高中數(shù)學必修四向量練習題(附解析)

1、第五章第二節(jié)基礎鞏固強化一、選擇題1.(文)(2014鄭州月考)設向量a=(m,1), b=(1, m),如果a與b共線且方向相反，則m的值為()A. 1B. 1C. 2D. 2答案A解析 設a= ?b( «0),即m=入且1 =入m解得m = +，由于 K0,，m= 1.點評1.注意向量共線與向量垂直的坐標表示的區(qū)別，若 a=(x1, y1)，b=(x1, y2),則 a/b? xy2x2y1=0,當a, b都是非零向量時，a± b? x1X2+y1y2=0,同時還要注意 a/b與X2=y2不等價.2.證明共線(或平行)問題的主要依據(jù):對于向量a, b,若存在實數(shù)N使得b

2、=冏則向量a與b共線(平行).(2)a=(x1, y1), b= (x2, y2),若 x1y2x2y1=0,則向量 a /b.(3)對于向量a, b,若|ab|=|a|b|,則a與b共線.要注意向量平行與直線平行是有區(qū)別的.(理)(2013荊州質(zhì)檢)已知向量a=(2,3), b=(-1,2),若ma+nb與a2b共線，則:= ()A. 2B. 21 1C. -2D. 2答案C解析由向量 a=(2,3), b=(1,2)得 ma+nb= (2m-n,3m + 2n), a 2b= (4, 1),因為 ma+ nb 與 a2b 共線，所以(2m-n)x (- 1)-(3m+2n)x 4= 0,整

3、理得 m= 2.2. (2014山東青島期中)設a, b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使看+£=0|a| 1b|成立的是()C. a=2bD. a±b答案A解析由題意得曰=白，而a表示與a同向的單位向量，一；b表示與b反向的單位 間 |b|a|b|向量，則a與b反向.而當a=- 3b時，a與b反向，可推出題中條件.易知 B, C, D都不正確，故選A.警示由于對單位向量、相等向量以及共線向量的概念理解不到位從而導致錯誤，特別對于這些概念：（1）單位向量a,要知道它的模長為1,方向同a的方向；（2）對于任意非零 |a|向量a來說，都有兩個單位向量，一個與 a同向，另一個

4、與 a反向；（3）平面內(nèi)的所有單位向量的起點都移到原點，則單位向量的終點的軌跡是個單位圓；（4）相等向量的大小不僅相等，方向也必須相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；（5）相等向量和相反向量都是共線向量，但共線向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量.3. (2015廣州執(zhí)信中學期中)在4ABC中，點P在BC上，且BP= 2PC,點Q是AC的中點，若 PA=(4,3), PQ=(1,5),則 BC=()A. (-2,7)B. (-6,21)C. (2, - 7)D. (6, -21)答案B一,一，一， 解析由條件知，PC = 2PQ -PA = 2(1,5) (4,3) =( 2,7),

5、-，BP=2PC=(-4,14),. BC=BP+ PC=(-6,21).4,在四邊形 ABCD 中，AB = a+2b, BC=- 4ab, CD = 5a 3b,其中 a, b 不共線, 則四邊形ABCD為()A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形答案C'，一 解析.AD = AB+BC+CD = -8a-2b= 2BC,四邊形ABCD為梯形.5.（文）（2014德州模擬 OB = x<OA+y5C, x, yCR且A, B, C三點共線（該直線不過點 O),則 x+y=()A. 1B. 1C. 0答案B解析如圖，設 AB=忠,D. 2一，f f f f f f則 OB=OA

6、 + AB = OA+ ?AC=OA+ XOC OA)= OA +QC ；oA=(1-OA+ OC x= 1 入 y = -x+ y = 1.點評用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功.在進行向量運算時，要盡可能將它們轉化到平行四邊形或三角形中，以便使用向量的運算法則進行求解.充分利用平面幾何的性質(zhì)，可把未知向量用已知向量表示出來.（理）（2013安慶二模）已知a, b是不共線的兩個向量，AB=xa+b, AC=a+yb（x, yC R）, 若A, B, C三點共線，則點 P（x, y）的軌跡是（）A.直線B.雙曲線C.圓D.橢圓答案B解析/A, B, C三點共線，存在實數(shù)入，使AB

