高考數(shù)學(xué)江蘇專版三維二輪專題復(fù)習(xí)教學(xué)案：專題一 三角 Word版含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 江蘇江蘇 新高考新高考 新高考中，對三角計算題的考查始終圍繞著求角、求值問題，以和、差角公式的運用新高考中，對三角計算題的考查始終圍繞著求角、求值問題，以和、差角公式的運用為主，可見三角式的恒等變換比三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)更為重要為主，可見三角式的恒等變換比三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)更為重要.三角變換的基本解題規(guī)律三角變換的基本解題規(guī)律是：尋找聯(lián)系、消除差異是：尋找聯(lián)系、消除差異.常有角變換、函數(shù)名稱變換、次數(shù)變換等常有角變換、函數(shù)名稱變換、次數(shù)變換等 簡稱為：變角、變名、簡稱為：變角、變名、變次變次 .備考中要注意積累各種變換的方法與技巧，不斷提高分析與解決問題的

2、能力備考中要注意積累各種變換的方法與技巧，不斷提高分析與解決問題的能力. 三角考題的花樣翻新在于條件變化，大致有三類：第一類是給出三角式值三角考題的花樣翻新在于條件變化，大致有三類：第一類是給出三角式值 見三角解答見三角解答題題 ，第二類是給出在三角形中，第二類是給出在三角形中 見、 、三角解答題見、 、三角解答題 ，第三類是給出向量，第三類是給出向量 見、三角解答見、三角解答題題 .而而三角解答題則是二、三類的混合三角解答題則是二、三類的混合. 第第 1 課時課時三角函數(shù)三角函數(shù)(基礎(chǔ)課基礎(chǔ)課) ?？碱}型突破?？碱}型突破 三角恒等變換三角恒等變換 必備知識必備知識 1兩角和與差的正弦、余弦、

3、正切公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin cos cos sin ； (2)cos( )cos cos sin sin ； (3)tan( )tan tan 1 tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 22tan 1tan2. 題組練透題組練透 1(20 xx 江蘇高考江蘇高考)若若 tan 416，則，則 tan _. 解析：解析：tan tan 44 tan 4tan41tan 4tan416111675. 答案：

4、答案：75 2已知已知 f(x)sin x6，若，若 sin 35 2 ，則，則 f 12_. 解析：解析：sin 35 2 ， cos 45， f 12sin 126sin 422(sin cos )22 3545210. 答案：答案：210 3(20 xx 全國卷全國卷)已知已知 是第四象限角，且是第四象限角，且 sin 435，則，則 tan 4_. 解析：解析：由題意知由題意知 sin 435， 是第四象限角，是第四象限角， 所以所以 cos 4 1sin2 445. tan 4tan 42sin 2 4cos 2 4 cos 4sin 4455343. 答案：答案：43 4在在abc

5、 中，中，sin(ca)1，sin b13，則，則 sin a_. 解析：解析：sin(ca)1， ca90，即，即 c90a，sin b13， sin bsin(ac)sin(902a)cos 2a13， 即即 12sin2a13，sin a33. 答案：答案：33 方法歸納方法歸納 三角恒等變換的三角恒等變換的“四大策略四大策略” (1)常值代換：常值代換：特別是特別是“1”的代換，的代換，1sin2cos2tan 45等；等； (2)項的拆分與角的配湊：項的拆分與角的配湊：如如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等；等； (3)升次與降次：升次與降次：正用二倍角公式升

6、次，逆用二倍角公式降次；正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：弦、切互化：一般是切化弦一般是切化弦 三角函數(shù)的圖象與解析式三角函數(shù)的圖象與解析式 必備知識必備知識 函數(shù)函數(shù) yasin(x)的圖象的圖象 (1)“五點法五點法”作圖：作圖： 設(shè)設(shè) zx，令，令 z0，2，32，2，求出，求出 x 的值與相應(yīng)的的值與相應(yīng)的 y 的值，描點、連線可得的值，描點、連線可得 (2)圖象變換：圖象變換： ysin x 向左向左 0 或向右或向右 0 平移平移|個單位個單位ysin(x) 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶 a0 倍倍橫坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)不變yasin(x) 題組練透題組練

7、透 1 (20 xx 全國卷全國卷)函數(shù)函數(shù) ysin x 3cos x 的圖象可由函數(shù)的圖象可由函數(shù) ysin x 3cos x 的圖象至的圖象至少向右平移少向右平移_個單位長度得到個單位長度得到 解析：解析：因為因為 ysin x 3cos x2sin x3，ysin x 3cos x2sin x3，所以把，所以把 y2sin x3的圖象至少向右平移的圖象至少向右平移23個單位長度可得個單位長度可得 y2sin x3的圖象的圖象 答案：答案：23 2.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)acos(x)(a0， 0,0)為奇函數(shù)， 該為奇函數(shù)， 該函數(shù)的部分圖象如圖所示，函數(shù)的部分圖象如圖所示，efg

8、(點點 g 是圖象的最高點是圖象的最高點)是邊長為是邊長為 2的等邊三角形，則的等邊三角形，則 f(1)_. 解析：解析：由題意得，由題意得，a 3，t42，2.又又f(x)acos(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，2k，kz，取，取 k0，則，則 2，f(x) 3sin2x，f(1) 3. 答案：答案： 3 3.(20 xx 天津高考改編天津高考改編)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)2sin(x)，xr，其中，其中 0，|.若若 f 582，f 1180，且，且 f(x)的最小正周期大于的最小正周期大于 2，則，則 _，_. 解析：解析：f 582，f 1180， 11858t4(2m1)，mn， t32m1

