高中數(shù)學(xué)曲線與方程

1、9.9曲線與方程、填空題1 .方程(xy)2+ (xy1)2=0表示的是.解析(x-y)2+ (xy 1)2 = 0?xy=0,xy 1 = 0,x=1,x= 1,或 .y=1y= 1.故此方程表示兩個點.答案兩個點2 .方程| y| 1 =5x12表示的曲線是.|y|-1>0解析 原方程等價于1 x120 |y|1 2= 1- x-1 2? |y|-1>0-x-1 2+ y|-12 = 1? y>1肅 y& t-x- 1 2+ y- 1 2= 1 衛(wèi) x-1 2+ y+ 12=1答案兩個半圓3 .動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等，則點P的軌

2、跡方程 為.解析 考查拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，知P的軌跡是以F(2,0)為焦點的拋物線，p=2, 所以其方程為y2 8x.答案y2 8x4 .設(shè)P為圓x2 + y2= 1上的動點，過P作x軸的垂線，垂足為Q,若函入MQ其 中人為正常數(shù))，則點M的軌跡為.解析 設(shè) M(x, y), P(xo, yo),則 Q(xo,0),由PM= wiQ得(A 0),x x0= Xxo x , yyo=一入 yxx,y0=狂 1 y.由于 x20+y20=1,x2+( 1)2y2=1,M 的軌跡為橢圓.答案橢圓2 o5 .設(shè)P為雙曲線24 y2 1上一動點，0為坐標(biāo)原點,M為線段OP的中點,則點M 的軌跡方程是.

3、解析設(shè)M(x,y),則P(2x,2y)代入雙曲線方程即得.答案x2 4y2 16 .如圖所示，一圓形紙片的圓心為 0, F是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把 紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD設(shè)CD與OMfc于點P,則點 P的軌跡是.解析由條件知P陣PF. P» PF= P» P陣。陣 R>OF.P點的軌跡是以Q F為焦點的橢圓.答案橢圓7.若ABC勺頂點A(-5,0)、B(5,0) , ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則 頂點C的軌跡方程是.解析 如圖AD= A98, BF= B92, C*CF,所以CA-C五8 2 = 6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是

4、以 A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方 22程為弓一泊1(x>3). 9160 E li x i-322x y答案 9 16=1(x>3)8.對于曲線C：/三+；=1,給出下面四個命題:4 k k 1曲線C不可能表示橢圓；當(dāng)1<k<4時，曲線C表示橢圓;若曲線C表示雙曲線，則k<1或k>4； 5若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<k<1其中所有正確命題的序號為.4-k>0,解析 根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可得當(dāng) k-1>0,4“k 1,k<4,k>1即 ，5 k*2時，表示橢圓；當(dāng)k<1或k>4時，表示

5、雙曲線.答案， 一 ，-，、， a _ a一一9.在4ABC中，A為動點，B、C為定點，B -2, 0 , C-, 0 (a>0),且滿足條一 一 _ 1件sin C- sin B= sin A,則動點A的軌跡方程是.解析 由正弦定理得AB- ACL 1 x BC, 2R 2R 2 2R-1 AB- A最2BC,由雙曲線的定義知動點 A的軌跡為雙曲線右支. _ 2_ 2-16x16y廠答案 W7=1(x>0且 yw0) a 3a 22一一一 x y10.已知P是橢圓a2+b2=1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，gpF+危，則動點q的軌

6、跡方程是: 解析由五PFi+PF2,又 PF+Pfc=PMk 2磔2例1 d 1x y設(shè)qx, y),則OP= - 2O的2(x, y)= -2, -2 ,x y即p點坐標(biāo)為一2,一,又p在橢圓上，x 2一“2則有一；2 4 ay 2一2K i喧24a,y 4a2+4b2=1(a>b>0)11.已知兩條直線li： 2x 3y+2=0和l 2： 3x 2y+3=0,有一動圓(圓心和半徑都動)與11、12都相交，且11、12被圓截得的弦長分別是定值26和24,則圓心 的軌跡方程是 解析 設(shè)動圓的圓心為Mx, y),半徑為r,點M到直線11, 12的距離分別為d1和d2.由弦心距、半徑、

7、半弦長間的關(guān)系得,2巾d21 = 26, 2422=24,r2 d21 = 169即 r2-d22=144消去r得動點M滿足的幾何關(guān)系為d22d21=25,23x-2y + 3 2x-3y + 213132-=25.化簡得(x+1)2 y2 = 65.此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程.答案(x+1)2 y2 = 65.x直線a+2-a=1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是解析(參數(shù)法)設(shè)直線x + t=1與x、y軸交點為A(a,0)、B(0,2 a), A、B a 2 a a a中點為 Mx, y),則 x = 2, y=12,消去 a,得 x + y=1, aw0, aw2,.xw。, xw1

8、.答案 x + y=1(xw0, xw1)13.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 .解析 在邊長為a的正方體ABCDAiGD中，DC與AD是兩條相互垂直的異面直 線，平面ABCDS直線DC且平彳T于AiD,以D為原點，分別以DA DC為x軸、y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點 P(x, y)在平面ABCM且到AD與DC之間的距離 相等，|x| =曾+ a2, .x2-y2=a2,故該軌跡為雙曲線.答案雙曲線二、解答題14.求過直線x-2y+4=0和圓x2 y2 的圓的方程：過原點；有最小面積.解析設(shè)所求圓的方程是x2 y2 2x即 x2 y2

