數(shù)字信號(hào)處理第二章

1、2.2 2.2 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義和性質(zhì)時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義和性質(zhì)一、序列傅里葉變換（時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換）的定義：一、序列傅里葉變換（時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換）的定義：nnjjenxex)()(deexnxnjj)(21)(記為：記為：)()()()()()(jdtftjjexnxexidtftnxnxdtftex變換存在的充分條件是：變換存在的充分條件是：njnxex)()( 有些序列不滿足以上條件，但是平方可和的，也能求到它的變有些序列不滿足以上條件，但是平方可和的，也能求到它的變換。例如理想低通濾波器的單位樣值響應(yīng)：換。例如理想低通濾波器的單位樣值響應(yīng)：nnnsa

2、nhcccsin)()(它的傅里葉變換，即濾波器的頻響：它的傅里葉變換，即濾波器的頻響：ccnnjjenheh01)()(nc)(nhcc1)(jeh 有些序列既不滿足絕對(duì)可和，也不滿足平方可和，但是引入頻有些序列既不滿足絕對(duì)可和，也不滿足平方可和，但是引入頻域沖激信號(hào)之后，也可表示它的傅里葉變換。如：域沖激信號(hào)之后，也可表示它的傅里葉變換。如：1)(nxn)(nx1 -1 0 1 2 4 5 6 7rnnjjreex)2(2)()(jex)2(-2 0 2 4 6 8提示：利用理想沖激序列的傅里葉變換提示：利用理想沖激序列的傅里葉變換1( )(),sjn ttsssnnsfttnetwt 令

3、rtrttt)()(我們知道，單位沖擊序列是一以我們知道，單位沖擊序列是一以t t為周期的周期信號(hào)為周期的周期信號(hào)t)(tt) 1 (-t 0 t 2t 3t 4tntjnntjnetet00110nnft1 - 0 2 3 4 5 6這里這里t20將上式中時(shí)間變量用頻率變量做一將上式中時(shí)間變量用頻率變量做一個(gè)代換，并令個(gè)代換，并令 t=2t=2 ，即即10t于是有：于是有：rnnjre)2(2二、離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)：二、離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)：1 1、線性：、線性：)()()()(2121jjdtftebxeaxnbxnax 2 2、時(shí)移與頻移：、時(shí)移與頻移：)()(jmjdtfte

4、xemnx )()()(00 jdtftnjexenx3 3、時(shí)間倒置（反褶）：、時(shí)間倒置（反褶）：)()(jdtftexnx 4 4、頻域微分：、頻域微分：dedxjnnxjdtft)()( 5 5、時(shí)域卷積：、時(shí)域卷積：)()()(nhnxny則則)()()(jjjehexey6 6、頻域卷積：、頻域卷積：)()()(nwnxny則)()()(jjjewexey這里周期卷積：這里周期卷積：dewexjj)()(21)()()()(jjjewexey7 7、帕斯瓦爾定理：、帕斯瓦爾定理：dexnxjn22)(21)(deyexnynxjjn)()(21)()(*n時(shí)域卷積定理證明證明mkkm

5、kk( )( )* ( )() ( )( ) () ( )()nmk ( )(k) ( )(k) jwjwnnmjwnmnjwmjwjwmy nx nh ny eft y nx m h nm ex mh nm ex mhex m ehex （ ）令()()jwjweh en頻域卷積定理()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nny ex eh ex eh edy ex n h n ex nh eede ()()1()()( )21()()21()*()2jjjnnjjjjy eh ex n edh ex edh ex e 7. 帕斯維爾

6、(parseval)定理222*1( )(21( )( )( )( )()2jnjj nnnnx nx edx nx n x nx nx eed2*1()( )211()()()22jj nnjjjx ex n edx exedx ed8 8、奇偶對(duì)稱性：滿足以下關(guān)系的信號(hào)或函數(shù)，、奇偶對(duì)稱性：滿足以下關(guān)系的信號(hào)或函數(shù)，)()(*nxnxee稱為共軛對(duì)稱的稱為共軛對(duì)稱的)()(*nxnxoo稱為共軛反對(duì)稱的稱為共軛反對(duì)稱的若若)(nxe)(nxo是實(shí)函數(shù)，則他們分別是偶函數(shù)與奇函數(shù)。是實(shí)函數(shù)，則他們分別是偶函數(shù)與奇函數(shù)。任何函數(shù)可以表示為：任何函數(shù)可以表示為：)()()(nxnxnxoe而而)