9、，mn， f(x)的最小正周期大于的最小正周期大于 2，t3， 2323，f(x)2sin 2x3 . 由由 2sin 2358 2，得，得 2k12，kz. 又又|，取取 k0，得，得 12. 答案答案：23 12 4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)2sin 2x5，若對任意，若對任意 xr，都有，都有 f(x1)f(x)f(x2)成立，則成立，則|x1x2|的最小值為的最小值為_ 解析：解析：由由 f(x1)f(x)f(x2)對任意對任意 xr 成立，知成立，知 f(x1)，f(x2)分別是函數(shù)分別是函數(shù) f(x)的最小值和的最小值和最大值又要使最大值又要使|x1x2|最小，最小，|x1x2|的最小

10、值為的最小值為 f(x)的半個周期，即為的半個周期，即為 2. 答案：答案：2 方法歸納方法歸納 1 已知函數(shù)已知函數(shù) yasin x a0，0 的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點求圖中的最高點、最低點求 a，由函數(shù)的周期確定，由函數(shù)的周期確定 ，由圖象上的關(guān)鍵點確定由圖象上的關(guān)鍵點確定 . 2 對于函數(shù)圖象的平移問題，一定要弄清楚是由哪個函數(shù)圖象平移到哪個函數(shù)圖象，對于函數(shù)圖象的平移問題，一定要弄清楚是由哪個函數(shù)圖象平移到哪個函數(shù)圖象，這是判斷移動方向的關(guān)鍵點，否則易混淆平移的方向，導(dǎo)致結(jié)果出錯這是判斷移動方向的關(guān)鍵點，否則易混淆

11、平移的方向，導(dǎo)致結(jié)果出錯. 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì) 必備知識必備知識 1三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y sin x 的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 2k2，2k2(k z) ， 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是， 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是 2k2，2k32(kz)； ycos x 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kz)，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kz)； ytan x 的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是 k2，k2(kz) 2三角函數(shù)的奇偶性與對稱性三角函數(shù)的奇偶性與對稱性 yasin(x)，當(dāng)，當(dāng) k(kz)時為奇函數(shù)；當(dāng)時為奇函數(shù)

12、；當(dāng) k2(kz)時為偶函數(shù)；時為偶函數(shù)； 對稱軸方程可由對稱軸方程可由 xk2(kz)求得求得 yacos(x)，當(dāng)，當(dāng) k2(kz)時為奇函數(shù)；當(dāng)時為奇函數(shù)；當(dāng) k(kz)時為偶函數(shù)；時為偶函數(shù)； 對稱軸方程可由對稱軸方程可由 xk(kz)求得求得 yatan(x)，當(dāng)，當(dāng) k(kz)時為奇函數(shù)時為奇函數(shù) 題組練透題組練透 1已知已知 f(x)2sin 2x3，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)的最小正周期為的最小正周期為_，f 6_. 解析：解析：周期周期 t22，f 62sin23 3. 答案：答案： 3 2(20 xx 全國卷全國卷)函數(shù)函數(shù) f(x)sin2x 3cos x34 x 0，2的

13、最大值是的最大值是_ 解析：解析：依題意，依題意，f(x)sin2x 3cos x34cos2x 3cos x14 cos x3221， 因為因為 x 0，2，所以，所以 cos x0,1， 因此當(dāng)因此當(dāng) cos x32時，時，f(x)max1. 答案：答案：1 3若函數(shù)若函數(shù) f(x)sin x6(0)的圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為的圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為2，則，則 f(x)在在 2，2上的單調(diào)遞增區(qū)間為上的單調(diào)遞增區(qū)間為_ 解析：解析：依題意知，依題意知，f(x)sin x6的圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為的圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為2，于是有，于是有 t222，2，

14、所以，所以 f(x)sin 2x6.當(dāng)當(dāng) 2k22x62k2，kz，即，即 k6xk3，kz時，時，f(x)sin 2x6單調(diào)遞增 因此，單調(diào)遞增 因此，f(x)sin 2x6在在 2，2上上的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 6，3. 答案：答案： 6，3 方法歸納方法歸納 三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及最值的求法三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及最值的求法 (1)三角函數(shù)單調(diào)性的求法三角函數(shù)單調(diào)性的求法 求形如求形如 yasin(x)(或或 yacos(x)(a， 為常數(shù)，為常數(shù)，a0，0)的單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)間的一般思路：令間的一般思路：令 xz，則，則 yasin z(或或 yacos z)，然后由復(fù)合

15、函數(shù)的單調(diào)性求得，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得 (2)三角函數(shù)周期性的求法三角函數(shù)周期性的求法 函數(shù)函數(shù) yasin(x)(或或 yacos(x)的最小正周期的最小正周期 t2|.應(yīng)特別注意應(yīng)特別注意 y|asin(x)|的最小正周期為的最小正周期為 t|. (3)三角函數(shù)最值三角函數(shù)最值(值域值域)的求法的求法 在求最值在求最值(值域值域)時，一般要先確定函數(shù)的定義域，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)時，一般要先確定函數(shù)的定義域，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù) f(x)的最值的最值 正弦定理和余正弦定理和余弦定理弦定理 必備知識必備知識 1正弦定理及其變形正弦定理及其變形 在在abc 中，中，asi

