2015年四川省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)及答案

1、2015年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。(5 分)設(shè)集合 A=x| (x+1) (x- 2) <0,集合 B=x| 1<x< 3,則 AUB=A.x| - 1<x<3 B. x| - 1<x< 1 C. x|1<x<2D. x|2<x<32.（5分）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i3'=一1A.-i B. - 3i C. i D. 3i（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出 s的值為（3.端出£結(jié)束A.4.二 B * C

2、.（5分）下列函數(shù)中,A.y=cos (2x+7V¥B.最小正周期為冗且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（y=sin （2x+-）C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx5.（5分）過(guò)雙曲線x2 -1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)，則| AB| 二（AB. 2 . C. 6 D. 4 :6. （5分）用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比 40000 大的偶數(shù)共有（）A. 144 個(gè) B. 120 個(gè) C. 96 個(gè) D. 72 個(gè)7. （5分）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|商|=6,|標(biāo)|=4,若點(diǎn)M、N滿

3、足而二3筱，而二屈，WJ氤而二（）A. 20 B. 15 C. 9 D. 68. （5分）設(shè)a、b都是不等于1的正數(shù)，則“§>3b>3”是“l(fā)og3< logb3”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件9. （5 分）如果函數(shù) f （x） =- （m-2） x2+ （n-8） x+1 （m>0, n>0）在區(qū)間一，2上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為（）A. 16 B. 18 C. 25 D.整210. （5分）設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，與圓（x-5） 2+y2=r2 （r >0）相切于點(diǎn)M,且

4、M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的 取值范圍是（）A. （1,3）B.（1, 4）C.（2,3）D.（2,4）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11. （5分）在（2x-1） 5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答 案）.12. （5 分）sin15 + sin75 的值是.13. （5分）某食品的保鮮時(shí)間y （單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x （單位：C）滿足 函數(shù)關(guān)系y=ekx+b （e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若該食品在0c 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22c的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33c的保鮮 時(shí)間是 小時(shí).14. （5分）如

5、圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直， 動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成 的角為0,則cos 8的最大值為.5 產(chǎn)15. (5分)已知函數(shù)f (x) =2x, g (x) =x2+ax (其中a R).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)、 f(Xi) -式工 J-晨工，一人什xi、X2, 設(shè) m=, n=-. 現(xiàn)有如下命題：X _ x?X 一對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,都有m>0；對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,都有n>0；對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,使得m=n；對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,

6、使得m= - n.其中的真命題有(寫出所有真命題的序號(hào)).三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演 算步驟。16. (i2分)設(shè)數(shù)列an (n=i, 2, 3,)的前n項(xiàng)和Sn滿足$=2& - ai,且ai, a2+i, a3成等差數(shù)列.(I )求數(shù)歹I、的通項(xiàng)公式；(II)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求使得| Tn- i|一成立的n的最小值. %100017. (i2分)某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽， A中學(xué)推薦了 3名男 生、2名女生，B中學(xué)推薦了 3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加 集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)

7、抽取3人，女生中隨 機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(I )求A中學(xué)至少有i名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(H)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的 男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18. (i2分)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N.(I)請(qǐng)將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由)(n )證明：直線MN /平面BDH;(m )求二面角A- EG- M的余弦值.(I )證明：ta世2,2sinA(H)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求 tanA+ta世+tan+t

8、a虺 的值. 2222c20. (13分)如圖，橢圓22E:三"UrL L G>b>0)的離心率是 a2 b2喙，過(guò)點(diǎn)P (0, 1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于 得的線段長(zhǎng)為2點(diǎn).A B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截(I )求橢圓E的方程;(H)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得陽(yáng) 聿卻|Pd|Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.包成立？若存在，求出點(diǎn)321. (14分)已知函數(shù)f(I )設(shè) g (x)是 f (x)(x) = - 2 (x+a) lnx+x2-2ax- 2a2+a,其中 a>0. 的導(dǎo)函數(shù)，討論g (x)的單調(diào)性；(I

