復(fù)變函數(shù)與積分變換試題

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換試題本試題分兩部分，第一部分為選擇題，1頁至3頁，第二部分為非選擇題，4頁至8頁，共8頁；選擇題40分，非選擇題60分，滿分100分，考試時間150分鐘。第一部分選擇題一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）在每小題列出的四個選項中只有 一個選項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。1.復(fù)數(shù)z二巴一邑的輻角為（25 25B. -arcta n 丄22.方程A.arcta n 122Rez =1所表示的平面曲線為（ 圓B .直線C. n - arctan 丄2D. n +arcta n 丄23.4.z=-3(cos，-isin，)的三角表示式為

2、554 4-3(cos , + isin )5 54 43(cos , + isin )5 5設(shè) z=cosi，則()A . Imz=0B . Rez= n復(fù)數(shù)C.5.復(fù)數(shù)e3 '對應(yīng)的點在（6.A .第一象限B.第二象限設(shè) w=Ln（1-l）,則 Imw 等于（）C .橢圓D 雙曲線43(cos , isin )554孑)C.4''54-3(cos , isin5|z|=0第三象限B . 2k一一D. argz= nD.第四象限4，"，C.jiD . 2k ,k =0,_1,47.函數(shù)w =z2把Z平面上的扇形區(qū)域：OV argz,0”：|z|：2映射成 W

3、平面上的區(qū)域（）3C.2兀0V argz：,0：|w|：432兀0V argz,0：|w|：23TB .0V argz ： § ,0 ：| w| ： 4&若函數(shù)f（z）在正向簡單閉曲線 C所包圍的區(qū)域D .0V argz ： § ,0 ：| w I ： 2D內(nèi)解析，在C上連續(xù)，且z=a為D內(nèi)任一點，n為正整數(shù)，則積分.2-iA.(n 1)!(n1)(a)B . 21 f(a)n!C . r：if (n) (a)D .n!(n)(a)9.設(shè)C為正向圓周|z+1|=2,n為正整數(shù)，則積分B. 2 n i10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.-

4、J 設(shè)C為正向圓周|z|=1,則積分 等于（)A . 0B . 2n iC . 2 nz.設(shè)函數(shù)f（z）=広巳匚，則f （z）等于（)A . zez ez 1B . zez ez -1C . - zez ez -1z + 1設(shè)積分路線 C是帖為z=-1到z=1的上半單位圓周，貝y2 dz等于（c zD . zez - ez 1B . 2 -二 i-2-二 ion n-1工z 幕級數(shù)、n =4m的收斂區(qū)域為（0 ：| z | ：|z|z=-1JI3是函數(shù)f(z)=士的（）3z -二一階極點cot 二 zB.可去奇點一階零點D.本性奇點是函數(shù)（z 1）4的（）3階極點B . 4階極點C . 5階極

5、點D . 6階極點幕極數(shù)'旦衛(wèi)zn的收斂半徑為（心（2n）!+ :Q（ z）在點z=0處解析，則 Resf（z）,0等于（A .下列積分中，積分值不為零的是（；（z3 2z 3）dz,其中C為正向圓周I z-12Q (0)B. Q (0)Q'( 0)Q'( 0):ezdz,其中C為正向圓周I z|=5cz nsidjc其中c為正向圓周丨ZF1D. dz,其中C為正向圓周I z|=2cz -12 映射w = z ' 2z下列區(qū)域中每一點的伸縮率都大于1的是（）A. |z 1| 1B |z 1|： 1C. |z| 1D |z|： 12 2 2 2下列映射中，把角形域

6、0 ： argz保角映射成單位圓內(nèi)部|w|<1的為（）4z4 1z4 -1z4-1Z4 + 14z iC . W 二 4丄.z十Iz4I21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.三、31.32.第二部分非選擇題(共60分)填空題(本大題共10空，每空2分，共30分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。復(fù)數(shù) Z = 4 + 的模 |z|=。設(shè) Z=(1+i)10°，則 Imz =。設(shè) z=e ，貝y argz=。f (z)的可導(dǎo)處為。方程 Inz= i的解為。31 -設(shè) C為正向圓周|z|=1，貝U 4(+z)dz=c z1設(shè)C為正向

7、圓周憶一il= 一，則積分叮dz =2lcz(z -i)231sin設(shè) C 為正向圓周 |Z |=2, f(z),其中 |z|<2,則 f' (1)=_ n! n 幕極數(shù)-z 的收斂半徑為 。n仝n1 1 1函數(shù)f(z)=15在點z=0處的留數(shù)為 zZ +1(z+1)計算題(本大題共 4小題，每小題5分，共20分)2 2求u =x - 2xy- y的共軛調(diào)和函數(shù) v(x,y)，并使v(0,0) = 1。計算積分I "Z zdz的值，其中C為正向圓周|z|=2。'c|z|z233. 試求函數(shù)f(z)= o e- d 在點z=0處的泰勒級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域。34.

