高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 文 北師大版

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第三節(jié)圓的方程 考綱傳真1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第114頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2dxeyf0，(d2e24f0)圓心，半徑2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)m(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若m(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若m(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若m(x0

2、，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.知識(shí)拓展1二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是2以a(x1，y1)，b(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tr)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓()(3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是ac0，b0，d2e24af>0.()(4)若點(diǎn)m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則xydx0e

3、y0f>0.()解析由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確(2)中，當(dāng)t0時(shí)，表示圓心為(a，b)，半徑為|t|的圓，不正確答案(1)(2)×(3)(4)2(教材改編)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()aa2或aba0c2a0d2ad由題意知a24a24(2a2a1)0，解得2a.3(20xx·全國(guó)卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線(xiàn)axy10的距離為1，則a()ab cd2a圓x2y22x8y130，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線(xiàn)axy10的距離d1，解得a.4(20xx·西安質(zhì)檢)若圓c的半徑為1，

4、其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)x2(y1)21兩圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)則圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，半徑相等，則圓c的圓心為(0,1)，半徑為1，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.5圓c的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090274】(x2)2y210設(shè)圓心坐標(biāo)為c(a,0)，點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)在圓c上，|ca|cb|，即，解得a2，所以圓心為c(2,0)，半徑|ca|，圓c的方程為(x2)2y210.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第115頁(yè))求圓的方程(1)(20xx·全國(guó)卷)已知三點(diǎn)a(1,0)，b(0，)，c(2，)，則abc外

5、接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()abcd(2)(20xx·天津高考)已知圓c的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)m(0，)在圓c上，且圓心到直線(xiàn)2xy0的距離為，則圓c的方程為_(kāi)(1)b(2)(x2)2y29(1)法一：在坐標(biāo)系中畫(huà)出abc(如圖)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|ab|ac|bc|2(也可以借助圖形直接觀(guān)察得出)，所以abc為等邊三角形設(shè)bc的中點(diǎn)為d，點(diǎn)e為外心，同時(shí)也是重心所以|ae|ad|，從而|oe|，故選b法二：設(shè)圓的一般方程為x2y2dxeyf0，則解得所以abc外接圓的圓心為.因此圓心到原點(diǎn)的距離d.(2)因?yàn)閳Ac的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)c(a,0)，且a>0，所

6、以圓心到直線(xiàn)2xy0的距離d，解得a2，所以圓c的半徑r|cm|3，所以圓c的方程為(x2)2y29.規(guī)律方法1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程2待定系數(shù)法求圓的方程：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d，e，f的方程組，進(jìn)而求出d，e，f的值溫馨提醒：解答圓的方程問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)變式訓(xùn)練1(1)(20xx·鄭州模擬)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(5,2)，b(3，2)，且圓心

7、在直線(xiàn)2xy30上的圓的方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090275】(2)(20xx·青島模擬)圓心在直線(xiàn)x2y0上的圓c與y軸的正半軸相切，圓c截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)2(y1)24(1)法一：圓過(guò)a(5,2)，b(3，2)兩點(diǎn)，圓心一定在線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)上易知線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)方程為y(x4)設(shè)所求圓的圓心為c(a，b)，則有解得a2，且b1.因此圓心坐標(biāo)c(2,1)，半徑r|ac|.故所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：設(shè)圓的方程為x2y2dxeyf0(d2e24f0)，則解得d

8、4，e2，f5，所求圓的方程為x2y24x2y50.(2)設(shè)圓c的圓心為(a，b)(b0)，由題意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題已知m(x，y)為圓c：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)q(2,3)(1)求|mq|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圓c：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心c的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2.又|qc|4，|mq|max426，|mq|min422.(2)可知表示直線(xiàn)mq的斜率k.設(shè)直線(xiàn)mq的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由直線(xiàn)mq與

9、圓c有交點(diǎn)，所以2，可得2k2，的最大值為2，最小值為2.母題探究1(變化結(jié)論)在本例的條件下，求yx的最大值和最小值解設(shè)yxb，則xyb0.當(dāng)直線(xiàn)yxb與圓c相切時(shí)，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值為9，最小值為1.母題探究2(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)q(2,3)”改為“點(diǎn)q是直線(xiàn)3x4y10上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，試求|mq|的最小值解圓心c(2,7)到直線(xiàn)3x4y10上動(dòng)點(diǎn)q的最小值為點(diǎn)c到直線(xiàn)3x4y10的距離，|qc|mind7.又圓c的半徑r2，|mq|的最小值為72.規(guī)律方法1.處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求

10、解2某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求解根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求最值是比較常用的變式訓(xùn)練2已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當(dāng)直線(xiàn)ykx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k±(如圖1)所以的最大值為，最小值為.圖1圖2圖3(2)yx可看作是直線(xiàn)yxb在y軸上的截距，當(dāng)

11、直線(xiàn)yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b2±(如圖2)所以yx的最大值為2，最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題(20xx·煙臺(tái)模擬)已知圓x2y24上一定點(diǎn)a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，p，q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線(xiàn)段ap中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若pbq90°，求線(xiàn)段pq中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)ap的中點(diǎn)為m(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)

12、公式可知，p點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)閜點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線(xiàn)段ap中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)pq的中點(diǎn)為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接on(圖略)，則onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線(xiàn)段pq中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式求解變式訓(xùn)練3(20xx·