7、()(21)( )()(21)(*nxnxnxnxnxnxoe序列的傅里葉變換，一般是頻率的復(fù)函數(shù)序列的傅里葉變換，一般是頻率的復(fù)函數(shù))()()(jijrjejxexex也可以分解為共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和：也可以分解為共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和：)()()(jojejexexex這里這里)()(21)( )()(21)(*jjjojjjeexexexexexexn例 2.2.2 試分析x(n)=e jn的對(duì)稱性。 解： 將x(n)的n用-n代替， 再取共軛得到： x*(-n)= e jn因此x(n)=x*(-n)， x(n)是共軛對(duì)稱序列， 如展成實(shí)部與虛部， 得到x(n)=c

8、osn+j sinn 由上式表明， 共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。 對(duì)于一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示， 即x(n)=xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分別用原序列x(n)求出， 將n用-n代替， 再取共軛得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n) ，則有：1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn1()()()21()()()2jjjejjjoxex exexex exe，同樣滿足：它們滿足：和共軛反對(duì)稱部分分別稱為共軛對(duì)稱部分與式中和結(jié)論：也有和上面類似的概念對(duì)于頻域函數(shù))()()()(,)()()

9、()()()(*oo*jwjwjwejwejwojwejwojwejwjwexexexexexexexexexex (a) 將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進(jìn)行ft， 得到 )()()(jwojwejwexexex式中 njwniijwonjwnrrjweenxjnjxftexenxnxftex)()()()()()(n結(jié)論： （1）xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列， xe(ej)具有共軛對(duì)稱性， 它的實(shí)部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。 xo(ej) 具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)， 其實(shí)部是奇函數(shù)， 虛部是偶函數(shù)。 （2）序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?/p>

10、， 實(shí)部對(duì)稱的ft具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的ft具有共軛反對(duì)稱性。(b) 將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分 xo(n) ，即 x(n)=xe(n)+xo(n) 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn 上式表示序列的共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著ft的實(shí)部xr(ej)， 而序列的共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著ft的虛部xi(ej) 。 *1( )()()re()()21( )()()im()()2jwjwjwjwerjwjwjwjwoift x nx exex exeft x nx exejx exe 因?yàn)閔(n)是實(shí)序列， 其ft

11、只有共軛對(duì)稱部分he(ej)， 共軛反對(duì)稱部分為零。 h(ej)=he(ej) h(ej)=h*(e-j) 因此實(shí)序列的ft的實(shí)部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)， 用公式表示為 hr(ej)=hr(e-j) hi(ej)=-hi(e-j)( )eh n ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn可以用下式表示：和面兩式是實(shí)因果序列，按照上因?yàn)?()()()()(21)()()(21)()()()(nhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhoeoeoe實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)

12、(n)2,01,00,0nnn( )u n0 ),(210 ),(210 0)(nnhnnhnnho，( )eh n ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn例 2 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶分量xe(n) 和奇分量xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) (0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ex n 1,01,021,02nnnanan(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ox n 1,01,021,02nnnanan共軛共軛于是當(dāng)于是當(dāng))()(jdtftexnx 時(shí)，就有：時(shí)，就有：)()(

13、*jdtftexnx 共軛反褶共軛反褶)()(*jdtftexnx 序列實(shí)部序列實(shí)部)()(rejedtftexnx 序列虛部序列虛部)()(imjodtftexnxj 序列共軛對(duì)稱分量序列共軛對(duì)稱分量序列共軛反對(duì)稱分量序列共軛反對(duì)稱分量)()(re)(jrjdtfteexexnx )()(im)(jijdtftoejxexjnx 當(dāng)序列是實(shí)序列，即當(dāng)序列是實(shí)序列，即變換是共軛對(duì)稱的變換是共軛對(duì)稱的)()(*nxnx則有：則有：)()(*jjexex變換的實(shí)部為偶函數(shù)變換的實(shí)部為偶函數(shù))()(jrjrexex變換的虛部為奇函數(shù)變換的虛部為奇函數(shù))()(jijiexex變換的幅度為偶函數(shù)變換的幅

14、度為偶函數(shù)| )(| )(|jjexex變換的相位為奇函數(shù)變換的相位為奇函數(shù))(arg)(argjjexex三、常見序列的離散時(shí)間傅里葉變換：三、常見序列的離散時(shí)間傅里葉變換：1 1、單位樣值序列、單位樣值序列1)( dtftn n)(n12 2、單位階躍序列的、單位階躍序列的dtftdtft: :設(shè)序列設(shè)序列 rjjdtftreuexnunx)2()()(21)()(則則)(21) 1() 1(jjdtftexenunx 于是于是)()1()()1()(nnununxnx由線性，于是由線性，于是1)()(jjjexeex即即jjeex11)(所以所以rjjrenudtfteu)2(11)()

