高考數(shù)學(xué)理一輪知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題講座：拋物線(xiàn)含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【名師面對(duì)面】20xx屆數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)講座：考點(diǎn)35 拋物線(xiàn)加（*）號(hào)的知識(shí)點(diǎn)為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用一.考綱目標(biāo)拋物線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及定義的應(yīng)用.二.知識(shí)梳理1.拋物線(xiàn)的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)f叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)2.拋物線(xiàn)的圖形和性質(zhì)：頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線(xiàn)所作垂線(xiàn)段中點(diǎn).（*）焦準(zhǔn)距：（*）通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的弦長(zhǎng)為.頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)段：.（*）焦半徑為半徑的圓：以p為圓心、fp為半徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切.所有這樣的圓過(guò)定點(diǎn)f、準(zhǔn)線(xiàn)是公切線(xiàn)

2、.（*）焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 fp為直徑的圓必與過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)相切，所有這樣的圓過(guò)定點(diǎn)f、過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)是公切線(xiàn)（*）焦點(diǎn)弦為直徑的圓：以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切.所有這樣的圓的公切線(xiàn)是準(zhǔn)線(xiàn)3.拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：4.拋物線(xiàn)的圖像和性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線(xiàn)方程是：（*）焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離（稱(chēng)為焦半徑）是：，（*）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為p或或p5.一般情況歸納：方程圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)定義特征y2=kxk>0時(shí)開(kāi)口向右(k/4,0)x= k/4到焦點(diǎn)(k/4,0)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)x= k/4的距離k<

3、;0時(shí)開(kāi)口向左x2=kyk>0時(shí)開(kāi)口向上(0,k/4)y= k/4到焦點(diǎn)(0,k/4)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)y= k/4的距離k<0時(shí)開(kāi)口向下三考點(diǎn)逐個(gè)突破1.拋物線(xiàn)的定義例1. 如下圖所示，直線(xiàn)相交于點(diǎn)m,點(diǎn),以a、b為端點(diǎn)的曲線(xiàn)段c上的任一點(diǎn)到 的距離與到點(diǎn)n的距離相等若為銳角三角形,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線(xiàn)段 c的方程分析：由題意所求曲線(xiàn)段是拋物線(xiàn)的一部分，求曲線(xiàn)方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線(xiàn)方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線(xiàn)方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍解: 以mn中點(diǎn)為原點(diǎn),mn所在直線(xiàn)方程為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線(xiàn)方程為由得: , 又, ,解得 由銳角為三角形,

4、, , 又 故所求曲線(xiàn)方程為: 2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例2. 求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程：（1）過(guò)點(diǎn)（3，2）；（2）焦點(diǎn)在直線(xiàn)x2y4=0上分析：從方程形式看，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開(kāi)口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論解：（1）設(shè)所求的拋物線(xiàn)方程為y2=2px或x2=2py（p0），過(guò)點(diǎn)（3，2），4=2p（3）或9=2p·2p=或p=所求的拋物線(xiàn)方程為y2=x或x2=y，前者的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=，后者的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，2）當(dāng)焦點(diǎn)為

5、（4，0）時(shí)，=4，p=8，此時(shí)拋物線(xiàn)方程y2=16x；焦點(diǎn)為（0，2）時(shí)，=2，p=4，此時(shí)拋物線(xiàn)方程為x2=8y所求的拋物線(xiàn)的方程為y2=16x或x2=8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是x=4，y=2點(diǎn)評(píng)：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開(kāi)口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解3.拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)例3. （1）已知直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)c的焦點(diǎn),且與c的對(duì)稱(chēng)軸垂直,與c交于a,b兩點(diǎn),|ab|=12,p為c的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn),則的面積為( )a.18 b.24 c.36 d.48【答案】c【解析】因?yàn)閍b過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直,所以線(xiàn)段ab是拋物線(xiàn)的通徑,長(zhǎng)為,所以,又點(diǎn)p到ab的距離為

6、焦參數(shù),所以的面積為,故選c.（2）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)，則的最小值是abcd【答案】b 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)方程為.過(guò)p作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于e,則，所以，即，所以當(dāng)為拋物線(xiàn)的切線(xiàn)時(shí)，最大.不妨設(shè)p在第一象限，設(shè)過(guò)a的直線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)的方程為，代入，整理得，由解得，所以，此時(shí)，所以點(diǎn).所以，即則的最小值是.選b（3）設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為f，經(jīng)過(guò)點(diǎn)f的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且bcx軸證明直線(xiàn)ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o分析：證直線(xiàn)ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o，即證o、a、c三點(diǎn)共線(xiàn)，為此只需證koc=koa本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)和

7、平面幾何知識(shí)去解決證法一：設(shè)ab：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyp2=0由韋達(dá)定理，得yayb=p2，即yb=bcx軸，且c在準(zhǔn)線(xiàn)x=上，c（，yb）則koc=koa故直線(xiàn)ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o證法二：如圖，記準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為e，過(guò)a作adl，垂足為d則adefbc連結(jié)ac交ef于點(diǎn)n，則=，=|af|=|ad|，|bf|=|bc|，|en|=|nf|，即n是ef的中點(diǎn)從而點(diǎn)n與點(diǎn)o重合，故直線(xiàn)ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o4.拋物線(xiàn)與其他知識(shí)的交匯例4.（1）已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),則雙曲線(xiàn)的焦距為a. b. c.

8、d. 【答案】b【解析】由題意知,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,所以,又,所以,又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(-2,-1),所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,即,所以,即,選b.（2）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為abcd【答案】d拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線(xiàn)中.又，所以.所以雙曲線(xiàn)飛漸近線(xiàn)方程為，選d.(3) 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且直線(xiàn)與的斜率之積等于，則_【答案】由題意知,且，所以,所以，即，所以，解得5.拋物線(xiàn)的綜合運(yùn)用例5.（1）拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足.過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則的最大值為a. b. 1 c. d. 2【答案】a設(shè)|af|=a，|bf|=b，連接af、bf.由拋物線(xiàn)定義，得|af|=|aq|，|bf|=|bp|在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos120°=a2+b2+ab配方得， ，又因?yàn)?，所?所以，所以,即的最大值為選：a（2）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