第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

1、1.4 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.4.1 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義1.7 (函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在一點的連續(xù)性)設設 在在 x0 的某一鄰域內有的某一鄰域內有定義定義,)(xf時函數(shù)時函數(shù) 的極限存在的極限存在,)(xf0 xx 如果當如果當且且)()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 連續(xù)連續(xù),)(xf0 x稱為稱為 的連續(xù)點的連續(xù)點.)(xf0 x;)()1(0處處有有定定義義在在點點 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 處連續(xù)必須滿足三個條件處連續(xù)必須滿足三個條件:0)(xxf在在點點說明說明:函數(shù)函數(shù)),()

2、(00 xfxxfy 所以所以, 在點在點 連續(xù)連續(xù)等價于等價于:)(xf0 x,0 xxx 若設若設00 xxx. 0lim0 yx),()(lim00 xfxfxx 若若;)(0處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱xxf),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱xxf0 x左連續(xù)左連續(xù)0 x右連續(xù)右連續(xù)xyoxyo顯然顯然, 00)()(xxfxxf在在處處連連續(xù)續(xù)在在定義定義1.8 (函數(shù)在一點左右連續(xù)函數(shù)在一點左右連續(xù))又右連續(xù)又右連續(xù).處既左連續(xù)處既左連續(xù), 或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都

3、連續(xù)的函數(shù), 稱該區(qū)間上的稱該區(qū)間上的在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù)右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點左端點ax 右端點右端點bx ,)(bacxf continuous左連續(xù)左連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),),()(bacxf )(af)(bf內連續(xù)內連續(xù))(xf連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義定義1.9 (函數(shù)在區(qū)間連續(xù)函數(shù)在區(qū)間連續(xù))例如例如, 多項式函數(shù)多項式函數(shù)內是連續(xù)的內是連續(xù)的. 因此因此, 有理分式函數(shù)在其定義域內的每一點有理分式函數(shù)在其定義域內的每一點都是連續(xù)的都是連續(xù)的.有理分式函數(shù)有理分式函數(shù), ),(0

4、xnnnxaxaaxp 10)(),( )()(lim00 xpxpnnxx ,)()()(xqxpxrmn 只要只要,0)(0 xqm都有都有).()(lim00 xrxrxx 因此因此, 多項式多項式函數(shù)函數(shù)在在例例1 證明函數(shù)證明函數(shù) 內連續(xù)內連續(xù). .證證,00處處在在 x.),(,內連續(xù)內連續(xù)在在故故 xy . 0, 0,xxxxxy, 0)(limlim00 xyxx, 0limlim00 xyxx所以所以).0(0lim0yyx ,00時時當當 x);(limlim0000 xyxxyxxxx ,00時時當當 x);()(limlim0000 xyxxyxxxx ),( 在在xy

5、證證),(0 x.sinsinlim00 xxxx 2sin2cos2sinsin0000 xxxxxx 002sin2xxxx 由由夾逼定理夾逼定理, 有有 .),(sin,內連續(xù)內連續(xù)在在所以所以 xy.),(cos內內連連續(xù)續(xù)在在 xy因因例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) 內連續(xù)內連續(xù). .),(sin 在在xy同理同理,定理定理1.14 (函數(shù)四則運算的連續(xù)性函數(shù)四則運算的連續(xù)性) 例如例如,),(cos,sin內內連連續(xù)續(xù)在在 xx則則點連續(xù)點連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù),)(),(0 xxgxf;)()()1(0連續(xù)連續(xù)在在xxgxf ;)()()2(0連續(xù)連續(xù)在在xxgxf ).0)()()()