15、(2.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式1 1 連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅里葉變換連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅里葉變換 :()( )j tx jx t edt 正1: ( )()2j tx tx jed反0()x j0t( )x t時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的2 2 連續(xù)時(shí)間、離散頻率的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間、離散頻率的傅里葉級(jí)數(shù)pt0t( )x t-00()x jk02pt0/ 20/ 21:()( )pptjkttpxjkx t edtt正00:( )()jktkx txjke 反時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的周期的非周期的離散的3 3 離散

16、時(shí)間、連續(xù)頻率的序列傅里葉變換離散時(shí)間、連續(xù)頻率的序列傅里葉變換 x(nt)t-t0t2tt2st 0-()jj tx ex e或:()()jtjntnxex n te 正/ 2/ 21:()()ssjtjntsx ntx eed 反時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的非周期的周期的連續(xù)的x(nt)=x(n)1ptft0t 2t1 2 n ptntnt4 4 離散時(shí)間、離散頻率的離散傅里葉變換離散時(shí)間、離散頻率的離散傅里葉變換0002 0 1 2 30(1)(1)nn0nnk21sstft時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的周期的周期的離散的一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里

17、葉變換表示式1.周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 設(shè) 是以n為周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里葉級(jí)數(shù)( )x n2( )jknnkkx na e2222111()00021()0( )nnnjmnjknjmnjk m nnnnnkknnkknnjk m nnnx n ea eeaee ,0,n kmkm 式中， k和n均取整數(shù)， 當(dāng)k或者n變化時(shí)， 是周期為n的周期函數(shù)， 可表示成knnje22101( )njknnknax n en-k22(),jk n njknnneel取整數(shù) 210210( ) ( )( )1( )( )( )njknnnnjknnnx kdfs x nx n

18、ex nidfs x kx k en例 2.3.1設(shè)x(n)=r4(n)， 將x(n)以n=8為周期， 進(jìn)行周期延拓， 得到如圖所示的周期序列 ，周期為8， 求 的dfs。 解：( )x n( )x n273840044442224888( )( )111()1()jknjknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkx kx n eeeeeeeeeeee38sin2sin8jkkek2. 周期序列的傅里葉變換表示式周期序列的傅里葉變換表示式 21022()( ) ()( )( )jknjknnnx ex kknnx kx n e 其中( )x n如果周期序列 的傅立葉級(jí)數(shù)為 ，則 的傅立葉

19、變換定義為：( )x k( )x nn例 2.3.2設(shè)x(n)=r4(n)， 將x(n)以n=8為周期， 進(jìn)行周期延拓， 得到如圖所示的周期序列 ，周期為8， 求 的ft。 n 解：( )x n( )x n273840044442224888( )( )111()1()jknjknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkx kx n eeeeeeeeeeee38sin2sin8jkkek38k22()( ) ()sin22 ()48sin8jkjkx ex kknnkekk 結(jié)論：結(jié)論：對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其dfs和和ft分別取模的形狀是一樣的，不同分別取模的形狀是一

20、樣的，不同的是的是ft用單位沖激函數(shù)表示（帶箭頭用單位沖激函數(shù)表示（帶箭頭的豎線表示）。因此周期序列的頻譜的豎線表示）。因此周期序列的頻譜分布用其分布用其dfs或者或者ft 表示都可以，但表示都可以，但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。 表 2.4.21 基本序列的傅里葉變換 2.5 2.5 序列的序列的z z變換變換一、一、z z變換的定義：變換的定義：-nn=-( )zx(z)=x(n)zzzx n序列的雙邊 變換定義為:式中 是一個(gè)復(fù)變量，它所在的平面稱為 平面。-nn=0( )zx(z)=x(n)zzzx n序列的單邊變換定義為:式中 是一個(gè)復(fù)變量，它所在

21、的平面稱為 平面。( )( )( )( )( )( )( )zp zx zp zx zq zq zx z分子多項(xiàng)式的根是的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根是的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處 變換不存在，因此收斂域總是用極點(diǎn)限定邊界的。二、序列特性對(duì)收斂域的影響二、序列特性對(duì)收斂域的影響1 1、有限長(zhǎng)序列：、有限長(zhǎng)序列：n)(nx1n2nn)(nx1n2nn)(nx1n2nzrezjim11jjzrezjim11jjzrezjim11jj0z 0z z zrezjim11jjn)(n12 2、右邊序列：、右邊序列：n)(nx1nn)(nx1nzrezjim1r1r1jr1jrzrezjim1r1r1jr1jr1zr0z 3