16、n absin bcsin c2r(r 為為abc 的外接圓半徑的外接圓半徑)變形：變形：a2rsin a，sin aa2r，abcsin asin bsin c 等等 2余弦定理及其變形余弦定理及其變形 在在abc 中，中，a2b2c22bccos a. 變形：變形：b2c2a22bccos a，cos ab2c2a22bc. 3三角形面積公式三角形面積公式 sabc12absin c12bcsin a12acsin b. 題組練透題組練透 1(20 xx 鹽城期中鹽城期中)在在abc 中，已知中，已知 sin asin bsin c357，則此三角形的最，則此三角形的最大內(nèi)角的大小為大內(nèi)角

17、的大小為_ 解析：解析：由正弦定理及由正弦定理及 sin asin bsin c357 知，知，abc357，可設(shè)，可設(shè) a3k，b5k，c7k，且角，且角 c 是最大內(nèi)角，由余弦定理知是最大內(nèi)角，由余弦定理知 cos ca2b2c22ab9k225k249k223k5k12，因為，因為 0c0)的最小正周期為的最小正周期為15，則，則 f 13的值的值為為_ 解析：解析：因為因為 f(x)的最小正周期為的最小正周期為215，所以，所以 10，所以，所以 f(x)sin 10 x6，所以，所以f 13sin 1036sin196sin612. 答案答案：12 2在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系

18、 xoy 中，角中，角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 p(2，t)，且，且 sin cos 55，則，則實數(shù)實數(shù) t 的值為的值為_ 解析：解析：角角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 p(2，t)， sin t4t2，cos 24t2， 又又sin cos 55， t4t224t255，即，即t24t255， 則則 t2，平方得，平方得t24t44t215， 即即 14t4t215，即，即4t4t245， 則則 t25t40，則，則 t1(舍去舍去)或或 t4. 答案答案：4 3(20 xx 南京、鹽城一模南京、鹽城一模)將函數(shù)將函數(shù) y3sin 2x3的圖象向右平移的圖象向右平移 02個單位后，個單位

19、后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則所得函數(shù)為偶函數(shù)，則 _. 解析：解析：將函數(shù)將函數(shù) y3sin 2x3的圖象向右平移的圖象向右平移 02個單位后，所得函數(shù)為個單位后，所得函數(shù)為 f(x)3sin 2 x 3，即，即 f(x)3sin 2x 32.因為因為 f(x)為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以322k，kz，所以，所以 12k2，kz，因為，因為 02，所以，所以 512. 答案答案：512 4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ysin x3(0 x)，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) x12時，時，y 取得最大值，則正數(shù)取得最大值，則正數(shù) 的的值為值為_ 解析：解析：由條件得由條件得 sin 1231，又，又 0 x，0，故，故12

20、32，2. 答案：答案：2 5已知已知abc 的內(nèi)角的內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為所對的邊分別為 a，b，c，且，且 2bac，若，若 sin b45，cos b9ac，則，則 b 的值為的值為_ 解析：解析：2bac，sin b45，cos b9ac，sin2bcos2b1，ac15，b2a2c22accos ba2c218(ac)2484b248，得，得 b4. 答案：答案：4 6(20 xx 揚州期末揚州期末)已知已知 cos 3 1302，則，則 sin()_. 解析：解析：因為因為 cos 3 13 02， 所以所以3356， 有有 sin 3 1cos2 3 2 23， 所以所

21、以 sin()sin 3 23 sin 3 cos23cos 3 sin23 2 23 12133232 26. 答案答案：32 26 7(20 xx 北京高考北京高考)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，角中，角 與角與角 均以均以 ox 為始邊，它們的終為始邊，它們的終邊關(guān)于邊關(guān)于 y 軸對稱若軸對稱若 sin 13，則，則 cos()_. 解析：解析：因為角因為角 與角與角 的終邊關(guān)于的終邊關(guān)于 y 軸對稱，軸對稱， 所以所以 2k，kz， 所以所以 cos()cos(22k)cos 2 (12sin2) 12 13279. 答案：答案：79 8在在abc 中，中，a23，a

22、3c，則，則bc_. 解析：解析：在在abc 中，中，a23， a2b2c22bccos23，即，即 a2b2c2bc. a 3c，3c2b2c2bc，b2bc2c20， (b2c)(bc)0，bc0，bc，bc1. 答案：答案：1 9若若 f(x)3sin(x)cos(x) 22是定義在是定義在 r 上的偶函數(shù)，則上的偶函數(shù)，則 _. 解析：解析： 因為因為 f(x) 3sin(x)cos(x)2sin x6為偶函數(shù)， 所以為偶函數(shù)， 所以 6k2，kz.即即 k23.因為因為22，所以，所以 3. 答案：答案：3 10在在abc 中，設(shè)中，設(shè) a，b，c分別為角分別為角 a，b，c 的對邊