7、=啟.x %貝U xa+b= ?（a+yb）?xy=1,故選 B.1 =入y6. （2014湖北武漢調(diào)研）如圖所示的方格紙中有定點O, P, Q, E, F, G, H,則OP + 0Q=()A.OHC.EO答案解析B. OGD. fO由平行四邊形法則和圖示可知，選D.二、填空題7.已知a=(2,3), b= (sin a,cos2 a),兀2,答案J33解析. a/b,sin & cos2 &33sin a,2sin2(X 3sin(X 2=0,1"sin a|< 1, ' sin a= 一 2,3'-'a- tan a= 一 3 .為

8、BC上異于B, C的任8.（文）（2014宜春質(zhì)檢）如圖所示，在 ABC中，HAH的中點，若aM=AB+（AC,則入+產(chǎn)1答案2分析由B, H, C三點共線可用向量AB, AC來表示AH.解析由B, H,C三點共線，可令AH = xAB +（1x）AC,又M是AH的中點，所以aM1一 1 一 1 一 一 一 一.111= 2AH=2xAB+2（1x） AC,又 AM= B+ gC.所以 壯尸 2x+ 2（1 -x） = 2.點評應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用.當基底確定后， 任一向量的表示都是唯

9、一的.（理）（2014河北二調(diào)）在 ABC中，AC=1, AB=2,人=穹，過點A作APLBC于點P, 3且AP= ;Ab+mC,則入哲.-10答案49解析 由題意知 AB AC=2X1Xcos§= - 1 , -. API BC,，AP BC = 0,即（漏 十 3pAC） （AC-AB）=0,（ Z- m）a! Ac AB2+ mAC2=0,即 廠 J 4 計 尸 0,尸 | A,.P, B, C三點共線，壯尸1 ,2丘 口 J72 5 10由聯(lián)立解得5 ，即入聲7x7=40.尸7、，一,，一，一,一，4,、，79 .（又）已知G是4ABC的重心，直線EF過點G且與邊AB、AC分

10、別交于點 E、F, AE=oAB, AF = AC,貝U'+；=.a p答案3解析連結AG并延長交BC于D, G是那BC的重心，. AG = 2AD=g（AB + AC）,、 設EG=6F,. Ag-Ae= xAf->ag）, .-.>=1EEAAF,1+入 1+入1 ->1 ->-qAB+ qAC =33-AB +入入3 一-AC1+入1_ 3入市11寸=3.(理)在 ABC中,過中線AD的中點E任作一條直線分別交AB、AC于M、N兩點，若aM = xAB ,AN = yAC,則4x+ y的最小值為答案解析r i一 ,“一乙17 告 告 1 7如圖所不，由題意

11、知 AD=2(AB + AC), ae = -ad又M,巳N三點共線,所以AE=心M + (14AN(其中0<«1),又AM = xAB, AN = yAC, 1 f f ff所以 4(AB+AC)=入 AB+(1 ?)yAC,因此有4 1-入y=1一 I1斛得x=人1令丁 t，t>1 ,貝U 4x+尸1入+15 9= (tT)+= +4=32當且僅當t=3,即上2時取得等 23三、解答題、一，一 受.，10 .(又)已知 0(0,0)、A(2, 1)、B(1,3)、OP=OA + tOB,(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第四象限?(2)四點O、A、B

12、、P能否成為平行四邊形的四個頂點，說明你的理由.解析(1)OP = OA+ tOB =(t+ 2,3t 1).若點P在x軸上，則3t-1=0, .t=1;3若點P在y軸上，則t+2=0, .t=-2；t+2>01若點P在第四象限，則, -2<t<-.3t-1<03- (2)OA=(2, 1), PB=(t1, 3t + 4). 若四邊形OABP為平行四邊形，則OA= PB.- t- 1 = 2無解.- 3t+4=- 1四邊形OABP不可能為平行四邊形.同理可知，當t=1時，四邊形OAPB為平行四邊形，當t=1時，四邊形 OPAB為平行四邊形.(理)已知向量 a=(1,2

13、), b = (cos a, sin a),設 m= a+tb(t 為實數(shù)).若",求當|m|取最小值時實數(shù)t的值;一一 一.一一.一兀 4-，、(2)右ab,問：是否存在頭數(shù)t,使得向重ab和向重m的夾角為4，右存在，用求.b=(中,為,出t;若不存在，請說明理由.解析. |m|= N a+ tb 2 = 15+12 + 2ta b= t2+3/t+5 = 7 t+乎 2+2,，當t=一等時，|m|取到最小值，最小值為 半(2)由條件得工cosT=4a b a+tb|a b|a + tb|-1a-b|= a-b2=V6, |a+tb| = A/ a+tb 2 = 5 + t2, (

