橢圓專題復(fù)習(xí)講義

1、.橢圓專題復(fù)習(xí)考點(diǎn) 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1:橢圓定義的運(yùn)用1.短軸長為5 ，離心率21 ， F2，過 F1 作直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn) ，則 ABF2 的周長e的橢圓兩焦點(diǎn)為 F3為 A.3B.6C.12D.24（） 解析 C.長半軸 a=3 ， ABF2 的周長為 4a=12x2y21 上的一點(diǎn) ， M , N 分別為圓 ( x3)2y21和圓 ( x 3)2y24上的點(diǎn)，則2.已知 P 為橢圓2516PMPN的最小值為（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.兩圓心 C、 D 恰為橢圓的焦點(diǎn) ，|PC| |PD|10， PMPN 的最小值為 10-1-2=7題型 2 求橢圓的標(biāo)

2、準(zhǔn)方程3.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn) ，坐標(biāo)軸為對稱軸 ，一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直 ，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為 4 2 4 ，求此橢圓方程 .x2y 2x 2y2bc 解析 設(shè)橢圓的方程為1或1(a b0) ，則 a c4(2 1)，a2b2b2a2a2b2c2解之得 ： a4 2 ，b = c 4.則所求的橢圓的方程為x2y2x 2y2321或161.16324. 橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上 ，短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是 3 ，求這個橢圓方程 .ac3a23b 3 ，所求方程為 x2y2=1 或 x2y2解析 +=1.c3，a2c129912考

3、點(diǎn) 2橢圓的幾何性質(zhì)題型 1:求橢圓的離心率 （或范圍 ）.學(xué)習(xí)參考.5.在 ABC 中， A300 ,| AB | 2,S ABC3 若以 A，B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ，則該橢圓的離心率 e【解題思路 】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析 S ABC1 | AB | | AC | sin A3 ，2|AC|23，|BC|AB|2|AC|22 | AB | | AC | cosA2e| AB|231|AC|BC|23226.成等差數(shù)列 ， m ， n ， mn 成等比數(shù)列 ，則橢圓 x2y 21的離心率為mn2n2mnm2，橢圓 x2y22 解析 由 n2m2n1的離心率為n4

4、mn0mn2題型 2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍 、對稱性等 ）7.已知實數(shù)x, y滿足 x2y21 求x2y2x的最大值與最小值42,【解題思路 】把 x2y2x 看作 x 的函數(shù)解析 由 x 2y 21得 y 221 x2 ,21 x202 x 24222x2y 2x1 x2x21 (x1)23 , x2,22232當(dāng)x1時 , x2y2x 取得最小值當(dāng)x2時,x2y2x取得最大值 6,28. 如圖 ， 把橢圓 x2y21 的長軸AB 分成8 等份 ， 過每個分點(diǎn)作x 軸的垂線交橢圓的上半部分于2516FP,P,P,P,P,P ,P是橢圓的一個焦點(diǎn)1 234567七個點(diǎn)，則 PFP F

5、P FP FP FP FP F_1234567解析 由橢圓的對稱性知：P1 F P7 F P2 F P6 F P3 F P5 F 2a 35 考點(diǎn) 3 橢圓的最值問題.學(xué)習(xí)參考.9.橢圓 x 2y21上的點(diǎn)到直線 l: xy 90的距離的最小值為169解析 在橢圓上任取一點(diǎn) P,設(shè) P( 4cos,3sin). 那么點(diǎn) P 到直線 l 的距離為 ：| 4 cos 3sin12 |2 | 5sin()9| 22.1212210. 已知點(diǎn) P 是橢圓 x 2y 21上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又 A( 2,0) 、 B(0,1) ，4O 是原點(diǎn) ，則四邊形 OAPB的面積的最大值是解析 設(shè) P ( 2

6、cos, sin),(0, ) ，則1 OA21 OBSOAPBS OPAS OPBsin2 cossincos222考點(diǎn) 4橢圓的綜合應(yīng)用題型 ：橢圓與向量 、解三角形的交匯問題11.已知橢圓 C 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O ,一個長軸端點(diǎn)為0 ,1 ,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線 l與 y 軸交于點(diǎn) P（ 0， m ）， 與橢圓 C 交于相異兩點(diǎn)A、B，且 AP3PB （ 1 ）求橢圓方程 ； （ 2）求 m 的取值范圍 解析 （ 1）由題意可知橢圓 C 為焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓 ，可設(shè) C :y2x2a2b2 1 (a b 0)由條件知 a 1 且 b c ，又有 a2b2c2 ，