23、，若的對邊，若 a5，a4，cos b35，則則 c_. 解析：解析：根據(jù)題意得，根據(jù)題意得，sin b45，所以，所以 sin csin(ab)sin 4b 22(sin bcos b)22757 210，由，由asin acsin c，得，得5sin4c7 210，解得，解得 c7. 答案：答案：7 11(20 xx 無錫期末無錫期末)設(shè)設(shè) f(x)sin2x 3cos x cos x2，則，則 f(x)在在 0，2上的單調(diào)遞增上的單調(diào)遞增區(qū)間為區(qū)間為_ 解析：解析：f(x)sin2x 3sin xcos x12(1cos 2x)32sin 2xsin 2x612，當(dāng)，當(dāng) 2k22x62k

24、2，kz，即，即 k6xk3，kz 時，函數(shù)時，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，令單調(diào)遞增，令 k0，得得6x3，所以，所以函數(shù)函數(shù) f(x)在在 0，2上的單調(diào)遞增區(qū)間為上的單調(diào)遞增區(qū)間為 0，3. 答案答案： 0，3 12函數(shù)函數(shù) yasin(ax)(a0，0)圖象上的一個最高點和其相鄰最低點的距離的最圖象上的一個最高點和其相鄰最低點的距離的最小值為小值為_ 解析：解析：易知函數(shù)易知函數(shù) yasin(ax)(a0，0)的最大值為的最大值為 a，最小值為，最小值為a，最小正，最小正周期周期t2a，所以相鄰的最高點與最低點的距離為，所以相鄰的最高點與最低點的距離為 a24a2 2a2a2 ，當(dāng)且僅，當(dāng)

25、且僅當(dāng)當(dāng)a2a，即，即 a22時等號成立時等號成立 答案：答案：2 13已知已知 cos 6sin 4 35，則，則 sin 76的值是的值是_ 解析：解析：由由 cos 6sin 4 35， 可得可得32cos 12sin sin 4 35， 即即32sin 32cos 4 35， 3sin 64 35，sin 645， sin 76sin 645. 答案：答案：45 14(20 xx 蘇錫常鎮(zhèn)一模蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知已知 sin 3sin 6，則，則 tan 12_. 解析：解析：sin 3sin 63sin cos63cos sin63 32sin 32cos ，tan 323 3. 又又

26、 tan 12tan 34tan3tan41tan3tan431312 3， tan 12tan tan121tan tan 12 323 32 31323 3()2 32 34. 答案答案：2 34 b組組力爭難度小題力爭難度小題 1如圖，已知如圖，已知 a，b 分別是函數(shù)分別是函數(shù) f(x) 3sin x(0)在在 y 軸右側(cè)軸右側(cè)圖象上的第一個最高點和第一個最低點，且圖象上的第一個最高點和第一個最低點，且aob2，則該函數(shù)的最，則該函數(shù)的最小正周期是小正周期是_ 解析：解析： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)的最小正周期為的最小正周期為 t， 由圖象可得， 由圖象可得 a t4， 3 ， b 3t

27、4， 3 ， 則， 則oa ob 3t21630，解得，解得 t4. 答案：答案：4 2(20 xx 南京考前模擬南京考前模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)sin x6cos x (0)若函數(shù)若函數(shù) f(x)的圖象的圖象關(guān)于直線關(guān)于直線 x2 對稱，且在區(qū)間對稱，且在區(qū)間 4，4上是單調(diào)函數(shù)，則上是單調(diào)函數(shù)，則 的取值集合為的取值集合為_ 解析：解析：f(x)32sin x12cos xcos x32sin x12cos xsin x6， 因為因為 f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x2 對稱，對稱， 所以所以 f(2) 1， 則則 26k2，kz， 所以所以 k213，kz. 因為函數(shù)因為

28、函數(shù) f(x)在區(qū)間在區(qū)間 4，4上是單調(diào)函數(shù)，上是單調(diào)函數(shù)， 所以最小正周期所以最小正周期 t2 4 4， 即即2，解得，解得 02， 所以所以 13或或 56或或 43或或 116. 當(dāng)當(dāng) 13時，時，f(x)sin 13x6， x 4，4時，時，13x6 4，12， 此時此時 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 4，4上為增函數(shù)；上為增函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) 56時，時，f(x)sin 56x6， x 4，4時，時，56x6 38，24， 此時此時 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 4，4上為增函數(shù)；上為增函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) 43時，時，f(x)sin 43x6， x 4，4時，時，43x6 2，6， 此時此時 f(x)在區(qū)間在

29、區(qū)間 4，4上為增函數(shù)；上為增函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) 116時，時，f(x)sin 116x6， x 4，4時，時，116x6 58，724， 此時此時 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 4，4上不是單調(diào)函數(shù)；上不是單調(diào)函數(shù)； 綜上，綜上， 13，56，43. 答案答案： 13，56，43 3 abc 的三個內(nèi)角為的三個內(nèi)角為 a， b， c， 若， 若3cos asin a3sin acos atan 712， 則， 則 tan a_. 解析：解析：3cos asin a3sin acos a2sin a32sin a6sin a3cos a3tan a3tan a3tan 712， 所以所以a3712，所以，所

