[高三數(shù)學]廣東高考理數(shù)真題模擬匯編08：圓錐曲線

1、廣東高考理數(shù)真題模擬匯編08：圓錐曲線真題部分：1（2004廣東）若雙曲線的焦點到它相應的準線的距離是2，則(A)(B)(C)(D)2(2005廣東)若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則m=（ ）ABCD2【答案】B解: ， ，故選B3、（2006廣東）已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于A. B. C. 2 D.43、依題意可知 ，故選C.2（2007廣東理數(shù)）在直角坐標系xOy中,有一定點A（2，1）。若線段OA的垂直平分線過拋物線的焦點，則該拋物線的準線方程是_;2答案：;解析：OA的垂直平分線的方程是y-，令y=0得到x=;11（2004廣東）某中心接

2、到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到一聲巨響，正東觀測點聽到巨響的時間比其他兩個觀測點晚，已知各觀測點到中心的距離都是，試確定該巨響的位置。（假定當時聲音傳播的速度為，各相關點均在同一平面上）11解：如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340×4

3、=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.*12（2004廣東）設直線與橢圓相交于兩點，又與雙曲線相交于C、D兩點，三等分線段，求直線的方程。12解：首先討論l不與x軸垂直時的情況，設直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點為：依題意有，由若，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故由故l的方程為(ii)當b=0時，由(1)得故l的方程為再討論l與x軸垂直的情況.設直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，綜上所述，故l

4、的方程為、和y*13 (2005廣東)xyOAB圖4在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足（如圖所示）（）求得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由13【答案】解法一：（）直線的斜率顯然存在，設直線的方程為，依題意得 ， ，即 ， 由得，設直線的方程為可化為 ， ， 設的重心G為，則 ， ，由得 ，即，這就是得重心的軌跡方程（）由弦長公式得把代入上式，得 ，設點到直線的距離為，則， ， 當，有最小值，的面積存在最小值，最小值是 解法二：（） AOBO, 直線，的斜率顯然存在，設AO、BO的直線方程分別為

5、，設，依題意可得由得，由得，設的重心G為，則 ， ， 由可得，即為所求的軌跡方程.（）由（）得，當且僅當，即時，有最小值，的面積存在最小值，最小值是 .解法三:（I）設AOB的重心為G(x , y) ，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，則 （1）不過OAOB ，即， （2）又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得，所以重心為G的軌跡方程為，（II），由（I）得，當且僅當即時，等號成立，所以AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1 10（2007廣東理數(shù)）在直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O，橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為

6、10。 （1）求圓C的方程； （2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段OF的長，若存在求出Q的坐標；若不存在，請說明理由。10解析：（1）圓C：； （2）由條件可知a=5，橢圓，F(xiàn)（4，0），若存在，則F在OQ的中垂線上，又O、Q在圓C上，所以O、Q關于直線CF對稱；直線CF的方程為y-1=,即，設Q（x,y），則，解得所以存在，Q的坐標為。8. （2008廣東文、理數(shù)）設，橢圓方程為，拋物線方程為如圖6所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設分別是橢圓長軸的左、

7、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）8【解析】（1）由得，當?shù)茫珿點的坐標為，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理 以為直角的只有一個。若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 。關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。*14（2010廣東理數(shù)） 21（本小題滿分14分）設A(),B()是平面直角坐標系xOy上的兩點，先

8、定義由點A到點B的一種折線距離p(A,B)為.當且僅當時等號成立，即三點共線時等號成立.（2）當點C(x, y) 同時滿足P+P= P，P= P時，點是線段的中點. ，即存在點滿足條件。15（2010廣東理數(shù)）一條雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點。 （1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式； （2）若過點H(0, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值。故，即。（2）設，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個交點知，即。同理，由與E只有一個交點知，消去得，即，從而，即。16（2010廣東文數(shù)）21已知曲線,點是曲線上

