專轉本第六章空間解析幾何63

1、4. 空間中的平面與直線空間中的平面與直線u空間中的平面及其方程?？臻g中的平面及其方程。u空間直線及其方程。空間直線及其方程。幾何上，任給空間中某一點，及某一方向，都可且?guī)缀紊?，任給空間中某一點，及某一方向，都可且只可做一條過該定點且垂直于給定方向的平面。下面用只可做一條過該定點且垂直于給定方向的平面。下面用解析式描述此幾何關系解析式描述此幾何關系.任取平面任取平面 上一點上一點m(x, y, z).故故 n m0m=0.設：平面設：平面 過定點過定點m0(x0, y0, z0)且垂直于方向且垂直于方向n=(a, b,c).由已知，由已知，n m0m， m0mxzy0 n (a, b, c)

2、(x x0, y y0, z z0)= a(x x0)+b(y y0)+c(z z0)= 0.即平面即平面 上任意點上任意點m(x, y, z)都滿足方程都滿足方程(1).反之反之若若(x, y, z)滿足滿足(1)，則由，則由(1).(1)n與與 m0m 垂直垂直. 即即m在平面在平面 上上.我們稱垂直于平面我們稱垂直于平面 的任何非零向量為的任何非零向量為 的法方的法方向或法向，向或法向，因此，因此，n即為即為 之一個法向之一個法向.方程方程(1)依賴于法向依賴于法向n及定點及定點m(x0, y0, z0). 故故(1)稱稱為平面為平面 的法點式方程的法點式方程.a(x x0)+b(y y

3、0)+c(z z0)=0法點式方程法點式方程例例 1 1 求求過過三三點點)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的的平平面面方方程程. 解解取取acabn ),1, 9,14( 所求平面的點法式方程為所求平面的點法式方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx),6, 4 , 3( ab).1, 3 , 2( ac例例 2 2 求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx 和和051223 zyx的的平平面面方方程程. 1 7nzyx的法向量為的法向量為 2 051223nzyx的的法法向向量

4、量為為取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解),1 , 1, 1( )12, 2, 3( 一般地，設平面一般地，設平面 過過m1, m2, m3三點三點, m1, m2, m3不共線不共線. 即即. 03121mmmm則得平面方程為：則得平面方程為：, 0)(31211mmmmmm即即, 0),(111131312121212 zzyyxxzzyyxxzzyyxxkji. 0131312121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三平面的三點式方程點式方程.由

5、點法式方程由點法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyax0 dczbyax法向量法向量).,(cban ;（一一次次方方程程）反反之之，對對一一次次方方程程d (1) 0 dczbyax，則則取取其其一一解解),( 000zyx0000 dczbyax同同解解于于 (1) 0)()()(000 zzcyybxxa的的圖圖形形是是平平面面。 (1) 平面的平面的一般（式）一般（式）方程。方程。平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過平面通過 軸

6、；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 dczbyax例例 3 3 設設平平面面過過原原點點及及點點 )2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx 垂垂直直，求求此此平平面面方方程程。 設平面設平面 ：, 0 dczbyax由過由過 原點知原點知, 0 d由由 過過點點)2, 3, 6( 知知 0236 cba),2 , 1, 4( n024 cba,32cba 所求平面方程為所求平面方程為解解. 0322 zyx，不

7、不全全為為、0cba，、可可取取322 cba設平面方程為設平面方程為, 0 dczbyax將三點坐標代入方程，得將三點坐標代入方程，得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 平平面面方方程程為為0)()()( dxcdybdxad1 czbyax平面的平面的截距式截距式方程方程即即x軸上截距軸上截距y軸上截距軸上截距z軸上截距軸上截距解解：如圖：如圖 m1nm0 設平面設平面 : ax+by+cz+d=0. 則則平面上點平面上點m1(x1, y1, z1)滿足滿足a1x+b1y+c1z+d1=0.由于由于 m0n 為之法向為之法向.故故 m0n / (a, b,

8、c).n |0nmd |cos|10 mm即即|0nmd |cos|10 mm|101010nmmnmmmm |10nnmm ,| )()()(|22200101cbazzcyybxxa .|222000cbadczbyaxd 即即點到平面的點到平面的距離公式距離公式例例5. 設平面設平面 過點過點m1(1, 0, 0), m2(1, 1, 1)且與且與平面平面 1：x+y+z=0垂直，垂直， 求平面求平面 .而而 過點過點m1, m2. 故故平面平面 / m1m2 .設設 1法向法向n1=(1, 1, 1).因此，平面因此，平面 n1 m1m2 . n1 m1m2 即即 的法向的法向 n =

9、n1 m1m2 .則則 平面平面 / n1 .解解：110111kji kj ).1 , 1 , 0( 故得平面故得平面 方程為方程為. 0)0()0()1(0 zyx即即. 0 zy)01 , 01 , 11()1 , 1 , 1( n 如果一個如果一個非零非零向量平行于直線向量平行于直線l l，就稱這個向，就稱這個向量為直線量為直線 的一個的一個方向向量方向向量xyzo0m m sr0rl,),( 0000lzyxm 設設的的一一個個方方向向向向量量為為 ),(lpnms 上任一點上任一點為為lzyxm),(00,romrom u 點點 在在 直線直線 l 上的充要條件是上的充要條件是 0

10、m共線共線與與smm0s trrs tmm 00亦即亦即即即（1）式叫做直線）式叫做直線 l 的的向量式參數方程向量式參數方程)1()(0為參數為參數故故ts trr smm/ 0因為因為直線的直線的(坐標式坐標式)參數方程參數方程，s tmm 0，即即),(),( 000pnmtzzyyxx ptzzntyymtxx000得得:l將直線的參數方程中的參數將直線的參數方程中的參數 t 消去，則可得到消去，則可得到pzznyymxx000 直線直線l的的標準方程標準方程或或對稱式方程對稱式方程。直線直線l的一組的一組方向數。方向數。方向向量的方向余弦稱為該直線的方向向量的方向余弦稱為該直線的方向

11、余弦方向余弦解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx，則則，、若若2122221111),(),( mmlzyxmzyxm :l121121121zzzzyyyyxxxx 兩點式方程。兩點式方程。注：注：1 2 l若空間直線若空間直線l為兩平面為兩平面0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa:l則則的交線，的交線，空間直線的空間直線的一般方程一般方程。xyzo(不唯一不唯一)在直角坐標系下在直

12、角坐標系下， 兩平面的法向量分別為兩平面的法向量分別為21 和和,22221111cbancban 22112211221121,babaacaccbcbnns所以直線所以直線 l 的方向向量可取為的方向向量可取為例例 8 將直線將直線l 化成對稱式方程化成對稱式方程 0220123zyxzyx解：解：平面平面 的法向量的法向量0123:1 zyx )1 , 2, 3(),(1111 cban022:2 zyx ) 1, 1 , 2(),(2222 cban平面平面 的法向量的法向量21,nlnl 求直線求直線l上一點上一點m0(x0,y0,z0)令令x0=1 則則 042zyzy得得 y0=4,z0=4745411 zyx所求直線所求直線l方程為方程為kjikjinns7511212321 的的方方向向向向量量直直線線 l解解 先作過先作過點點m且