30、以 a71234， 所以所以 tan atan41. 答案：答案：1 4已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)asin(x)cosx2cos 6x2(其中其中 a 為常數(shù)，為常數(shù)，(，0)，若實數(shù)，若實數(shù)x1，x2，x3滿足：滿足：x1x2x3，x3x12，f(x1)f(x2)f(x3)，則，則 的值為的值為_ 解析：解析： 函數(shù)函數(shù) f(x)a(sin xcos cos xsin )cosx2 32cosx212sinx2a(sin xcos cos x sin )321cos x214sin x acos 14sin x asin 34cos x34，故函數(shù)，故函數(shù) f(x)為常為常數(shù)函數(shù)或為周期數(shù)函

31、數(shù)或為周期 t2 的周期函數(shù) 又的周期函數(shù) 又 x1，x2，x3滿足條件滿足條件， 故， 故 f(x)只能為常數(shù)函數(shù)，只能為常數(shù)函數(shù)，所以所以 acos 140，asin 340，則則 tan 3，又，又 (，0)，故，故 23. 答案：答案：23 第第 2 課時課時平面向量平面向量(基礎(chǔ)課基礎(chǔ)課) 常考題型突破?？碱}型突破 平面向量的概念及線性運算平面向量的概念及線性運算 必備知識必備知識 (1)在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向，在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化不能盲目轉(zhuǎn)化 (2)在用三角形加法法則時要

32、保證在用三角形加法法則時要保證“首尾相接首尾相接”，和向量是第一個向量的起點指向最后，和向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點同起點”，減向量的方向是指，減向量的方向是指向被減向量向被減向量 (3)a，b，c 三點共線的充要條件是存在實數(shù)三點共線的充要條件是存在實數(shù) ，有，有oa ob oc ，且，且 1. (4)c 是線段是線段 ab 中點的充要條件是中點的充要條件是oc 12(oa ob )g 是是abc 的重心的充要條件的重心的充要條件為為ga gb gc 0. 題組練透題組練透 1(20

33、 xx 鹽城期中鹽城期中)設(shè)向量設(shè)向量 a(2，6)，b(1，m)，若，若 ab，則實數(shù)，則實數(shù) m_. 解析：解析：因為因為 ab，所以，所以 2m(1)(6)0，所以，所以 m3. 答案答案：3 2 (20 xx 鎮(zhèn)江模擬鎮(zhèn)江模擬)已知已知abc和點和點 m滿足滿足ma mb mc 0.若存在實數(shù)若存在實數(shù) m使得使得ab ac mam 成立，則成立，則 m_. 解析：解析：由由ma mb mc 0 知，點知，點 m 為為abc 的重心，設(shè)點的重心，設(shè)點 d 為底邊為底邊 bc 的中點，的中點，則則am 23ad 2312( ab ac )13( ab ac )，ab ac 3am ，故，

34、故 m3. 答案答案：3 3.(20 xx 南京考前模擬南京考前模擬)在直角梯形在直角梯形 abcd 中，中，abcd，dab90，ab2cd，m 為為 cd 的中點，的中點，n 為線段為線段 bc 上一點上一點(不包括端點不包括端點)，若若 ac am an ，則，則13的最小值為的最小值為_ 解析：解析：以以 ab 為為 x 軸，軸，a 為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系如圖所示，為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系如圖所示， 設(shè)設(shè) b(2,0)，c(1，t)，m 12，t ，n(x0，y0)， 因為因為 n 在線段在線段 bc 上，所以上，所以 y0t12(x02)， 即即 y0t(2x0)， 因為因為ac

35、am an ， 所以所以 112x0，tty0， 即即 tty0tt(2x0)，因為，因為 t0， 所以所以 1(2x0)2x02 112 ， 所以所以 344，這里，這里 ， 均為正數(shù)，均為正數(shù)， 所以所以 4 13(34) 1331249152 3627, 所以所以13274當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)49，即，即 49，23時取等號時取等號 所以所以13的最小值為的最小值為274. 答案答案：274 方法歸納方法歸納 (1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運用對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運用 (2)在證明兩向量平行時，若已知

36、兩向量的坐標(biāo)形式，常利在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運算來判斷；若兩向用坐標(biāo)運算來判斷；若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)當(dāng) b0 時，時，ab存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) ，使得，使得ab)來判斷來判斷 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 必備知識必備知識 1數(shù)量積的定義：數(shù)量積的定義：a b|a|b|cos . 2三個結(jié)論：三個結(jié)論： (1)若若 a(x，y)，則，則|a| a ax2y2. (2)若若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 |ab | x2x1 2 y2y1 2. (3)若若 a(x1，y

37、1)，b(x2，y2)， 為為 a 與與 b 的夾角，的夾角， 則則 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22 . 題組練透題組練透 1(20 xx 山東高考山東高考)已知已知 e1，e2是互相垂直的單位向量若是互相垂直的單位向量若 3e1e2與與 e1e2的夾角為的夾角為60，則實數(shù)，則實數(shù) 的值是的值是_ 解析：解析：因為因為 3e1e2 e1e2 | 3e1e2| |e1e2|3212， 故故321212，解得，解得 33. 答案：答案：33 2(20 xx 全國卷全國卷)已知向量已知向量 a，b 的夾角為的夾角為 60，|a|2，|b|1，則，則|a2b|_.