9、的點，17、（2011廣東理數(shù)）設圓C與兩圓（x+）2+y2=4，（x）2+y2=4中的一個內(nèi)切，另一個外切（1）求C的圓心軌跡L的方程；（2）已知點M（，），F(xiàn)（，0），且P為L上動點，求|MP|FP|的最大值及此時點P的坐標考點：圓方程的綜合應用。專題：綜合題；轉化思想。分析：（1）根據(jù)兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據(jù)兩圓內(nèi)切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F1的距離加2與圓心C到圓心F2的距離減2或圓心C到圓心F1的距離減2與圓心C到圓心F2的距離加2，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數(shù)4，且小于兩圓心的距離2，可知圓心C

10、的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上的雙曲線，根據(jù)a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可；（2）根據(jù)點M和F的坐標寫出直線l的方程，與雙曲線L的解析式聯(lián)立，消去y后得到關于x的方程，求出方程的解即可得到兩交點的橫坐標，把橫坐標代入直線l的方程中即可求出交點的縱坐標，得到直線l與雙曲線L的交點坐標，然后經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，根據(jù)圖形可知|MT1|FT1|=|MF|，利用兩點間的距離公式求出|MF|的長度，當動點P與點T2重合時|MT2|FT2|MF|，當動點P不是直線l與雙曲線的交點時，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得到|MP|FP|MF|，綜上，得到動點P與T1重合時，|M

11、P|FP|取得最大值，此時P的坐標即為T1的坐標解答：解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F1（，0）、F2（，0），由題意得：|CF1|+2=|CF2|2或|CF2|+2=|CF1|2，|CF2|CF1|=4=2a|F1F2|=2=2c，可知圓心C的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上，且實軸為4，焦距為2的雙曲線，因此a=2，c=，則b2=c2a2=1，所以軌跡L的方程為y2=1；（2）過點M，F(xiàn)的直線l的方程為y=（x），即y=2（x），代入y2=1，解得：x1=，x2=，故直線l與雙曲線L的交點為T1（，），T2（，），因此T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故|MT1|FT1|=|MF|

12、=2，|MT2|FT2|MF|=2，若點P不在MF上，則|MP|FP|MF|=2，綜上所述，|MP|FP|只在點T1處取得最大值2，此時點P的坐標為（，）點評：此題考查學生會根據(jù)已知條件得到動點的軌跡方程，掌握雙曲線的簡單性質，靈活運用兩點間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實際問題，是一道中檔題21、（2011廣東理數(shù)）在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=x2實數(shù)p，q滿足p24q0，x1，x2是方程x2px+q=0的兩根，記（p，q）=max|x1|，|x2|（1）過點，A（p0，p02）（p00），作L的切線交y軸于點B證明：對線段AB上的任一點Q（p

13、，q），有（p，q）=；（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a24b0，a0過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點分別為E（p1，），E（p2，p22），l1，l2與y軸分別交于F，F(xiàn)線段EF上異于兩端點的點集記為X證明：M（a，b）X|P1|P2|（a，b）=（3）設D= （x，y）|yx1，y（x+1）2當點（p，q）取遍D時，求（p，q）的最小值 （記為min）和最大值（記為max）考點：直線與圓錐曲線的綜合問題。專題：計算題；證明題；綜合題；壓軸題；新定義；數(shù)形結合；函數(shù)思想。分析：（1）求導，寫出過點A（p0，p02）（p00）L的切線方程，求得點B的坐標，即可證得結果；

14、（2）求出過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，根據(jù)（p，q）=max|x1|，|x2|，比較、|a|、|a|的大小，即可證得結論；（3）聯(lián)立y=x1，y=（x+1）2求得交點坐標，利用導數(shù)求過點（p，q）拋物線L的切線方程，求得切點坐標，轉化為求函數(shù)的最值問題解答：解：（1）kAB=y|x=p0=p0，直線AB的方程為yp02=p0（xp0），即y=p0xp02，q=p0pp02，方程x2px+q=0的判別式=p24q=（pp0）2，兩根x1，2=或p，而|p|=|p|，又0|p|p0|，得|p|=|p|，（p，q）=；（2）由a24b0知點M（a，b）在拋物線L的下方，當a0，b0時，作