9、I)證明：存在a (0,1),使得f (x) >0在區(qū)間(1, +oo)內(nèi)恒成立，且f (x) =0在區(qū)間(1, +00)內(nèi)有唯一解.【解答】解：.一是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i2 32015年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1. （5 分）（2015?四川）設(shè)集合 A=x| （x+1） （x-2） <0,集合 B=x|1<x< 3, MAU B=（）A. x| - 1<x<3 B. x| - 1<x< 1 C. x|1<x<

10、2D. x|2<x<3【分析】求解不等式得出集合A=x| - 1<x<2,根據(jù)集合的并集可求解答案.【解答】解：二.集合 A=x| （x+1） （x-2） <0,集合 B=x| 1<x< 3,. .集合 A=x| - 1<x<2,. AU B=x| - 1<x<3,故選：Ai4-2 1-21 .=.=i, ill故選；C6/篇結(jié)束A.【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 件k>4,計(jì)算并輸出S的值為5.【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k的值，當(dāng)k=5時(shí)滿足條k=1k=2不滿足條件k>4, k=3不滿足條

11、件k>4, k=4不滿足條件k>4, k=5 滿足條件k>4, S=sin輸出S的值為故選：D.4. （5分）（2015?四川）下列函數(shù)中，最小正周期為 冗且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（A. y=cos (2x+7V¥)B. y=sin (2x+-)C. y=sin2x+cos2x D. y=sinx+cosx【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可.【解答】解:y=cos （2x+£-） =- sin2x,是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：陽(yáng)滿足題意，所以 A正確y=sin （2x+-） =cos2x,函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：冗，不滿足題意，所以 B不正 確

12、；y=sin2x+cos2x=/2sin （2x+-）,函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為 陽(yáng)所以C不正確；y=sinx+cosx=/2sin （xJL）,函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為 2冗，所以D不正確；4故選：A.25. （5分）（2015?四川）過(guò)雙曲線x2-2一二1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于 A、B兩點(diǎn)，則|AB|二（）A B. 2 .； C. 6 D. 4 3【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出 AB的方程，得到AB坐標(biāo)，即可求解 |A耳.2【解答】解：雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)（2, 0）,漸近線方程為y=±K,2過(guò)雙曲線x2-1=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直

13、線，x=2,可得 yA=2*71, yB=- 2股，|AB| =4. ：；.故選：D.6. （5分）（2015?四川）用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A. 144 個(gè) B. 120 個(gè) C. 96 個(gè) D. 72 個(gè)【分析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是 4、5其中1個(gè)，末位數(shù) 字為0、2、4中其中1個(gè)；進(jìn)而對(duì)首位數(shù)字分2種情況討論，首位數(shù)字為 5時(shí)，首位數(shù)字為4時(shí)，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目， 進(jìn)而由分類加法原理，計(jì)算可得答 案.【解答】解：根據(jù)題意，符合條件

14、的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè)，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)； 分兩種情況討論：首位數(shù)字為5時(shí)，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩 余的3個(gè)位置上，有A43=24種情況，此時(shí)有3X24=72個(gè)，首位數(shù)字為4時(shí)，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩 余的3個(gè)位置上，有A43=24種情況，此時(shí)有2X24=48個(gè)，共有 72+48=120 個(gè).故選：B7. （5分）（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|標(biāo)| =6, |標(biāo)| =4,若點(diǎn)M、N 滿足 BM=3MC, DM=2MC,則機(jī)刖=（A. 20 B. 15 C. 9D. 6|=._ .1=&#

15、39; 【分析】根據(jù)圖形得出O,AM*M=O?（出菽）=AI2-M*AN,結(jié)合向量結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【解答】解：二四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N滿足而二3瓶，而二2而,根據(jù)圖形可得:（研涵）=枷2-吐犯AD2 3,| r | 二6, | 二4, 門 四2 f 12=12- 3=9故選：C8. （5分）（2015?四川）設(shè)a、b都是不等于1的正數(shù)，則 5>3b>3”是“1。郭<logb3” 的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【分析】求解3a>3b>3,得出a>b>1,loga3<logb3,