38、 解析：解析：易知易知|a2b|a|24a b4|b|244211242 3. 答案：答案：2 3 3已知非零向量已知非零向量 m，n 滿足滿足 4|m|3|n|，cosm，n13，若，若 n(tmn)，則實數(shù)，則實數(shù) t的值為的值為_ 解析：解析：n(tmn)，n (tmn)0， 即即 tm n|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20. 又又 4|m|3|n|，t34|n|213|n|20， 解得解得 t4. 答案：答案：4 4(20 xx 南京、鹽城二模南京、鹽城二模)已知平面向量已知平面向量 ac (1,2)，bd (2,2)，則，則ab cd 的最小的最小值為值為_ 解析：解析：

39、設(shè)設(shè) a(a，b)，b(c，d)， ac (1,2)，bd (2,2)， c(a1，b2)，d(c2，d2)， 則則ab (ca，db)，cd (ca3，db)， ab cd (ca)(ca3)(bd)2(ca)23(ca)(bd)2 ca32294(bd)294. ab cd 的最小值為的最小值為94. 答案答案：94 5已知邊長為已知邊長為 6 的正三角形的正三角形 abc，bd 12bc ，ae 13ac ，ad 與與 be 交于點交于點 p，則則 pb pd 的值為的值為_ 解析：解析：由題意可得點由題意可得點 d 為為 bc 的中點，以點的中點，以點 d 為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)原點，bc

40、，ad所在直線分別為所在直線分別為 x 軸，軸， y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則 d(0,0)， a(0，3 3)，b(3,0)，c(3,0)，e(1,2 3)，直線，直線 be 的方程為的方程為 y32(x3)與與 ad(y軸軸)的交點為的交點為 p 0，3 32，所以，所以 pb pd 3，3 32 0，3 32274. 答案：答案：274 方法歸納方法歸納 1 涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路：涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路： 直接利用數(shù)量積的定義，圍直接利用數(shù)量積的定義，圍繞基底展開的運算，需要熟悉向量間的相互轉(zhuǎn)化；

41、繞基底展開的運算，需要熟悉向量間的相互轉(zhuǎn)化； 建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算求解，需要熟悉數(shù)量積的坐標(biāo)公式及平行、垂直的運算建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算求解，需要熟悉數(shù)量積的坐標(biāo)公式及平行、垂直的運算公式等，其中，涉及平面向量的模時，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方公式等，其中，涉及平面向量的模時，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方. 2 在利用數(shù)量積的定義計算時，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量在利用數(shù)量積的定義計算時，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進行計算進行計算. 平面向量的應(yīng)平面向量的應(yīng)用用 題組練透題組練透 1(20 xx 南京三模南京三模)在四邊形在四邊形 abcd 中，

42、中，bd2，且，且 ac bd 0，(ab dc ) ( bc ad )5，則四邊形，則四邊形 abcd 的面積為的面積為_ 解析：解析：因為因為 ac bd 0，所以，所以ac bd ，所以以，所以以 bd 所在直線為所在直線為 x 軸，軸，ac 所在直線所在直線為為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系，因為軸，建立直角坐標(biāo)系，因為 bd2，所以可設(shè)，所以可設(shè) b(b,0)，d(2b,0)，a(0，a)，c(0，c)，所以所以ab (b，a)，dc (2b，c)，bc (b，c)，ad (2b，a)，所以，所以ab dc (2，ca)，bc ad (2，ca)，因為，因為(ab dc ) ( bc ad

43、 )5，所以，所以4(ca)25，即，即(ca)29，所以，所以|ac | ca |3，所以四邊形，所以四邊形 abcd 的面積為的面積為12acbd12323. 答案答案：3 2已知圓已知圓 o 的半徑為的半徑為 2，ab 是圓是圓 o 的一條直徑，的一條直徑，c，d 兩點都在圓兩點都在圓 o 上，且上，且|cd |2，則則|ac bd |_. 解析：解析：如圖，連結(jié)如圖，連結(jié) oc，od， 則則ac ao oc ，bd bo od ， 因為因為 o 是是 ab 的中點，的中點， 所以所以ao bo 0， 所以所以ac bd oc od ， 設(shè)設(shè) cd 的中點為的中點為 m，連結(jié)，連結(jié) om

44、， 則則ac bd oc od 2om ， 顯然顯然cod 是邊長為是邊長為 2 的等邊三角形，的等邊三角形， 所以所以|om | 3， 故故|ac bd |2om |2 3. 答案：答案：2 3 3.(20 xx 南通三模南通三模)如圖，在直角梯形如圖，在直角梯形 abcd 中，中，abdc，abc90，ab3，bcdc2.若若 e，f 分別是線段分別是線段 dc 和和 bc 上的動點，則上的動點，則ac ef 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析： 法一法一： 因為： 因為 ac ab bc ，ef ec cf ， 所以， 所以 ac ef (ab bc ) (ec cf ) ab ec

45、 bc cf 3| ec |2|cf |， 因為， 因為 e， f 分別是線段分別是線段 dc 和和 bc 上的動點，上的動點，且且 bcdc2，所以，所以|ec |0,2，|cf |0,2，所以由不等式的性質(zhì)知，所以由不等式的性質(zhì)知 ac ef 的取值范的取值范圍是圍是4，6 法二法二：以：以 a 為坐為坐標(biāo)原點，標(biāo)原點，ab 所在直線為所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略圖略)，則，則 c(3,2)，因為因為 e，f 分別是線段分別是線段 dc 和和 bc 上的動點，且上的動點，且 bcdc2，所以可設(shè)，所以可設(shè) e(x，2)，f(3，y)，所以所以ac (3