15、圖可知，若M（a，b）X，則p1p20，得|p1|p2|；顯然有點M（a，b）X；M（a，b）X|P1|P2|當a0，b0時，點M（a，b）在第二象限，作圖可知，若M（a，b）X，則p10p2，且|p1|p2|；顯然有點M（a，b）X，顯然有點M（a，b）X|P1|P2|根據(jù)曲線的對稱性可知，當a0時，M（a，b）X|P1|P2|綜上所述，M（a，b）X|P1|P2| （*）由（1）知點M在直線EF上，方程x2ax+b=0的兩根x1，2=或a，同理知點M在直線EF上，方程x2ax+b=0的兩根x1，2=或a，若（a，b）=，則不比|a|、|a|小，|p1|p2|；又|p1|p2|M（a，b）X

16、；（p，q）=M（a，b）X；又由（1）知，M（a，b）X（p，q）=；M（a，b）X（p，q）=，綜合（*）式，得證（3）聯(lián)立y=x1，y=（x+1）2得交點（0，1），（2，1），可知0p2，過點（p，q）拋物線L的切線，設切點為（x0，x02），則，得x022px0+4q=0，解得x0=p+，又q（p+1）2，即p24q42p，x0p+，設=t，x0=，max=；而x0p+=p+|p2|=2，min=1點評：此題是個難題本題考查了利用導數(shù)研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力其中問題形式是個新定義問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解

17、決問題的能力20(2012廣東理數(shù))（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:的離心率，且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3（1） 求橢圓C的方程（2） 在橢圓C上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點A、B，且的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由解：（1）由得，橢圓方程為橢圓上的點到點Q的距離當即,得當即,得（舍） 橢圓方程為（2）當，取最大值，點O到直線距離又解得：點M的坐標為的面積為分析：本題相對于往年難度有所增大，第一問求橢圓方程可能會讓不少考生頭疼，主要考察解析幾何的分析能力和方法的靈活性。廣州一模、二模10. (20

18、10廣州二模理數(shù))已知橢圓的離心率, 且它的焦點與雙曲線的焦點重合, 則橢圓的方程為 .10. 20(2010廣州一模理數(shù))已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設，求的最大值20（本小題滿分14分）（本小題主要考查圓、拋物線、基本不等式等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：設，則， 即，即，所以動點的軌跡的方程 （2）解：設圓的圓心坐標為，則 圓的半徑為 圓的方程為令，則，整理得， 由、解得， 不妨設， ， 當時，由得， 當

19、且僅當時，等號成立當時，由得， 故當時，的最大值為 19. (2010廣州二模理數(shù))已知拋物線:的焦點為,、是拋物線上異于坐標原點的 不同兩點，拋物線在點、處的切線分別為、，且，與相交于點. (1) 求點的縱坐標； (2) 證明：、三點共線； (3) 假設點的坐標為，問是否存在經(jīng)過、兩點且與、都相切的圓， 若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.19. （本小題滿分14分）(本小題主要考查直線、圓、拋物線、曲線的切線等知識, 考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力) (1) 解:設點、的坐標分別為、， 、分別是拋物線在點、處的切線， 直線的斜率

20、，直線的斜率. ,（數(shù)學驛站 ） , 得. 2分、是拋物線上的點, 直線的方程為,直線的方程為.由 解得點的縱坐標為. 4分(2) 證法1： 為拋物線的焦點， . 直線的斜率為， 直線的斜率為. 6分 .、三點共線. 8分證法2： 為拋物線的焦點， . ， . , 6分 .、三點共線. 8分證法3：設線段的中點為, 則的坐標為.拋物線的準線為.作, 垂足分別為. 由(1)知點的坐標為,.是直角梯形的中位線. 6分根據(jù)拋物線的定義得:,.,為線段的中點,.,即.、三點共線. 8分(3)解: 不存在. 證明如下： 假設存在符合題意的圓，設該圓的圓心為， 依題意得，且， 由，得. 四邊形是正方形.

