行轉(zhuǎn)換，可討論有關|a+tb|的最小值問題，若能計算得b·（a+tb）=0，則證得了b（a+tb）.（1）解：設a與b的夾角為，則|a+t

4、b|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|cos=|b|2（t+cos）2+|a|2sin2，所以當t=cos=時，|a+tb|有最小值.（2）證明：因為b·（a+tb）=b·（a·b）=a·ba·b=0，所以b（atb）.評注：用向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直等幾何問題，向量的坐標運算為處理這類問題帶來了很大的方便.思考討論對|a+tb|的變形，有兩種基本的思考方法：一是通過|a+tb|2=（a+tb）2進行向量的數(shù)量積運算；二是設a、b的坐標，通過向量的坐標運算

5、進行有目的的變形.讀者可嘗試用后一方法解答本題.深化拓展已知=a，=b，a·b=|ab|=2，當aob面積取最大值時，求a與b的夾角.解：因為|ab|2=4，所以a22a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，saob=·sin=|a|b|=，（當且僅當|a|=|b|=2時取等號）所以當|a|=|b|=2時，aob的面積取最大值，這時，cos=，所以=60°.【例2】 如圖，四邊形mnpq是c的內(nèi)接梯形，c是圓心，c在mn上，向量與的夾角為120°，·=2.（1）求c的方程；（2）求以m、n為焦點且過點p、

6、q的橢圓的方程.剖析：需先建立直角坐標系，為了使所求方程簡單，需以c為原點，mn所在直線為x軸，求c的方程時，只要求半徑即可，求橢圓的方程時，只需求a、b即可.解：（1）以mn所在直線為x軸，c為原點，建立直角坐標系xoy.與的夾角為120°，故qcm=60°.于是qcm為正三角形，cqm=60°.又·=2，即|coscqm=2，于是r=|=2.故c的方程為x2+y2=4.（2）依題意2c=4，2a=|qn|+|qm|，而|qn|=2，|qm|=2，于是a=+1，b2=a2c2=2.所求橢圓的方程為+=1.評述：平面向量在解析幾何中的應用越來越廣，復習時

7、應引起重視.闖關訓練夯實基礎1.（2004年遼寧，6）已知點a（2，0），b（3，0），動點p（x，y）滿足·=x2，則點p的軌跡是a.圓b.橢圓c.雙曲線d.拋物線解析：=（2x，y），=（3x，y），·=（2x）（3x）+（y）2=x2，整理得y2=x+6.p點的軌跡為拋物線.答案：d2.臺風中心從a地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市b在a的正東40 km處，b城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為a.0.5 hb.1 hc.1.5 hd.2 h解析：臺風中心移動t h，城市b處在危險區(qū)，則（20t）2+4022×20t

8、15;40×cos45°900.t+.b城市處在危險區(qū)的時間為1 h.答案：b3.在一座20 m高的觀測臺頂測得地面一水塔塔頂仰角為60°，塔底俯角為45°，那么這座塔的高為_.解析：如圖，ad=dc=20.bd=adtan60°=20.塔高為20（1+） m.答案：20（1+） m4.有一兩岸平行的河流，水速為1，小船的速度為，為使所走路程最短，小船應朝_方向行駛.解析：如下圖，為使小船所走路程最短，v水+v船應與岸垂直.又v水=1，v船=，adc=90°，cad=45°.答案：與水速成135°角的5.如圖，ab

9、c的bc邊的中點為m，利用向量證明：ab2+ac2=2（am2+bm2）. 證明：設=m，=b，=c，則m=，m·m=·=b2+b·c+c2=ab2+ac2+ab·ac·cosbac=ab2+ac2+ab·ac·=ab2+ac2+（ab2+ac2bc2）.am2=ab2+ac2bc2.又bc2=4bm2，ab2+ac2=2（am2+bm2）.6.如圖，用兩根繩子把重10 n的物體w吊在水平桿子ab上.acw=150°，bcw=120°，求a和b處所受力的大小.（忽略繩子重量）解：設a、b處所受力分別為f1