46、,2)， ef (3x，y2)，且，且 x1,3，y0,2，所以，所以 ac ef 3(3x)2(y2)53x2y4,6，即，即ac ef 的取值范圍是的取值范圍是4,6 答案答案：4,6 方法歸納方法歸納 1利用平面向量解決幾何問題的兩種方法利用平面向量解決幾何問題的兩種方法 2求解向量數(shù)量積最值問題的兩種方法求解向量數(shù)量積最值問題的兩種方法 課時達標(biāo)訓(xùn)練課時達標(biāo)訓(xùn)練 a組組抓牢抓牢中檔小題中檔小題 1(20 xx 南京學(xué)情調(diào)研南京學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量設(shè)向量 a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若若 ac，則實數(shù)，則實數(shù)x_. 解析：解析：因為因為 a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，4

47、3x)又又 ac，所以，所以43x80，解得，解得 x4. 答案答案：4 2(20 xx 無錫期末無錫期末)已知向量已知向量 a(2,1)，b(1，1)，若，若 ab 與與 mab 垂直，則垂直，則 m 的的值為值為_ 解析：解析：因為因為 a(2,1)，b(1，1)，所以，所以 ab(1,2)，mab(2m1，m1)，因為，因為ab 與與 mab 垂直，所以垂直，所以(ab) (mab)0，即，即 2m12(m1)0，解得，解得 m14. 答案答案：14 3已知已知 a 與與 b 是兩個不共線向量，且向量是兩個不共線向量，且向量 ab 與與(b3a)共線，則共線，則 _. 解析：解析：由題意

48、知由題意知 abk(b3a)， 所所以以 k，13k，解得解得 k13，13. 答案：答案：13 4已知已知|a|1，|b| 2，且，且 a(ab)，則向量，則向量 a 與向量與向量 b 的夾角為的夾角為_ 解析：解析：a(ab)，a (ab)a2a b1 2cosa，b0，cosa，b22，a，b4. 答案：答案：4 5若單位向量若單位向量 e1，e2的夾角為的夾角為3，向量，向量 ae1e2(r)，且，且|a|32，則，則 _. 解析：解析：由題意可得由題意可得 e1 e212， |a|2(e1e2)21212234， 化簡得化簡得 2140，解得，解得 12. 答案：答案：12 6已知平

49、面向量已知平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mr)，且，且 c 與與 a 的夾角等于的夾角等于 c 與與 b的夾角，則的夾角，則 m_. 解析：解析：由題意得由題意得c a|c|a|c b|c|b|c a|a|c b|b|5m858m202 5m2. 答案：答案：2 7(20 xx 常州模擬常州模擬)已知點已知點 g 是是abc 的重心，過的重心，過 g 作一條直線與作一條直線與 ab，ac 兩邊分別兩邊分別交于交于 m，n 兩點，且兩點，且am xab ，an yac ，則，則xyxy的值為的值為_ 解析：解析：由已知得由已知得 m，g，n 三點共線，即三點共線，即ag am

50、(1)an xab (1)yac ， 點點 g 是是abc 的重心，的重心， ag 2312( ab ac )13(ab ac )， x13， 1 y13，即即 13x，113y，得得13x13y1， 即即1x1y3，通分變形得，通分變形得，xyxy3，xyxy13. 答案答案：13 8已知已知 a，b，c 三點不共線，且三點不共線，且ad 13ab 2ac ，則，則sabdsacd_. 解析：解析：如圖，取如圖，取am 13ab ，an 2ac ，以，以 am，an 為鄰邊作為鄰邊作平行四邊形平行四邊形 amdn， 此時此時ad 13ab 2ac . 由圖可知由圖可知 sabd3samd，s

51、acd12sand， 而而 samdsand，所以，所以sabdsacd6. 答案：答案：6 9(20 xx 蘇錫常鎮(zhèn)一模蘇錫常鎮(zhèn)一模)在在abc 中，已知中，已知 ab1，ac2，a60，若點，若點 p 滿足滿足ap ab ac ，且，且 bp cp 1，則實數(shù)，則實數(shù) 的值為的值為_. 解析：解析：法一法一：由題意可得：由題意可得 ap ab bp ac .又又 cp ap ac ab (1)ac ，所，所以以 bp cp ab ac (1)| ac |21，即，即 (2)41，所以有，所以有 42310，解得，解得 1 或或 14. 法二法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以：建立如圖

52、所示的平面直角坐標(biāo)系，所以 a(0,0)，b 12，32，c(2，0)，設(shè)，設(shè) p(x，y) 所以所以 ap (x，y)， ab 12，32， ac (2,0) 又因為又因為 ap ab ac ，所以有，所以有 x212，y32， 所以所以 bp (2，0)， cp 232，32. 由由 bp cp 1 可得可得 42310，解得，解得 1 或或 14. 答案答案：1 或或14 10已知向量已知向量 a(1， 3)，b(0，t21)，則當(dāng)，則當(dāng) t 3，2時，時， atb|b|的取值范圍的取值范圍是是_ 解析：解析：由題意，由題意，b|b|(0,1)，根據(jù)向量的差的幾何意義，根據(jù)向量的差的幾何