6、3(00 xgxxgxf若若連續(xù)連續(xù)在在故故 在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù).xxxxcsc,sec,cot,tan,)(,)(000uxxxu 且且連連續(xù)續(xù)點點在在設設函函數(shù)數(shù)定理定理1.15 (復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性)(lim)(lim00 xfxfxxxx .)(,)(00點也連續(xù)點也連續(xù)在在則復合函數(shù)則復合函數(shù)點連續(xù)點連續(xù)在在而函數(shù)而函數(shù)xxfyuufy ).(0 xf 定理定理1.16 設函數(shù)設函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間i 上單調而上單調而且連續(xù)且連續(xù), 則其反函數(shù)也單調且連續(xù)則其反函數(shù)也單調且連續(xù).)(xfy 由此由此, 反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)

7、.即即三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx;,),(且且連連續(xù)續(xù)內內單單調調在在 )1, 0(log aaxya;,), 0(且且連連續(xù)續(xù)內內單單調調在在 可以證明可以證明: xy xeln ,uey xuln ,), 0(內內連連續(xù)續(xù)在在 均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù).指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定理定理1.17 (初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性) 初等函數(shù)在其初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是連續(xù)的內都是連續(xù)的.定義區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.注注 1. 初等函數(shù)僅

8、在其定義區(qū)間內連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù), 例如例如,)1(32 xxy), 1 0 :d在在 0 點的鄰域內沒有定義點的鄰域內沒有定義,.), 1內內連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在 注注 2. 初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡單極限的求法初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡單極限的求法.)(),()(lim000某定義區(qū)間某定義區(qū)間若若 xxfxfxx在其定義域內不一定連續(xù)在其定義域內不一定連續(xù);例例3 求求.1sinlim1 xxe1sin1 e原原式式. 1sin e例例4 求求.11lim20 xxx 解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx020 例例5 (非

9、初等函數(shù)的例子非初等函數(shù)的例子) ,0, 10, 00, 1sgn xxxx證明符號函數(shù)證明符號函數(shù) 是非初等函數(shù)是非初等函數(shù). 證證 因為因為),(sgn 的的定定義義域域是是而而x, 11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxx.sgnlim0不不存存在在所所以以xx.0sgn處處不不連連續(xù)續(xù)在在因因此此 xx,sgn初初等等函函數(shù)數(shù)是是若若x.),(sgn連連續(xù)續(xù)在在則則 x矛盾矛盾, .sgn非非初初等等函函數(shù)數(shù)是是所所以以x;)()1(0處處有有定定義義在在點點 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ),()(0

10、或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf1.4.2 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點)(0 xfx 為為并并稱稱點點的的間斷點間斷點.處連續(xù)必須滿足三個條件處連續(xù)必須滿足三個條件:0)(xxf在在點點函數(shù)函數(shù)如果上述三個條件中有一個不滿足如果上述三個條件中有一個不滿足,間斷點分為兩大類間斷點分為兩大類:第一類間斷點第一類間斷點:)0(0 xf和和)0(0 xf都存在的都存在的間斷點間斷點,),0()0(00 xfxf若若則稱為則稱為可去間斷點可去間斷點;),0()0(00 xfxf若若則稱為則稱為跳躍間斷點跳躍間斷點.其中其中稱為稱為第一類間斷點第一類間斷點.例例6 討論討論.00,

11、10,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f)00()00( ffoxy所以所以, 為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點.0 x例例7 討論函數(shù)討論函數(shù) 1,11, 110,2)(xxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 2)01( f2)01( f1)1(2)(lim1 fxfx所以所以, 為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點.1 x在在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.1 x如例如例7中中, 2)1( f令令 1,110,2)(xxxxxfoxy112注意注意: 可去間斷點只要可去間斷點只要改變改變或者或者補充補充間斷處函間斷處函 數(shù)的定義數(shù)的定

12、義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.則則在在 處連續(xù)處連續(xù).1 x第二類間斷點第二類間斷點:和和中至少一個不中至少一個不)0(0 xf)0(0 xf若其中有一個為若其中有一個為, 稱為稱為無窮間斷點無窮間斷點. .稱為稱為第二類間斷點第二類間斷點.存在的存在的間斷點間斷點,例例8 討論函數(shù)討論函數(shù).00,0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f )00(f所以所以, 為函數(shù)的無窮間斷點為函數(shù)的無窮間斷點.0 x 是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxd, 0, 1)(狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)定義域內每一點都是第二類間斷點定義域內每一

