圓心角定理匯總

1、圓心角定理(弧、弦、圓心角關(guān)系定理)基本內(nèi)容：1、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。2、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，則它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。3、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，則它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。在理解時要注意：前提：在同圓或等圓中；條件與結(jié)論：在兩條弧相等；兩條弦相等；兩個圓心角相等中，只要有一個成立，則有另外兩個成立?；靖拍罾斫猓?在同圓或等圓中，若的長度的長度，則下列說法正確的個數(shù)是（ ）的度數(shù)等于；所對的圓心角等于所對的圓心角；和是等弧；（2題圖）所對的弦心距等于所對的弦心距。A1個B2個C3個D4個2如圖，在兩半徑不同的同

2、心圓中，則（ ）ABC的度數(shù)=的度數(shù)D的長度=的長度3下列語句中，正確的有（ ） （1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦； （3）長度相等的兩條弧是等??； （4）經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個4已知弦AB把圓周分成1:5的兩部分，這弦AB所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 5在O中，的度數(shù)240°，則的長是圓周的 份概念的延伸及其基本應(yīng)用：1在同圓或等圓中，如果圓心角等于另一圓心角的2倍，則下列式子中能成立的是（ ）2在同圓或等圓中，如果，則與的關(guān)系是（ ）ABCD3在中，圓心角，點到弦的距離為4，則的直徑的長為（ ）ABC

3、24D164在中，兩弦，分別為這兩條弦的弦心距，則，的關(guān)系是（ ）ABCD無法確定5已知：O的半徑為4cm，弦AB所對的劣弧為圓的，則弦AB的長為 cm，AB的弦心距為 cm6如圖，在O中，ABCD，的度數(shù)為45°，則COD的度數(shù)為 典型例題精析：（6題圖）例題1、如圖，已知：在O中，OAOB，A=35°，求和的度數(shù).解：連結(jié)OC，在RtAOB中，A=35°B=55°，又OC=OB，（例題1圖）COB=180°-2B=70°，的度數(shù)為70°，COD=90°-COB=90°-70°=20°

4、;，的度數(shù)為20°.說明：連結(jié)OC，通過求圓心角的度數(shù)求解。此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識.例題2、如圖，已知：在O中，=2，試判斷AOB與COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說明理由.分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是解：AOB=2COD， AB<2CD，理由如下：如圖，在O上取一點C ，使=.COD=DOC=2，=+=.（例題2圖）AB=CC. AOB=CO C=COD+DOC=2COD又在CD C中，CD+DC> CC，CC <2CD，即AB<2CD.說明：證明兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個三角形中。此題進(jìn)一步理解定理及其推論

5、的應(yīng)用條件，在“相等”問題中的不等量.由=2可得AOB=2COD是正確的，但由=2得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例題3、如圖，已知：AB是O直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CMAB，DNAB，求證：=.分析：要證弧相等，可以證弧對應(yīng)的弦相等，弧對應(yīng)的圓心角相等.證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD，M、N分別是AO、BO的中點，CMAB，DNAB，AC= OC、OD=BD又OC=OD，AC= BD，=.證法二：連結(jié)OC、OD，（例題3圖1）M、N分別是AO、BO的中點，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，CMAB，DNAB，OC=OD，RtCOMRtDO

6、N，COA=DOB，=.證法三、如圖，分別延長CM、DN交O于E、F，M、N分別是AO、BO的中點，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，又CMAB，DNAB，CE=DF，=，=，=.說明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力和基本的輔助線的作法.例題4、如圖，C是O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CDCO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)分折： 要求的度數(shù)，可求它所對的圓心角BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果解： 連OE、OD并延長DO交O于F 的度數(shù)為40°，AOD=40° CDCO， O

7、DEAOD40° ODOE， EODE40°（例題4圖） EOF=E+ODE=80°，BOF= AOD40°， 則BOE=EOF +BOF =80°+40°=120°，的度數(shù)為120°說明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換例題5、如圖，在中，直徑垂直于并交于；直徑交于，且，求的度數(shù).（例題5圖）解連結(jié).于，且.，又.，的度數(shù)是.說明：由于圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等，而我們對角是比較熟悉的，所以求弧的度數(shù)的問題往往轉(zhuǎn)化為求它所對的圓心角度數(shù)的問題.例題6、已知：如圖，、分別是的弦、的中點，求

