高考數學理一輪知識點專題講座：空間向量及其運算含答案

1、高考數學精品復習資料 2019.5【名師面對面】20xx屆數學一輪知識點講座：考點41空間向量及其運算（解析版）加（*）號的知識點為了解內容，供學有余力的學生學習使用一.考綱目標空間向量的運算和運算律；共面向量定理和空間向量基本定理.二知識梳理1.空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；2.空間直角坐標系中

2、的坐標：在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標3.空間向量的直角坐標運算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標4.模長公式：若，則，5.夾角公式：6.兩點間的距離公式：若，則，或 三考點逐個突破1.空間向量的線性運算例1.（1） 如圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中，m為a1c1與b1d1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()aabc b.abc cabc d.abc答案a解析()()cab，故選a.

3、（2）如圖，空間四邊形oabc中，a，b，c，點m在oa上，且om2ma，n為bc中點，則等于_答案abc解析()(bc)aabc.2.空間向量基本定理例2. 如圖，平面abef平面abcd，四邊形abef與abcd都是直角梯形，badfab90°，bc/ad，be/fa，g、h分別為fa、fd的中點(1)證明：四邊形bchg是平行四邊形；(2)c、d、f、e四點是否共面？為什么？(3)設abbe，證明：平面ade平面cde.解析由題設知，fa、ab、ad兩兩互相垂直如圖，以a為坐標原點，射線ab為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系axyz.(1)設aba，bcb，bec，則由題設

4、得a(0，0,0)，b(a,0,0)，c(a，b,0)，d(0,2b,0)，e(a,0，c)，g(0,0，c)，h(0，b，c)，f(0,0,2c)所以，(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又點g不在直線bc上，則gh/bc，所以四邊形bchg是平行四邊形(2)c、d、f、e四點共面理由如下：由題設知，f(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，又cef，hfd，故c、d、f、e四點共面(3)由abbe，得ca，所以(a,0，a)， (a,0，a)，又(0,2b,0)，因此·0，·0，即chae，chad，又adaea，所以ch平面ade.故由ch平面cdfe

5、，得平面ade平面cde.3.數量積及其應用例3.(1) 三棱柱abca1b1c1的側棱垂直于底面，已知cacbcc1，acbc，e、f分別是a1c1、b1c1的中點則ae與cf所成角的余弦值等于()a. b. c. d.答案a解析以c為原點，、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，設ac1，則a(1,0,0)，b1(0,1,1)，c(0,0,0)，c1(0,0,1)，a1(1,0,1)，e、f分別為a1c1、b1c1的中點，e(，0,1)，f(0，1)，(，0,1)，(0，1)，cos，故選a.(2)正四面體abcd的棱長為2，e、f分別為bc、ad的中點，則ef的長為()a1 b. c. d2答案c解析()，由條件知|2，···2，|2|2|2|22·2·2·2，|.4.空間向量及其坐標表示例4. 如圖所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e為pb的中點，cos，若以da、dc、dp所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則點e的坐標為()a(1,1,1) b(1,1，) c(1,1，) d(1,1,2)答案a解析由題意知a(