22、 3、左邊序列：、左邊序列：n)(nx2nn)(nx2nzrezj im2r2r2jr2jrzrezj im2r2r2jr2jr4 4、雙邊序列：、雙邊序列：n)(nxzrezj im2r2r2jr2jr1r1rj0tjtjtj3tj3zrezjim11jjjtjstezzee)(nnn2.5.1 ( )( ),z2.5.2 x(n)=r (n)z2.5.4 x(n)=-a(1)z2.5.5 x(n)=a( )zx nu nunu n例求其 變換例求的 變換及其收斂域例求的 變換及其收斂域例求的 變換及其收斂域cndzzzxjzxztnxzxnxztzxznx.)(21)()(:)(),()(

23、)(11由以下圍線積分給出的逆變換則變換為的若已知序列)(zx)(zxcrz 1( )re ( ),nmmx ns x z zzmmzznsmsszznmnzzxzzdzdszzxsszzzzx)()()!1(1)(re:,)(11111其留數(shù)為階極點(diǎn)處有在mmzznmzznmnzzxzzzzxsszzzzx)()()(re:, 1,)(111留數(shù)為則其即處只含有一階極點(diǎn)在mmzznzzzxsnxccm)(re)(:,1即的留數(shù)外極點(diǎn)可轉(zhuǎn)而求圍線內(nèi)有高階極點(diǎn)時(shí)當(dāng)圍線.)(,)()()()(的對(duì)應(yīng)項(xiàng)散序列該級(jí)數(shù)的各系數(shù)就是離展開成冪級(jí)數(shù)之和nxzdznznxzxnn.)(,)(,)(;)(,)(

24、,)(21的升冪次序排列按此時(shí)為左邊序列則的收斂域是如果的降冪次序排列按此時(shí)為右邊序列則的收斂域是如果zzxnxrzzxzzxnxrzzxxx通常先將通常先將 進(jìn)行部分分式展開成進(jìn)行部分分式展開成 ，然，然后每個(gè)分式乘以后每個(gè)分式乘以 ，這樣對(duì)于一階極點(diǎn)，這樣對(duì)于一階極點(diǎn) 便可便可展成展成 形式。其系數(shù)的求法，以及高階極點(diǎn)形式。其系數(shù)的求法，以及高階極點(diǎn)的系數(shù)的求法都與拉氏變換中的部分分式展開法的系數(shù)的求法都與拉氏變換中的部分分式展開法相同。相同。 zzx)(mmzzkz)(zxmmzzzk對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常用這種部對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常用這種部分分式展開法求逆分分式展開法求逆

25、z z變換。變換。1111122.5.6 ( )(1) ,z (1) ,z ,23z16x zazzaazzazzz-1例已知求其逆 變換例2.5.9 已知x(z)=用長(zhǎng)除法求其逆 變換5z例2.5.10 已知x(z)=，求其逆 變換表表2.5.1 常見序列的常見序列的z變換（變換（p54）),min(),max()()()()()(:)()()()()()(:222111212121yxyxyyxxrrrrrrrzrzbyzaxnbynaxztrzrzynyztrzrzxnxzt則若)()(),()(zxzmnxztzxnxztm則若1 ( )( ), ( )( )( )()nnzt x n

26、x zy na x nzt a x nx a z若則( ) ( )( ),( )dx zzt x nx zzt nx nzdz 若則* ( )( ),( )()zt x nx zzt x nxz若則z ( )( ),(0)lim( )zt x nx zxx z設(shè)x(n)是因果序列，則( ) ( )( ),( )dx zzt x nx zzt nx nzdz 若則n1zzlim( )lim(1)( )zx nzx z設(shè)x(n)是因果序列，其 變換的極點(diǎn)除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在 1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則z ( )( ),zty(n)( ),( )( ) ( )( ) ( )xxyyct x nx z rzry z rzrw nx n y nz dvx v yvvzx-y-x+y+設(shè)1則w(z)=2 jw(z)的收斂域?yàn)閞 rr r*z ( )( ),zty(n)( ),1,1( )()cxxyyct x nx z rzry z rzrzdvx v yvvvx-y-x+y+*n=-x-x+y+y-設(shè)r rr r1則x(n)y (n)2 jv平面上， 所在的收斂域?yàn)?1max(r ,)min(r ,)rr2.6 2