7、解得 a1 , bc22故橢圓 C 的離心率為 ec2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ： y2x21a212（ 2 ）設(shè) l 與橢圓 C 交點(diǎn)為 A（ x1 ， y1 ）， B（ x2 ， y2 ）y kx m得（ k2 2 ） x2 2kmx （ m 2 1 ） 02 x2 y2 1（2km ） 2 4 （ k2 2 ）（ m 2 1） 4（k2 2m 2 2） >0（ *）.學(xué)習(xí)參考. 2kmm 2 1x1 x2 2 x2x1x2 k2 2 ， x1x2 k2 2 AP 3 PB x13 x2 x1 x2 3x22 2 kmm 2 1消去x23xx2024 k2 0，得（12） 1 2， （） 4

8、x x3k2 224k2 m 2 2m 2 k2 20112 2 m 2整理得m 2 時，上式不成立 ； m 2 時，k 24m 2，44 1因30222 m 21122>0 ，1< m < 或< m <1>2 m2 成立，所以（ *）成立kk 2容易驗證 k4m2 1211即所求 m 的取值范圍為 （ 1， ）（ ， 1 ）22基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示 ,橢圓中心在原點(diǎn) ,F 是左焦點(diǎn) ,直線 AB1 與 BF 交于 D,且BDB 190 ,則橢圓的離心率為()A31B51C51D32222解析B.b ( b )1a2c2ace5 1ac22. 設(shè) F1

9、、F2 為橢圓 x2+ y2=1的兩焦點(diǎn) ， P 在橢圓上 ，當(dāng) F1PF2 面積為 1 時， PF1PF2的值為 （）4A0B1C2D3解析A .SFPF23 | yP | 1 ，P 的縱坐標(biāo)為3 ，從而 P 的坐標(biāo)為 (26 ,3 ) ，1333PF1 PF20，3.橢圓 x2y21的一條弦被 A(4, 2),（）平分 那么這條弦所在的直線方程是369A x 2y0B 2x y10 0C 2x y 2 0D x 2 y 8 0解析 D.x12y121, x22y221,兩式相減得 ： x1x24( y1y2 ) y1y20 ，369369x1x2x1x28, y1 y24 ，y1y21x1

10、x22.學(xué)習(xí)參考.34.在 ABC 中，A90 ， tan B若以 A，B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ，則該橢圓的離心率4e解析 ABAB14k, AC 3k, BC 5k, e2AC BC5. 已知 F1, F2 為橢圓的兩個焦點(diǎn),P 為橢圓上一點(diǎn) ,若PF1F2 :PF 2F1 :F1PF21:2:3, 則此橢圓的離心率為 _.解析 31 三角形三邊的比是 1:3:26.在平面直角坐標(biāo)系中 ，橢圓 x2y2 1(ab0)的焦距為2 ，以 O 為圓心 ， a 為半徑的圓 ，過點(diǎn)a2b2a2,0作圓的兩切線互相垂直，則離心率 e =c解析 a2ae2c22綜合提高訓(xùn)練7 、已知橢圓 x2y 21

11、(ab0) 與過點(diǎn) A(2 ，0) ， B(0， 1)的直線 l 有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離a 2b 2心率 e3求橢圓方程2 解析 直線 l 的方程為 ： y1x1由已知a 2b23a 24b 22a2x 2y 211 a 2 )x 2a 2b 2得： ( b2a2 x a2a 2 b20由14y x 12a 4(4b 2a 2 )(a2a 2b 2 ) 0 ，即 a 24 4b 2由 得： a 22，b 21故橢圓 E 方程為 x2y2122128.已知 A、 B 分別是橢圓 x2y21的左右兩個焦點(diǎn) ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ，點(diǎn) P( 1,2）在橢圓上 ，線段 PBa 2b22與 y 軸的交點(diǎn) M 為線段 PB 的中點(diǎn) .（ 1 ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ；（ 2）點(diǎn) C 是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對于 ABC，求 sin Asin B 的sin C值。解析 （ 1）點(diǎn) M 是線段 PB的中點(diǎn)OM 是 PAB 的中位線又 OMAB PA