8、證：.分析：由弦，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又、分別為、的中點，如連結(jié)，則有，故易得結(jié)論.證明連結(jié)、，（例題6圖）為圓心，、分別為弦、的中點，.說明：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來證題.例題7、如圖，已知中，、分別交、于點，求證：是等腰三角形.（例題7圖）分析：由，應(yīng)得：，因此，只要證明就可以證明是等腰三角形.說明：在本題中，請注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用.例題8、如圖，已知為的弦，從圓上任一點引弦，作的平分線交于點，連接. 求證：.證明：連結(jié). . 是的平分線， . . 說明：本題考查在同圓中等弧對等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解

9、題關(guān)鍵是連結(jié)，證.易錯點是囿于用全等三角形的辦法證明與相等而使思維受阻或證明繁雜.作業(yè)：1已知的半徑為，弦的長也為，則=_，弦心距是_2 在中，弦所對的劣弧為圓的，圓的半徑為，則=_3圓的一條弦把圓分為度數(shù)的比為的兩條弧，如果圓的半徑為，則弦長為_，該弦的弦心距為_4如圖，直徑，垂足為，則的度數(shù)為_，的度數(shù)為_5在矩形、等腰直角三角形、圓、等邊三角形四種幾何圖形中，只有一條對稱軸的幾何圖形是_6中弦是半徑的垂直平分線，則的度數(shù)為_7已知的半徑為，的度數(shù)是，則弦的長是_8如果一條弦將圓周分成兩段弧，它們的度數(shù)之比為，那么此弦的弦心距的長度與此弦的長度的比是_9已知：在直徑是10的O中，的度數(shù)是6

10、0°求弦AB的弦心距10已知：如圖，O中，AB是直徑，COAB，D是CO的中點，DEAB，求證：=211如圖，內(nèi)兩條相等的弦與相交于，求證：12如圖，和是等圓，是兩圓心的中點，過任作一直線分別交于，交于，求證：=13如圖，已知的直徑為，的度數(shù)為，求弦的弦心距的長。例 如圖，已知：在O中，=2，試判斷AOB與COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說明理由.分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個三角形中.解：AOB=2COD， AB<2CD，理由如下：如圖，在O上取一點C ，使=.COD=DOC=2，=+=.AB=CC. AOB=CO

11、 C=COD+DOC=2COD又在CD C中，CD+DC> CC，CC <2CD，即AB<2CD.說明：此題進(jìn)一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件，在“相等”問題中的不等量.由=2可得AOB=2COD是正確的，但由=2得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例 如圖，已知：AB是O直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CMAB，DNAB，求證：=.分析：要證弧相等，可以證弧對應(yīng)的弦相等，弧對應(yīng)的圓心角相等.證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD，M、N分別是AO、BO的中點，CMAB，DNAB，AC= OC、OD=BD又OC=OD，AC= BD，=.證法二：連結(jié)OC、OD

12、，M、N分別是AO、BO的中點，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，CMAB，DNAB，OC=OD，RtCOMRtDON，COA=DOB，=.證法三、如圖，分別延長CM、DN交O于E、F，M、N分別是AO、BO的中點，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，又CMAB，DNAB，CE=DF，=，=，=.說明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力和基本的輔助線的作法.例 如圖，已知：在O中，OAOB，A=35°，求和的度數(shù).分析：連結(jié)OC，通過求圓心角的度數(shù)求解.解：連結(jié)OC，在RtAOB中，A=35°B

13、=55°，又OC=OB，COB=180°-2B=70°，的度數(shù)為70°，COD=90°-COB=90°-70°=20°，的度數(shù)為20°.說明：此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識.例 如圖，C是O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CDCO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)分折： 要求的度數(shù)，可求它所對的圓心角BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果解： 連OE、OD并延長DO交O于F 的度數(shù)為40°，AOD=40° CDCO， ODEAOD40° ODOE， EOD

14、E40° EOF=E+ODE=80°，BOF= AOD40°， 則BOE=EOF +BOF =80°+40°=120°，的度數(shù)為120°說明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換典型例題五例 （北京市朝陽區(qū)試題，2002）已知：如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點、分別在、的延長線上，交于點、，交于點，是的中點，設(shè)，和是方程的兩個實數(shù)根. （1）求和的長；（2）求的長.解： （1）依題意，有一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得， ， 又. 由、得 . 當(dāng)時，成立. 把代入原方程解得 ,，. （2）解法一：連結(jié)，. 是的直徑，.