16、的-竦<0或.-義0| Lgal 的20| Igai§b< 0根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【解答】解：a、b都是不等于1的正數(shù),. 3a>3b>3,a> b> 1,loga3< logb3,伊-x或IgaL gb>0Igb - 1和0Isal gb<0求解得出：a>b>1 或 1 >a>b>0 或 b>1, 0<a< 1根據(jù)充分必要條件定義得出：“3b > 3”是“ loa3 < logb3”的充分條不必要件,故選：B.9. (5 分)(

17、2015?四川)如果函數(shù) f (x) =i- (m2) X2+ (n 8) x+1 (m>0, n11> 0)在區(qū)間4 2上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A. 16 B. 18 C. 25 D.二2【分析】函數(shù)f(x)(m 2) x2+ (n 8) x+1 (m>0, n>0)在區(qū)間：上單調(diào)遞減，則f'(x) < 0,故(m-2) x+n-8<0fty, 2上恒成立.而(m -2) x+n-8是一次函數(shù)，在, 2上的圖象是一條線段.故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處 f 7-y) <0, f 72) &0即可.結(jié)合基本不等式求出 mn的最大值.【解答

18、】解：二,函數(shù)f (x)上(m 2) x2+ (n 8) x+1 (m>0, n>0)在區(qū)間 24，2上單調(diào)遞減，> f'(x) < 0,故(m-2) x+n - 8<0 在a，2上包成立.而(m - 2) x+n - 8是一次函數(shù)，在寺，2上的圖象是一條線段.故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處 f 7-) <0, f '(2) 00即可.即2)+n -0(1)2(m- 2)-bn-8<0(2)由得m"(12 n), - mn<-i-n (12-n) 產(chǎn)"3產(chǎn)=18,當(dāng)且僅當(dāng)m=3, n=6時(shí)取得最大值,經(jīng)檢驗(yàn)m=3,n=6

19、滿足(1)和(2).故選：B.解法二：二,函數(shù) f (x) 卷(m 2) x2+ (n 8) x+1 (m> 0, n> 0)在區(qū)間/, 2上單調(diào)遞減，> ,m=2, n< 8對(duì)稱軸x=-y-1,7- 2>C_ n- 8 m - Z即.rm>2>2 1Ziirbn - 1240即,rn<22n+m - 18<0設(shè)魯30信 3。設(shè) y， y'二號(hào), 上X當(dāng)切點(diǎn)為（刈，y0）, k取最大值.= - 2. k=2x n 2=2x0,可得 x0=3, yo=6,yo=- 2x0+12,. x=3> 2.k的最大值為3X6=1812 口

20、 1y0%LI2y0+x0 - 18=0,解得：xo=9, yo二xo<2不符合題意.m=2, n=8, k=mn=16綜合得出：m=3, n=6時(shí)k最大值k=mn=18,故選；B10. （5分）（2015?四川）設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，與圓（x-5） 2+y2=r2 （r0）相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4 條，則r的取值范圍是（）A. （1, 3） B. （1, 4） C. （2, 3） D. （2, 4）【分析】先確定M的軌跡是直線x=3,代入拋物線方程可得y=±2+，所以交點(diǎn) 與圓心（5, 0）的距離為4,即可得出結(jié)論.【解答】

21、解：設(shè) A (xi, y1)，B (x2, y2), M (x°, y°),斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,則y12=4x1, y22=4x2,相減，得（y1+y2）（y1 一 y2）=4 （xi當(dāng)l的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)差法可得 ky0=2,因?yàn)橹本€與圓相切，所以 = 所以x0=3, 叼-5 k'即M的軌跡是直線x=3.將 x=3代入 y2=4x,彳4y2=12,.一明為2«,.乂在圓上，.（為-5）。九2二工2,；2=42+4412+4=16,;直線 l 恰有 4 條，70*0, .4<r2<16,故2<r<4時(shí)，直線l有2條；斜率不存在

