多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、8.3 8.3 多元復(fù)合函數(shù)多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)和隱函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法則)(),(ttfz定理定理. .若,)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，),(vu在點(diǎn)在點(diǎn)t可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形(1)函數(shù)(2)證證: : 設(shè)t取增量t ,v

2、vzuuzz)()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量有增量u ,v ,0t令,0,0vu則有to)( ( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 ) )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時(shí),根式前加“”號(hào))tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd推廣推廣: :中間變量多于兩個(gè)的情形. , ),(wvufz tzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu例如,在相似條件下， 2.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形定理定理. .若),(vufz 處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，),(vu在點(diǎn)在點(diǎn)(x

3、,y)的兩個(gè) 則復(fù)合函數(shù)(1)函數(shù)(2)( , )( , )ux yvx y及都在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)； ( , ),( , )zfx yx y偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有鏈?zhǔn)椒▌txz1211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvzzvuyxyx推廣：( , ),( , ),( , ),( , , )ux y vx y wx y zf u v w在相似條件下，有xzyzxuuzxvvzyuuzyvvzxwwzywwz口訣口訣 : :分段用乘分段用乘, , 分叉用加分叉用加, , 單路全導(dǎo)單路全導(dǎo), , 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)定理定理. .若

4、),(vufz 處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，),(vu在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè) 則復(fù)合函數(shù)(1)函數(shù)(2)( , )ux y在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及 ( , ),( )zfx yy偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有鏈?zhǔn)椒▌ty的偏導(dǎo)數(shù)；( )vy在點(diǎn)y可導(dǎo)，xzxuuzzzuz dvyuyv dy,xfxuufxz .yfyuufyz 把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似對(duì)于( , , ),( , )zf u x y ux y例例1. 1. 設(shè)設(shè),

5、sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx例例2.2.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解: :xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2例例3. 3. 設(shè) ,sintvuz.dd

6、tzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),etu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).例例4. 4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw 步驟：步驟： 1.必須設(shè)中間變量；令,zyxvzyxu),(vufw 則2.簡化偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)；以12, ff分別表示f(u,v)對(duì)第一個(gè)，第二個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)，以12f表示f(u,v)先對(duì)第一個(gè)再對(duì)第二個(gè)中間變量的二階導(dǎo)數(shù)；例例4. 4.

7、設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw 步驟：步驟： 3.求2 wx z等二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，12, ff仍看作是x，y的函數(shù)，求再高階偏導(dǎo)時(shí)，以此類推。為簡便起見 , 引入記號(hào),2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: : 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff設(shè)函數(shù)),(, ),(, )

8、,(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性. .4.全微分形式的不變性例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 5.5. 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyx

9、yxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy二、隱函數(shù)求導(dǎo)公式二、隱函數(shù)求導(dǎo)公式定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxp),(yxf;0),(00yxf則方程00),(xyxf在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxffxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxfy滿足條件導(dǎo)數(shù)000(

10、,)p xy0)(,(xfxf兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxfxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則若f( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxffxydd)(yxffy)(2yxyxyyyyxfffffff二階導(dǎo)數(shù) :)(yxffxxyxxydd則還可求隱函數(shù)的 例例6 6. 驗(yàn)證方程01esinyxyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: : 令, 1esin),(yxyyxfx;

11、0)0 , 0(f,eyfxx連續(xù) ;由定理可知,1)0 , 0(yf,0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyfy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求,eyfxxxyfy cos0ddxxy0 xffyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxfx2)cos( xy 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令x = 0 , 注意此時(shí)1,

12、0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)也可利用全微分求解也可利用全微分求解定理定理2 2 . .若函數(shù) ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程0),(zyxf在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足;0),(000zyxf,0),(000zyxfz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(,(yxfyxf兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)xfzxffxzzyffyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxfyxfz則zfxz00),(000zfzyx的某鄰域內(nèi)在例例7 7. 設(shè),04222zzyx解法解法1 1 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對(duì) x 求導(dǎo)解法