15、， . 即. . 在中，又. . 由勾股定理得. 在中，由勾股定理得. 在中，. 設(shè)，則，由勾股定理得. 是的中點，. . 解得. . 11分，. . . 14分解法二：同解法一求出，. 連結(jié). ，且，為直徑，. . 11分以下同解法一可求得.說明：這是一道綜合性較強的題目，主要考查一元二次方程的韋達(dá)定理和圓的一些知識。典型例題六例 如圖，在中，直徑垂直于并交于；直徑交于，且，求的度數(shù).解連結(jié).于，且.，又.，的度數(shù)是.說明：由于圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等，而我們對角是比較熟悉的，所以求弧的度數(shù)的問題往往轉(zhuǎn)化為求它所對的圓心角度數(shù)的問題.典型例題七例如圖，已知中，、分別交、于點，求證：

16、是等腰三角形.分析：由，應(yīng)得：，因此，只要證明就可以證明是等腰三角形.說明：在本題中，請注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用.典型例題八例 已知：如圖，、分別是的弦、的中點，求證：.分析：由弦，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又、分別為、的中點，如連結(jié)，則有，故易得結(jié)論.證明連結(jié)、，為圓心，、分別為弦、的中點，.說明：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來證題.典型例題九例 如圖，已知為的弦，從圓上任一點引弦，作的平分線交于點，連接. 求證：.證明：連結(jié). . 是的平分線， . . 說明：本題考查在同圓中等弧對等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是連結(jié)

17、，證.易錯點是囿于用全等三角形的辦法證明與相等而使思維受阻或證明繁雜.典型例題十例 如圖1，四邊形內(nèi)接于，（1）若把和交換了位置，的大小是否變化？為什么？（2）求證：。解（1）由圓的旋轉(zhuǎn)不變性知：與交換位置后，它們的和仍等于，故的大小不發(fā)生變化。（2）當(dāng)交換位置以后（如圖2），則四邊形變?yōu)樯系诪?，下底為9，兩腰為8的等腰梯形。作于， 圖1于。則。在中， 。即。說明：本題考查了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，解題關(guān)鍵是透徹理解題意并正確畫出變化后 圖2的圖形，易錯點是畫錯或畫不出變化后的圖形。選擇題1、如圖在ABC中，A=70°，O截ABC的三邊所得的弦長相等，則BOC=（ ）（A）140°

18、; （B）135°（C）130° （D）125°2、下列語句中，正確的有（ ） （1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦； （3）長度相等的兩條弧是等?。?（4）經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個3.在同圓或等圓中，如果圓心角等于另一圓心角的2倍，則下列式子中能成立的是（）4.在同圓或等圓中，如果，則與的關(guān)系是（）ABCD5.在中，圓心角，點到弦的距離為4，則的直徑的長為（）ABC24D166.在同圓或等圓中，若的長度的長度，則下列說法正確的個數(shù)是（）的度數(shù)等于；所對的圓心角等于所對的圓心角；和是等

19、??；所對的弦心距等于所對的弦心距。A1個B2個C3個D4個7.在中，兩弦，分別為這兩條弦的弦心距，則，的關(guān)系是（）ABCD無法確定8.如圖，在兩半徑不同的同心圓中，則（）ABC的度數(shù)=的度數(shù)D的長度=的長度答案:1、D； 2、A； 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C填空題1、已知弦AB把圓周分成1:5的兩部分，這弦AB所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 2、在O中，的度數(shù)240°，則的長是圓周的 3、已知：O的半徑為4cm，弦AB所對的劣弧為圓的，則弦AB的長為 cm，AB的弦心距為 cm4、如圖，在O中，ABCD，的度數(shù)為45°，則COD的度數(shù)為 5、如圖在ABC中，A=70°，O截ABC的三邊所得的弦長相等，則BOC=（ ）（A）140° （B）135°（C）130° （D）125°6. 已知的半徑為，弦的長也為，則=_，弦心距是_7. 在中，弦所對的劣弧為圓的，圓的半徑為，則=_8. 圓的一條弦把圓分為度數(shù)的比為的兩條弧，如果圓的半徑為，則弦長為_，該弦的弦心距為_9. 如圖，直