22、時(shí)，直線l有2條；所以直線l恰有4條，2<r<4,故選：D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11. （5分）（2015?四川）在（2x-1） 5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)是-40（用數(shù)字填寫答案）.【分析】根據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng)，整理成最簡(jiǎn)形式，令x的指數(shù)為2求得r,再代入系數(shù)求出結(jié)果.【解答】解：根據(jù)所給的二項(xiàng)式寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，M+要求X2的項(xiàng)的系數(shù)，5- r=2, . . r=3,.x2 的項(xiàng)的系數(shù)是 22 （T） 3C53=- 40.故答案為：-40.12. （5 分）（2015?四川）sin15+sin75 的值是 U

23、!【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可.【解 答】 解：sin15 +sin75 =sin15 +cos15 = >/2 （ sin15 cos45 +cos15 sin45 ） =/2sin60 =.2故答案為：號(hào).13. （5分）（2015?四川）某食品的保鮮時(shí)間y （單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x （單 位：C）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b （e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若 該食品在0c的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22c的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品 在33c的保鮮時(shí)間是 24 小時(shí).【分析】由題意可得，x=0時(shí)，y=192; x=22時(shí)，y=48.代入函

24、數(shù)y=ekx+b,解方程，可得k, b,再由x=33,代入即可得到結(jié)論.【解答】解：由題意可得，x=0時(shí)，y=192; x=22時(shí)，y=48.代入函數(shù)y=ekx+b,可得 eb=192, e22k+b=48,即有 e11k=1, eb=192,則當(dāng) x=33 時(shí)，y=e33k+b=Lx 192=24. 8故答案為：24.14. （5分）（2015?四川）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,他們所在的 平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AR BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線 EM與AF所成的角為9,則cos曲勺最大值為 .一§一【分析】首先以AB, AD, AQ三直線為x, y

25、, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè) 正方形邊長(zhǎng)為2 , M （0, y , 2）,從而可求出向量而，菽的坐標(biāo)，由 2 - V2 " Vcos 0 kos< EM ,而|得到二二7_j=,對(duì)函數(shù)二一廠"求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而求出 cos 8的最大值.【解答】解：根據(jù)已知條件，AB, AD, AQ三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x, y, z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB=2,則：A (0, 0, 0), E (1, 0, 0), F (2, 1, 0);M 在線段 PQ上，設(shè) M (0, y, 2), 0<y<2;麗二1,

26、y, 2)，而二 1, 0)；二 cos 0tcos< EM, AF>I =vy +5 'V5設(shè)f (y)2- y+5、匹,f，H尸-產(chǎn)： V5 (y +5Ry2t5函數(shù)g (y) =-2y- 5是一次函數(shù)，且為減函數(shù),-g (y) <0 在0, 2恒成立，f'(y) <0;.f (y)在0, 2上單調(diào)遞減；.y=0時(shí)，f (y)取到最大值M.5g (0) = - 5<0;故答案為：看.15. (5 分)(2015?四川)已知函數(shù) f (x) =2x, g (x) =x2+ax (其中 a R).對(duì)于f(Xi) - £( Kn) g(xi

27、) - g( Kc) “ 人不相等的頭數(shù) xi、x2, 設(shè) m=, n=. 現(xiàn)有如下命,一,勺一工2題：對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,都有m>0;對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)xi、x?,都有n>0；對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,使得m=n；對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)xi、x2,使得m=-n.其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號(hào)).【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷； 通過(guò)函數(shù)h (x) =x2+ax- 2x,求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷;通過(guò)函數(shù)h (x) =x2+ax+2x,求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷.【解答】解：對(duì)于，由

28、于2>1,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f (x)在R上遞增, 即有m>0,則正確；且)遞減，在(-0，+22對(duì)于，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得 g (x)在(-8,°°)遞增，則n>0不包成立，則錯(cuò)誤； 對(duì)于，由 m=n,可得 f (xi) f (x2)=g (xi) g (x2),即為 g (xi) f (xi) =g (x2)- f (x2),考查函數(shù) h (x) =x2+ax- 2x, h' (x) =2x+a- 2xln2,當(dāng)a-oo, h，(x)小于0, h (x)單調(diào)遞減，則錯(cuò)誤；對(duì)于，由 m= - n,可得 f (xi) - f (x2)= -

