高等數(shù)學大學課件 106

1、第十章第十章 微分方程微分方程 第六節(jié)第六節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程),(yxfy 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 一、一、)()(xfyn對方程兩邊積分對方程兩邊積分即即1)1(d)(cxxfyn 再積分再積分2)2(d cxyn1d)(cxxfxd xxfd)(依次通過依次通過 n 次積分次積分, 可得含可得含 n 個任意常數(shù)的通解個任意常數(shù)的通解 .21cxc型的微分方程型的微分方程 例例1. .cos2xeyx 求解求解解解: 12coscxdxeyx 12s

2、in21cxex xxedxcxey21241)sin21 （ dxcxcxeyx)cos41(212xsin 2122181xcex 32cxc xcos 21cxc ,00tx例例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點受力f 的作用沿 ox 軸作直線運動,在開始時刻,)0(0ff隨著時間的增大 , 此力 f 均勻地減直到 t = t 時 f(t) = 0 . 如果開始時質(zhì)點在原點, 解解: 據(jù)題意有)(dd22tftxm)1(0ttf 0dd0ttxt = 0 時設(shè)力 f 僅是時間 t 的函數(shù): f = f (t) . 小,求質(zhì)點的運動規(guī)律. 初初速度為0, 且對方程兩邊積分, 得 120)2(ddct

3、ttmftx利用初始條件, 01c得于是)2(dd20tttmftx兩邊再積分得2320)62(ctttmfx再利用00tx, 02c得故所求質(zhì)點運動規(guī)律為)3(2320tttmfx0dd0ttx),(yxfy 型的微分方程（特點：不顯含型的微分方程（特點：不顯含y ） 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1cxp則得),(1cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(cxcxy二、二、例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)

4、1(lnln12cxp)1(21xcp即,3 0 xy利用, 31c得于是有)1(32xy兩端再積分得233cxxy利用,10 xy, 12c得133xxy因此所求特解為例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標系如圖. 考察最低點 a 到sg( : 密度, s :弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,coshtmsgoyx)(gha其中sgtsinyxyxd102a1故有211yay 設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點m ( x, y ) 弧段的受力情況: t a 點受水平張力 hm 點受切向張力t兩式相除得ha,1tansa msgo

5、yxha211yya , aoa 設(shè)則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得,)1ln(12caxpp0 0 xy由, 01c得則有axysh兩端積分得,ch2cayax, 0ayx由02c得故所求繩索的形狀為axaych)(2axaxeea懸懸 鏈鏈 線線a21p三、三、),(yyfy 型的微分方程（特點：不顯含型的微分方程（特點：不顯含x） 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1cyp即得),(1cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dcxcyy例例

6、5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1cyp,1ycp 即ycy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xcecy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd例例6. 解初值問題解初值問題解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01c得根據(jù)yepxydd積分得,2cxey, 00 xy再由12c得故所求特解為xey1得為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例例7.)0()(xxy

7、設(shè)函數(shù)二階可導, 且, 0)( xy)(xyy 過曲線上任一點 p(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1s區(qū)間 0, x 上以,2s記為)(xy, 1221 ss且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因為. 0)(xy所以于是 cot2121ys yy222s)(xyy 設(shè)曲線在點 p(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(,1)0( yy積記為ttysxd)(02 pxy1s1oyx再利用 y (0) = 1 得利用,1221 ss得xttyyy021d)(兩邊對 x 求導, 得2)( yyy 定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為,

8、ddyppy 則yyppdd,1ycp 解得利用定解條件得,11c, yy 再解得,2xecy , 12c故所求曲線方程為xey 2ddpyppy12spxy1s1oyx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則思考與練習思考與練習1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說, 用前者方便些. 均可. 有時用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2) 遇到開平方時, 要根據(jù)題意確定正負號.例例6例例7思考題思考題求