13、點都是第二類間斷點. 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxxxf,)(注意注意: 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.僅在僅在 處連續(xù)處連續(xù), 其余各點處處間斷其余各點處處間斷.0 x初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點.分段函數(shù)的分段點可能是間斷點分段函數(shù)的分段點可能是間斷點, 也可能是連續(xù)點也可能是連續(xù)點,需要判定需要判定.求函數(shù)的間斷點的方法求函數(shù)的間斷點的方法的間斷點的間斷點.)1)(1(sin)1()( xxxxxxf例例如如,求求解解0, 1, 1 xxx是間斷點是間斷點.111)( xxexf1001

14、1lim)(lim xxxxexf )(lim1xfx 1 1111lim xxxe11111lim)(lim xxxxexf0 解解例例9 求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點的間斷點, 并判斷其類型并判斷其類型. 1, 0 xx是間斷點是間斷點.所以所以, x = 0為第二類無窮為第二類無窮間斷點間斷點.內連續(xù)內連續(xù). 由初等函數(shù)的連續(xù)性由初等函數(shù)的連續(xù)性,),0 ,(函數(shù)函數(shù) 在其定義區(qū)間在其定義區(qū)間)(xf),1 , 0(), 1( 所以所以, x = 1為第一類為第一類跳躍間斷點跳躍間斷點.,0ix 若若)()()()(00 xfxfxfxf 1.4.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性

15、質設設 在區(qū)間在區(qū)間i 有定義有定義, )(xf, ix 使得使得則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間i 的最大值的最大值(最小值最小值).)(xf)(0 xf定理定理1.18 (最大最小值定理最大最小值定理)設設 在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 則則 在在a, b上有上有)(xf)(xf最大值最小值最大值最小值.有有ab2 1 xyo)(xfy ,21ba 則則,bax 使得使得,)(bacxf ).()(),()(21xffxff 注意注意: 1. 若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;推論推論1.5 (有界性定理有界性定理)2. 若區(qū)間內有間斷點若區(qū)間內有間斷點, 定

16、理不一定成立定理不一定成立.設設 在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 則則 在在a, b上上有界有界.)(xf)(xf有有若若 顯然顯然, 函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個上界和一個下界上界和一個下界.),(0)(內內至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 定理定理1.19 (零點定理零點定理) 設函數(shù)設函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，上連續(xù)，)(xf, 0)()( bfaf若若. 0)( f使得使得),(ba 則至少有一點則至少有一點如果如果 的一個的一個零點零點.)(, 0)(00 xfxxf為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱 ab3 2 1 幾何解釋幾

17、何解釋:xyo)(xfy 定理定理1.20 (介值定理介值定理) 設函數(shù)設函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù),)(xf,ba若若),()(bfaf ,)()(之之間間的的任任一一值值與與是是介介于于bfafc),(ba 則至少有一點則至少有一點.)(cf 使得使得兩個端點位于兩個端點位于x 軸的兩側軸的兩側,則曲線弧與則曲線弧與x 軸至少有一交點軸至少有一交點.連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 的的)(xfy mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(cxfx 設設,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax cafa )()( 且且ca cbfb )()( cb , 0)()( ba 由由

18、零點定理零點定理,),(ba , 0)( 使得使得, 0)()( cf 即即cf )( 故故推論推論1.6 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù), 必取得介于最必取得介于最大值大值m 與最小值與最小值m 之間的任何值之間的任何值.例例10 證明方程證明方程內內至至少少有有在在區(qū)區(qū)間間)1 , 0(4123xx 證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由由零點定理零點定理,),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(4123 內內至至少少有有一一根根在在xx 一根一根.所以所以,方程方程使得使得例例11 設函數(shù)設函數(shù),)(,)(aafbaxf 且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間證證,)()(xxfxf 令令,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxfaafaf )()(而而,