53、意義， atb|b|表示同起點的向量表示同起點的向量 tb|b|的的終點到終點到 a 的終點的距離，當(dāng)?shù)慕K點的距離，當(dāng) t 3時時，該距離取得最小值，該距離取得最小值 1，當(dāng)，當(dāng) t 3時，該距離取得最時，該距離取得最大值大值 13，即，即 atb|b|的取值范圍是的取值范圍是1， 13 答案：答案：1， 13 11.(20 xx 南通二調(diào)南通二調(diào))如圖，在平面四邊形如圖，在平面四邊形 abcd 中，中，o 為為 bd 的中點，的中點，且且 oa3，oc5.若若ab ad 7，則，則 bc dc 的值是的值是_ 解析：解析： 法一：法一： 由由 ab ad 7 得，得，(ob oa ) (od

54、 oa )7， 即， 即(ob oa ) (ob oa )7， 所以所以 ob 27 oa 27916，所以，所以| ob | od |4.所以所以 bc dc ( oc ob ) ( oc od )(oc ob ) ( oc ob )oc 2ob 225169. 法二：法二：以以 o 為原點，為原點，oc 為為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略圖略)，則，則 c(5,0)，設(shè)，設(shè) b(x1，y1)，a(x2，y2)，則，則 d(x1，y1)，x22y229，由，由 ab ad 7，得，得(x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2)7，得，得 x21y2116，而，而

55、bc dc (5x1，y1) (5x1，y1)25x21y2125169. 答案答案：9 12已知菱形已知菱形 abcd 的邊長為的邊長為 a，dab60， ec 2de ，則，則 ae db 的值為的值為_ 解析：解析：如圖所示，如圖所示， ec 2de ，de 13dc . 菱形菱形 abcd 的邊長為的邊長為 a， dab60， |da |dc |a， da dc |da |dc |cos 12012a2， db da dc ， ae db (ad de )( da dc ) ad 13 dc (da dc ) da 213dc 223da dc a213a213a2a23. 答案答案：

56、a23 13在矩形在矩形 abcd 中，邊中，邊 ab，ad 的長分別為的長分別為 2 和和 1，若，若 e，f 分別是邊分別是邊 bc，cd 上上的點，且滿足的點，且滿足| be | bc | cf |cd |，則，則ae af 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：法一解析：法一：取：取 a 為原點，為原點，ab 所在直線為所在直線為 x 軸，建立如軸，建立如 圖所示直角坐標(biāo)系，則圖所示直角坐標(biāo)系，則 a(0,0)，b(2,0)，c(2，1) |be |bc | cf |cd |，得，得 2|be |cf |，設(shè)，設(shè) e(2，y)(0y1)，則，則 f(22y,1) ae af (2，y) (

57、22y,1)2(22y)y43y1,4 法二法二：| be | bc |cf |cd |，則，則|cf |2|be |. 0|be |1， ae af ( ab be ) ( ad df ) ab df be ad 2|df |be | 2(2|cf |)|be |43|be |1,4 答案：答案：1,4 14 (20 xx 全國卷全國卷改編改編)已知已知abc 是邊長為是邊長為 2 的等邊三角形，的等邊三角形， p 為平面為平面 abc 內(nèi)一點，內(nèi)一點，則則 pa ( pb pc )的最小值是的最小值是_ 解析：解析：如圖，以等邊三角形如圖，以等邊三角形 abc 的底邊的底邊 bc 所在直線

58、為所在直線為 x 軸，以軸，以bc 的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則 a(0， 3)， b(1,0)，c(1,0)，設(shè)，設(shè) p(x，y)，則，則 pa (x, 3y)，pb (1x，y)，pc (1x，y)，所以，所以 pa ( pb pc )(x， 3y) (2x，2y)2x22 y32232，當(dāng)當(dāng) x0，y32時，時， pa ( pb pc )取得最小值，為取得最小值，為32. 答案答案：32 b組組力爭難度小題力爭難度小題 1.如圖，在梯形如圖，在梯形 abcd 中，中，abcd，ab4， ad3， cd2，am 2md .若若 ac

59、 bm 3，則，則ab ad _. 解析：解析：由題意可得由題意可得 ac ad dc ad 12ab ， bm am ab 23ad ab ， 則則ac bm ad 12 ab 23 ad ab 3， 則則23|ad |212|ab |223ab ad 3， 即即 6823ab ad 3，解得，解得ab ad 32. 答案：答案：32 2已知已知 a，b，c 是同一平面內(nèi)的三個向量，其中是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 a，b 是互相垂直的單位向量，且是互相垂直的單位向量，且(ac) ( 3bc)1，則，則|c|的最大值為的最大值為_ 解析：解析：法一法一：由題意可得：由題意可得(ac) ( 3

60、bc)a c 3b c|c|21，則，則|c|2(a 3b) c10. 又又|a 3b|2，設(shè)，設(shè) a 3b 與與 c 的夾角為的夾角為 ，0， 則則|c|22|c|cos 10，22cos |c|1|c|2， 即即 |c|22|c|10，|c|22|c|10， 解得解得 21|c| 21，則，則|c|max 21. 法二法二：不妨設(shè)：不妨設(shè) a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，則，則(ac) ( 3bc)(1x，y) (x， 3y)1，化簡得，化簡得 x122 y3222，圓心，圓心 12，32到坐標(biāo)原點的距離為到坐標(biāo)原點的距離為 1，則，則|c|max 21. 答案：答案： 21 3