9、 (2 )x 2(2 )y 1 4(1)因為圓過原點，所以1 40即故所求圓的方程為x2 y2 Jx |y(2)將圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，有：(x 勺)2 (y 2)2 5(1)2245當(dāng)其半徑最小時，圓的面積最小，此時2x 4y 1=0的交點，且滿足下列條件之一4y 1 (x 2 y+4)=0,0.140 .45 .譽為所求.5故滿足條件的圓的方程是(x 4)2 (y 8)2 ?.555點評：(1)直線和圓相交問題，這里應(yīng)用了曲線系方程，這種解法比較方便；當(dāng)然也 可以用待定系數(shù)法.(2)面積最小時即圓半徑最?。灰部捎脦缀我饬x，即直線與相 交弦為直徑時圓面積最小.22，一 一 x y 一 ,一一一

10、 ， 一15 .如圖，橢圓C: 16+； = 1的右頂點是A,上、下兩個頂點分別為 B、D,四邊形OAM是夕!形(O為坐標(biāo)原點)，點E、P分別是線段OA AM的中點.Af(1)求證：直線DE與直線BP的交點在橢圓C上;過點B的直線li, I2與橢圓C分別交于點R S(不同于點B),且它們的斜率1ki, k2滿足kik2= 4,求證：直線RS過定點，并求出此定點的坐標(biāo).解析(1)由題意，得 A(4,0) , B(0,2) , D(0 , 2), E(2,0) , P(4,1).1所以直線DE的方程為y = x 2,直線BP的方程為y=4X + 2.y=x2,解方程組1y= 4x + 2,16 x

11、="5.6 y = 5.所以直線DE與直線BP的交點坐標(biāo)為 黑6 .5 5164，所以點16,1在橢圓巳+yr=1上.5 516 4即直線DE與直線BP的交點在橢圓C上.(2)設(shè)直線BR的方程為y=kd+2.y=k1x + 2,解方程組X2二16+4 =1?彳日x = 0' y=2_16k1x= - 1 + 4k；2 8k1 y=1+4k2'一 一,1628k2所以八、R的坐標(biāo)為 1 + 4k； 1 + 4k2 .一，1 1因為匕仁一矛所以直線bs的斜率心一而 1直線BS的方程為y= x + 2.4ki1y=-7-x+24k1解方程組x2216+7 = 1，彳曰X2

12、y=216匕x=1+4k>8k1 一 2y1+4116k1所以點S的坐標(biāo)為言kr1 十 4k18匕一 21 + 4k2 .所以點R, S關(guān)于坐標(biāo)原點。對稱.故R, O, S三點共線，即直線RS過定點O16 .已知圓O: x2 + y2= 2交x軸于A、B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為乎的橢圓，其左焦點為F.若點P是圓。上的一點，連接PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點Q（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；若點P的坐標(biāo)為（1,1）,求證：直線PQ與圓。相切; 試探究：當(dāng)點P在圓。上運動時（不與點A B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請證明；若不是，請說明理由.

13、解析（1）因為a=V2, e=乎，所以c=1.x22則b=1,即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+y2= 1.一，一，1 因為P（1,1）,所以kPF= 2,所以ko聲一2,所以直線OQ勺方程為y= 2x.又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x= 2,所以點Q2,4）.所以kP衿一1.又ko右1,所以koP- kP戶-1,即OPL PQ故直線PQ與圓O相切.當(dāng)點P在圓。上運動時，直線PQ與圓。保持相切.證明如下：設(shè) P（x。，y0）（X°W0, ±1）,則 y2 = 2 x0,所以 kPF=, kO<Q=-.X。十 Iy。所以直線OQ的方程為y=x.y。所以點Q-2,2xo+ 2y。2x0+ 2

14、。2_y。y。一 2x0+ 2x。一2x。x。x0+ 2x0+ 2y。 x0+2y。y。'又kT，所以koP- kP= -1,即OPL PQ故直線PQ始終與圓O相切.17 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點在x軸上，原點。和點B分別是線段AB和AC的中點，已知A0= m(m為常數(shù))，平面的點P滿足P- PB= 6m(1)試求點P的軌跡C的方程;(2)若點(x, y)在曲線G上，求證：點x y3，2.2定在某圓G上; 過點C作直線l與圓G相交于M N兩點，若點N恰好是線段CM的中點，試求直線l的方程.解析(1)由題意可得點P的軌跡C是以A、B為焦點的橢圓，且半焦距長c=m,長半軸長a

15、=3m,則G的方程為三+ *2=1.9m 8m22若點（X, y）在曲線G上，則9m+8m=1.設(shè)3=x。，22=y。,則 x = 3x。，y = 2V2y。.22x y222代入赤+8m=1，得 x0+y0=m，定在某一圓G上.一 x所以點3, 3由題意，得C(3m,0).設(shè) M(xi, yi),則 x2+ y2=m.,xi+3m yi因為點N恰好是線段CM的中點，所以Nx-,1.xi+ 3mo yi代入g的方程得- 2+看2= mg聯(lián)立，解得xi = m, yi=0.故直線l有且只有一條，方程為y = 0.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A(4,0) , B(4,0),動點P與點A

16、、B ，1連線的斜率之積為一-.4求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點C,半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的 垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為V3r.求圓M的方程；當(dāng)r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l 的方程；如果不存在，請說明理由.解析(1)設(shè)P(x, y),則直線PA PB的斜率分別為 k1/k2 一x+4 x-4由題意，知x+4 x414,22日x y即存+W=1(xw±4) .22所以動點P的軌跡方程是東+2 = 1(xw±4).由題意，得C(0 , 2) , A( 4,0),所以線段AC的垂直平分線方程為y=2x + 3.設(shè) M(a, 2a+3)( a>0),則。M的方程為(x a)2+ (y2a 3)2= r2.圓心M到y(tǒng)軸的距離d = a,由r2= d2+ "2r 2,彳3a=：.所以O(shè)M的方程為 x 22