8、 計算積分I負rdz的值，其中C為正向圓周|z-1|=3。c(z-i) "1)把D1映射成W2平面上的第一象限D(zhuǎn)2 ：V訶2亍 W=f3(w2)把D2映射成 W平面的上半平面：Imw>0; w=f(z)把D映射成G。(z+3i)2四、綜合題(下列 3個題中，35題必做，36、37題中只選做一題，需考積分變換者做 37題，其他考生做 36題，兩題都做者按 37題給分。每題10分，共20分)COSX35利用留數(shù)求積分匸42 dx的值。力 x +10x +936設(shè)Z平面上的區(qū)域為 D :|z i L 2,|z-i h 2，試求下列保角映射3(1) w f1 (z)把D映射成 W1平面

9、上的角形域 D1：v argW14437.積分變換(1) 設(shè)FC J =,a是一個實數(shù)，證明:y''-2y; y =1, y(0)=0,y'(0)=-1.利用拉氏變換解常微分方程初值問題:復(fù)變函數(shù)與積分變換試題參考答案及評分標準一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）1. B2. D3. C4. A5. A6. B7.A8. D9. C10. A11. D12. C 13. B14. B15. C16. D17.B18. D19. A20. C二、填空題（本大題共 10空，每空2分，共20分）21.8 22. 023.124. z=0.i-325. z(

10、1 i、3),或 e 3226. 4n i27. 2 n (n +i)28.3i,或 2二i 7131cos29.E30. 6333三、計算題（本大題共 4小題，每小題5分，共20 分）31.解 1:U =2x 2y,二=2x-2y，exdy由C R條件，有v；x：x-y32.32.v = y dy = (2x 2y)dy =2xy y2(x)。(2 分)ex再由 蘭=2y '(x) =-2x 2y =-,.:xy得'(x) =-2x，于是(x-x2 C ,(4分)v = 2xy y2 -x2 C。由 v(0,0) =1,得 C = 1。(5分)32.32.解2:v(x y)=

11、（x，y） «（0，°）:xdx：vdy C32.32.(2分)(4分)(x, y)二(0,0)(2y - 2x)dx (2x 2y)dy C二-x2 2xy y2 C以下同解1。32.32.解1:勺口c |z|1兀dz = 2 專Rezdz 二=2coM 2i(c°Lisi n 二)d(3分)=4i o (1 cos2)d)- 4 i。/ _f c -ifi小i8、z 1 z2兀2e2e+dz = J十Jz| |zJ0i 22丿2iei0d解2 : c(5分)(3分)=2i(2 二 0) =4二i。(5分)32.33.2 處(_Z 2 ) n 處(_1) 解：因

12、為 f'(z)二 e-zn, n! nn!nz2n (| z I 7；匕” ,(2 分)所以由幕級數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項求積性質(zhì)，得zf (z) = 0 f '( )d 二':=(-1)n z2n 1n 衛(wèi) n! 2n 1(5分)34.解：因在c內(nèi)f（z）二 e 2有二階級點z=i，所以（z-i） （z+3i）2i c f(z)dz 二(2 分)四、35.36.2ez= 2：ilim -23z (z 3i) (z 3i)（-12 二i）。16綜合題（下列 3個題中，35題必做，36、37題中只選做一題，需考積分變換者做37題，其他考生做解：在上半平面內(nèi),解：（1）(2)(3)

13、(4)(5分)36題，兩題都做者按 37題給分。每題10分，共20分）izef(z) 22有一階極點z=i和z=3i。(z2 1)(z2 9)(2 分)1 ：!：?ixe212 -：(x21)(x2 9)dx - 2 Re: (x21)(xCOSXdx9)(4分)1 ReS 二i R e S zi) , 2二 i R f S z ) 1, 3 i2 ， R efs( zi)=1Resf(z),3i I-(6分)16 e i13,48e i(9分)3(3e2 -1)。48e3(10 分)|z i| 二 2由 |Zi| 二 2 解得交點 Z1 + 1,Z2=-1。z 1設(shè)w1，則它把D映射成 W1平面上的z 12 M設(shè)w 二e 4w1，則它把D1映射成W2平面上的第一象限 D2:0 : argw2-iw = (e 4(2 分)4D1: ：:： argw 1jr3<-n4(6分)(4分)，則它把 D2映射成 W平面的上半平面 G:lmw>0。(8 分)z-1 )2=- i(z-1)2。z 1z 1(10 分)37.解：(1)歹 ” j I - a)g(t - i)d I =莎 f(t-a)*g(t)】(2 分)f(t - a