29、g (xi) - g (x2),考查函數(shù) h(x) =x2+ax+2x, h' (x) =2x+a+2xln2,對(duì)于任意的a, h' (x)不恒大于0或小于0,則正確. 故答案為：.三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演 算步驟。16. (i2分)(20i5?四川)設(shè)數(shù)列an (n=i, 2, 3,)的前n項(xiàng)和&滿足Sn=2an-ai,且ai, a2+i, a3成等差數(shù)列.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(II)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求使得| Tn- i|成立的n的最小值.%1000【分析】(I)由已知數(shù)列遞推式得到an=2an i (n

30、 >2),再由已知ai, a2+i, a3 成等差數(shù)列求出數(shù)列首項(xiàng)，可得數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可求；(H )由(I )求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的前%求解指數(shù)不等式得n的最小值.n項(xiàng)和求得Tn,【解答】解：(I)由已知S1=2cn-ai,有an=Sn- Si i =2an- 2an i (n>2), 即 an=2an i (n>2),從而 a2=2ai, a3=2a2=4ai,又.明, a2+1, a3成等差數(shù)列, ai+4ai=2 (2ai+1),解得：ai=2.由表得導(dǎo)云焉,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故 "二2”

31、；即 2n>1000.-29=512< 1000V 1024=2?n>10.于是，使|Tn - 1| <-成立的n的最小值為10.100017. （12分）（2015?四川）某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽， A中學(xué) 推薦了 3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了 3名男生、4名女生，兩校所推薦的 學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).（I ）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（H）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的 男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【分析】（I ）求

32、出A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的對(duì)立事件的概率，然后 求解概率即可；（H）求出X表示參賽的男生人數(shù)的可能值，求出概率，得到 X的分布列，然后 求解數(shù)學(xué)期望.【解答】解：（I）由題意，參加集訓(xùn)的男、女學(xué)生共有 6人，參賽學(xué)生全從B中抽出（等價(jià)于A中沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為:至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為:r3r33p3=100,因此A中學(xué)(H)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，X表示參賽的男 生人數(shù)， 則X的可能取值為：1, 2, 3,p(x=i)=4,P(x=2)子產(chǎn)掾毛5C對(duì)1P (x=3)十X的分布列：X1和數(shù)學(xué)期望 EX=lxg+2M3M_=2.55518. (1

33、2分)(2015?四川)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.在正方體中，設(shè) BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N.(I )請(qǐng)將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由)；(II )證明：直線MN /平面BDH;(m )求二面角A- EU M的余弦值.【分析】(I )根據(jù)展開(kāi)圖和直觀圖之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；(n )利用線面平行的判定定理即可證明直線 MN /平面BDH;(m)法一：利用定義法求出二面角的平面角進(jìn)行求解.法二：建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.【解答】解：(I ) F、G、H的位置如圖；證明：（11）連接8口，設(shè)。是BD的中點(diǎn), .BC的中點(diǎn)為 M、

34、GH的中點(diǎn)為N, .OM/CD, OM=1-CD,HN/ CD, HN=-CD, .OM/HN, OM=HN,即四邊形MNHO是平行四邊形，MN / OH,v MN?平面 BDH; OH?面 BDH,直線MN /平面BDH;（田）方法一：連接AC,過(guò)M作MHXACT P,則正方體 ABCD- EFGH中,AC/ EG,MP± EG過(guò)P作PK±EG于K,連接KM, EG,平面 PKM則 KM ± EG,則/PKM是二面角A- EG- M的平面角，設(shè) AD=2,貝U CM=1, PK=2,在 RtCMP 中，PM=CMsin45考，在RtA PKM中，KM科至針/=1