21、. 10分點的坐標為， ,得. 把點的坐標代入直線, 得 解得或,點的坐標為或.同理可求得點的坐標為或.由于、是拋物線上的不同兩點，不妨令,., . 13分, 這與矛盾.經(jīng)過、兩點且與、都相切的圓不存在. 14分19(2011廣州一模理數(shù)) 已知橢圓的離心率. 直線（）與曲線交于 不同的兩點,以線段為直徑作圓,圓心為 (1) 求橢圓的方程； (2) 若圓與軸相交于不同的兩點，求的面積的最大值.19（本小題滿分14分）(本小題主要考查橢圓、圓、直線與圓的位置關系等知識, 考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)（1）解：橢圓的離心率, . 2

22、分 解得. 橢圓的方程為 4分（2）解法1：依題意，圓心為 由 得. 圓的半徑為 6分 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離， ，即 弦長 8分的面積 9分 . 12分 當且僅當，即時，等號成立. 的面積的最大值為 14分解法2：依題意，圓心為 由 得. 圓的半徑為 6分 圓的方程為 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離， ，即 在圓的方程中，令，得， 弦長 8分的面積 9分 . 12分 當且僅當，即時，等號成立. 的面積的最大值為 14分20(2011廣州二模理數(shù))已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、 （1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線

23、離心率的取值范圍；（2）求直線的方程；（3）求三角形面積的最大值20（本小題滿分14分）（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，以及數(shù)形結合、分類討論思想和創(chuàng)新意識等）解：（1）因為，所以，所以1分由及圓的性質，可知四邊形是正方形，所以因為，所以，所以3分故雙曲線離心率的取值范圍為4分（2）方法1：因為，所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為5分因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，6分所以聯(lián)立方程組7分消去，即得直線的方程為8分方法2：設，已知點，則，因為，所以，即5分整理得因為，所以6分因為，根據(jù)平面幾何知識可知，因為，所以7分所以直線方程為

24、即所以直線的方程為8分方法3：設，已知點，則，因為，所以，即5分xyOPAB整理得因為，所以6分這說明點在直線上 7分同理點也在直線上所以就是直線的方程 8分（3）由（2）知，直線的方程為，所以點到直線的距離為因為，所以三角形的面積10分以下給出求三角形的面積的三種方法：方法1：因為點在雙曲線上，所以，即設，所以11分因為，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減12分當，即時，13分當，即時，綜上可知，當時，；當時，14分方法2：設，則11分因為點在雙曲線上，即，即所以令，則所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增12分當，即時，13分當，即時，綜上可知，當時，；當時，14分方法

25、3：設，則11分因為點在雙曲線上，即，即所以令，所以在上單調遞增，在上單調遞減12分因為，所以，當，即時，此時 13分當，即時，此時綜上可知，當時，；當時，14分19(2012廣州二模理數(shù))已知對稱中心為坐標原點的橢圓C1與拋物線C2：有一個相同的焦點F1，直線：與拋物線C2只有一個公共點 (1)求直線的方程；(2)若橢圓C1經(jīng)過直線上的點P，當橢圓C1的離心率取得最大值時，求橢圓C1的方程及點P的坐標19(本小題滿分14分)(本小題主要考查直線、橢圓、拋物線等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力)(1)解法1：由消去得 1分直線與拋物線只有

26、一個公共點，解得 3分直線的方程為 4分解法2：設直線與拋物線的公共點坐標為由，得直線的斜率 1分依題意得，解得 2分把代入拋物線的方程，得點在直線上，解得 3分直線的方程為 4分(2)解法l：拋物線的焦點為依題意知橢圓的兩個焦點的坐標為 5分設點關于直線的對稱點為則 7分解得點 8分直線與直線的交點為 9分由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓的長軸長11分其中當點P與點重合時，上面不等式取等號故當時， 12分此時橢圓的方程為，點P的坐標為 14分解法2：拋物線的焦點為依題意知橢圓的兩個焦點的坐標為 5分設橢圓的方程為 6分由消去得(*) 7分由 8分得 9分解得 10分 11分當時，此時橢圓的

27、方程為 12分把代入方程(*)，解得 13分點P的坐標為 14分20(2012廣州一模理數(shù))已知橢圓的左，右兩個頂點分別為、曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點（1）求曲線的方程；（2）設、兩點的橫坐標分別為、，證明：；（3）設與（其中為坐標原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍20（本小題滿分14分）（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、函數(shù)最值等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：依題意可得，1分設雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以，即所以雙曲線的方程為3分（2