10、、f2，10 n的重力用f表示，則f1+f2=f.以重力作用點c為f1、f2的始點，作平行四邊形cfwe，使cw為對角線，則=f1，=f2，=f，則ecw=180°150°=30°，fcw=180°120°=60°，fce=90°.四邊形cewf為矩形.|=|cos30°=10·=5，=|cos60°=10×=5.a處受力為5 n，b處受力為5 n.培養(yǎng)能力7.已知a（4，0），n（1，0），若點p滿足·=6|.（1）求點p的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；（2）求|的取值

11、范圍；（3）若m（1，0），求mpn在0，上的取值范圍.解：（1）設p（x，y），=（x4，y），=（1x，y），=（3，0），·=6|，3（x4）=6，即3x2+4y2=12.=1.p點的軌跡是以（1，0）、（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓.（2）n（1，0）為橢圓的右焦點，x=4為右準線，設p（x0，y0），p到右準線的距離為d，d=4x0，=e=，|pn|=d=.2x02，1|pn|3.當|pn|=1時，p（2，0）；當|pn|=3時，p（2，0）.（3）令|pn|=t（1t3），則|pm|=4t，|mn|=2，cosmpn=1+.由1t3，得3t（4t）4，cosmpn1.

12、0mpn.8.如圖，已知abc的頂點坐標依次為a（1，0），b（5，8），c（7，4），在邊ab上有一點p，其橫坐標為4，在ac上求一點q，使線段pq把abc分成面積相等的兩部分.解：設p分的比為1，則4=1=3，即=3，=.又=·=，=，即=2.設2=，則2=2.xq=5，yq=.q（5，）.探究創(chuàng)新9.如下圖，已知ofq的面積為s，且與的數(shù)量積等于1，（1）若s2，求向量與的夾角的取值范圍；（2）設|=c（c2），s=c，若以o為中心，f為焦點的橢圓經(jīng)過點q，當|取得最小值時，求此橢圓的方程.解：（1）tan=2s.又s2，1tan4.arctan4.（2）以o為原點，所在直線為

13、x軸建立坐標系，設橢圓方程為+=1（ab0），點q（x1，y1），則=（x1c，y1）.又ofq的面積為|·y1=c，y1=.又由·=1，解得x1=c+.|=（c2）.設f（c）=c+，則（c）=1=.當c2時，（c）0，f（c）在2，）上遞增，當c=2時，|最小，此時q（，），由此可得a2=10，b2=6.橢圓方程為=1.思悟小結(jié)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀，向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，因此在向量的復習中要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合.應用向量可以解決平面幾何中的一些問題，在物理和工程技術中應用也很廣泛.教師下載中心教學點睛教材中

14、安排了解三角形應用舉例和實習作業(yè)，根據(jù)新教材突出應用這一顯著特點，教學中應充分利用這些素材，使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練，滲透數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的能力.拓展題例【例1】 已知a=（x2，x），b=（x，x3），x4，4.（1）求f（x）=a·b的表達式；（2）求f（x）的最小值，并求此時a與b的夾角.解：（1）f（x）=a·b=x2·x+x·（x3）=x3+x23x，x4，4.（2）（x）=x2+2x3=（x+3）（x1）.列表：x4（4，3）3（3，1）1（1，4）4（x）+00+f（x）極大值9極小值故當x=1時，f（x）有最小值為.此時a=（，1），b=（1，2）.設為a與b的夾角，則cos=.又由0，得=.【例2】 如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪，用一條（足夠長）繩子跨過它們，并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體，另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體，為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，此物體的質(zhì)量應是多少?（忽略滑輪半徑、繩子的重量）分析：先進行受力分析，列出平衡方程，然后用數(shù)學方法求解.解：設所求物體質(zhì)量為m kg時，系統(tǒng)保持平衡，再設f1與豎直方向的夾角為1，f2與豎直方向的夾角為