14、a-b) (a+tb)= 5-t,25野叵- t + 5t 5= 0,存在t=2滿足條件.能力拓展提升、選擇題11 .平面上有四個互異的點A、B、C、D一 f L f-L滿足(AB-BC) (AD CD)=0,則二角形 ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形答案B解析(AB- BC) (AD-CD)=(AB BC) (AD + DC)=(AB BC) AC= (AB BC) (AB+ BC)= |AB|2-|BC|2=0,故|AB|=|BC|,即 ABC是等腰三角形.12 .如圖， ABC中,AD=DB, AE= EC, CD 與 BE 交于 F,設AB=a,

15、 AC = b, AF =xa+ yb,則(x, 丫)為(1 A. 21C. 3解析設 CF= CD,E、D分別為AC、AB的中點,2D- 3答案1. BE=BA+AE= a + 2b,BF=BC+CF=(b-a)+ab)1=2 A1 a+ (1 b).BE與BF共線，1211-入2 ,入=3,2 f 2. AF = AC+ CF=b + 3CD = b + 3i2a b11 皿 11= §a + 3b,故 x= 3-, y = §.13.已知平行四邊形 ABCD,點P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點，向量 Ap=xAB +yyAD,則 “0WxW -, 0WyW2-&quo

16、t;的概率是(231 A.o 3B.C.4D.答案A解析根據(jù)平面向量基本定理，點 P只要在如圖所示的區(qū)域 AB1C1D1內(nèi)即可，這個區(qū)，一 ，,1 2 1 ，一1域的面積是整個四邊形面積的 -x- = -,故所求的概率是-.2 3 3314.(文)(2014浙江十校聯(lián)考)稱d(a, b)=|ab|為兩個向量a, b間的“距離”.若向量a, b滿足：|b|=1;aw b；對任意的tCR,恒有d(a, tb)>d(a, b),則()B.b± (a b)C. a±(a-b)D.(a+ b)± (a - b)答案B解析由于d(a,b) = |ab|,所以對任意的tC

17、 R,恒有 d(a, tb)只d(a, b),即 |a- tb| 刁a-b|,由圖示可知，向量atb的模的最小值是 ab的模，故a b與b垂直，故選B.y, x>y，min x, y=x, x<y，設a, b為平面向x, x>y(理)(2014 浙江)記 maxx, y= y, x<y量，則()A . min|a+b|, |ab| < min| a|, |b|B. min|a+b|, |ab|川 min| a|, |b|C. max|a+b|2, |ab|2 w |a|2+|b|2D. max|a+b|2, |ab|2刁a|2+|b|2答案D解析由新定義知，max

18、x, y是x與y中的較大值，min x, y是x, y中的較小值,據(jù)此可知A、B是比較|a+b|與|ab|中的較小值與|a|與|b|中的較小值的大小，由平行四邊形 法則知其大小與a, b>有關，故A、B錯;當a, b> 為銳角時，|a + b|>|a- b|,此時 |a+b|2>|a|2+|b|2當a, b> 為鈍角時，|a + b|<|a- b|,此時 |a+b|2<|a|2+|b|2<|ab|2當a, b> = 90 時，|a+b|=|a b|,此時 |a+b|2 = |a|2+|b|2.故選D.、填空題、， 一 f 一 .>15

19、. （2013廣東江門質(zhì)檢）設a, b是兩個不共線向重，AB = 2a+pb, BC=a+b, CD = a 2b,若A、B、D三點共線，則實數(shù) p的值是.答案1解析"、B、D三點共線，AB與bD共線，心 一二 一.AB=2a+pb, BD=BC+CD=2a-b,，存在實數(shù) 入，使2a+pb= ?（2ab）,a與b不共線，壯1, p=- 1.16. （2014廣雅中學月考）梯形 ABCD中，AB/CD, AB=2CD, M、N分別是 CD、AB 的中點，設 AB=a, AD = b.若MN = ma+nb,則n =.mD X C答案4-e r L - -二t .一一 一 1111n解析MN= md + DA + AN = - 4a-b+-a=4a- b, . =-, n= - 1, . -=-4.三、解答題一兀17. （2014福建三明檢測）已知向量a=（sin% -2）, b=（1, cos®,其中 式（0,金）.(1)向量a, b能平行嗎？請說明理由.(2)若 a± b,求 sin a 和 cos a 的值.在(2)的條件下，若cos 3= U，因(0，2),求計3的值.解析 向量a, b不能平行.若平行，需sinocosa+ 2=0,即sin2 a= 4,而4?1,1,，向量a