35、,cos/ PKM=二,KM 3即二面角A- EG- M的余弦值為純方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，z分別為DA, DC, DH方向?yàn)閤, y, z軸建立空間坐標(biāo)系如圖：設(shè) AD=2,則 M (1, 2, 0), G (0, 2, 2), E (2, 0, 2), O (1, 1, 0),則布二(2, -2, 0),兩旺 o, 2)，設(shè)平面EGM的法向量為0 (x, y, z),jnGE=0G,前二 0口 u- 2y=0 人，即，令 x=2,彳#n= (2, 2, 1),- 2z=0在正方體中，DO±¥面AEGC則辭15二 (1, 1, 0)是平面AEG的一個(gè)法向量,而角A- EG

36、- M的余弦值為19. (12 分)(2015?四川)如圖，A B、,、/ n口 , A 1_ 一 2 osA(I ) 證明：tan二一;2 sinA(H)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.AD=5,求的值.【分析】（I）直接利用切化弦以及二倍角公式化簡(jiǎn)證明即可.(H )通過(guò) A+C=180 ,得 C=180 - A , D=180 - B ,利用(I )化簡(jiǎn)tan+tan+tan+tan=三+：,連結(jié) BD,在4ABD中，利用余弦定理求 2222 sinA sinB出sinA,連結(jié)AC,求出sinB,然后求解即可.(H )由 A+C=

37、180 ,得 C=180 A , D=180 - B ,由(I )可知：tan+tan+tan+tan連結(jié)-.1-L1 山.L'= - 一sinA sinB sin(180- A.) sin(l 80- B) sinA sinBBD,在 ABD 中，有 BD2=AB2+AD2 - 2AB?ADcosA AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,在 BCD中，有 BC2=BG+CA 2BC?CDcosC所以 AB2+AD2 - 2AB?ADcosA=B2+CC2 - 2BC?CDcosC則：cosA，一 一" ；=' -l二2（AB，AD+5CtCD） 2（6X 5+

38、3X4）7于是 sinA= , 一2 - CD262+32- 52 - 42 12<6X 5+5X 4)192(AB-BC+AD'CD)連結(jié)AC,同理可得：cosB/二匚 1-20. （13分）（2015?四川）如圖，橢圓E:22Ar La>b>0)的離心率是乎,過(guò)點(diǎn)P （0, 1）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直 線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2M.(I )求橢圓E的方程；(H)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得幽_羋耳_|QB| |PB|包成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(I )通過(guò)直線l平

39、行于x軸時(shí)被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2/j及離心率(II)通過(guò)直線l與x軸平行、垂直時(shí)，可得若存在不同于點(diǎn) P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只能是(0,2).然后分直線l的斜率不存在、存在兩種情況,利用韋達(dá)定理及直線斜率計(jì)算方法，證明對(duì)任意直線1,均有釉|PA|即可.【解答】解：(I )二直線1平行于x軸時(shí)，直線1被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2/2,點(diǎn)(、歷，1)在橢圓E上, 又:離心率是四,病一產(chǎn)二好,解得 a=2, b=/2,匕一 2橢圓E的方程為：總+卷=1；(H)結(jié)論：存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q (0, 2),使得一器書$恒成立.理由如下：當(dāng)直線1與x軸平行時(shí)，設(shè)直線1與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，如果存在

40、定點(diǎn)Q滿足條件，則有：| =)=1,即|QC=|QD|. | QU | i JJ.Q點(diǎn)在直線y軸上，可設(shè)Q (0, yo).當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線1與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，則M、N的坐標(biāo)分別為(0, 6)、(0, -6),又皿l=PMl .|QN| |PN|解得yo=1或yo=2.若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只能是（0, 2）.下面證明：對(duì)任意直線i,均有阿！二.|QB| |PB|當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A、B 的坐標(biāo)分別為 A （xi, yi）、B（X2, y2）,r 2 ?x y聯(lián)立 彳+二、消去y并整理得：（1+2k2） x2+4kx- 2=0,、y=k工+1,/= (4k) 2+8 (1+2k2) >0,Xi+X2=-班f, X1X2=-1+2蘆 1+211 + 町+ - =2k,耳耳2 x 1 x2已知點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（-X2, y2）,.kAQ=kQB,即 Q、A、B'三點(diǎn)共線,|QB| |QB