考研數(shù)學輔導3=多元函數(shù)微分學(下)

1、 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 20122012考研數(shù)學培訓考研數(shù)學培訓一、多元函數(shù)微分學中的基本概念及其聯(lián)系一、多元函數(shù)微分學中的基本概念及其聯(lián)系考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 基基本本題題型型二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導數(shù)與微分二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導數(shù)與微分三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號的復求帶抽象函數(shù)記號的復 合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)與導數(shù)與 全微分全微分五、復合函數(shù)求導法五、復合函數(shù)求導法變量替換下方程的變形變量替換

2、下方程的變形六、多元函數(shù)微分學的幾何應用六、多元函數(shù)微分學的幾何應用七、方向?qū)?shù)與梯度七、方向?qū)?shù)與梯度八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題重重難難點點鏈式圖法的解題步驟：鏈式圖法的解題步驟：(1)依據(jù)復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，畫出鏈式圖；依據(jù)復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，畫出鏈式圖；(2)依據(jù)鏈式原理：依據(jù)鏈式原理：“聯(lián)線相乘，分線相加聯(lián)線相乘，分線相加”，寫出，寫出 計算復合函數(shù)的計算復合函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)的鏈式公式；導數(shù)的鏈式公式；(3)計算結(jié)果。計算結(jié)果。.zzuyyyzvuv ,zzuxxxzvuv ( , ),( , ),( , )zf u v ux y vx y 由由 ( ,

3、 ), ( , )zfx yx y 而成的二元復合而成的二元復合函數(shù)函數(shù)的偏導數(shù)為：的偏導數(shù)為：復合復合鏈式法則鏈式法則考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分zuvxyxy聯(lián)線上聯(lián)線上，依次從左到右依次從左到右, ,左變量對右變量求導或偏導左變量對右變量求導或偏導求導求導還是偏導取決于右側(cè)變量的個數(shù)，個數(shù)超過還是偏導取決于右側(cè)變量的個數(shù)，個數(shù)超過1個就是求偏導。個就是求偏導。zuzvxuxv xz 分線相加分線相加畫畫鏈鏈式式圖圖聯(lián)線相乘聯(lián)線

4、相乘zu zv ux vx 寫出寫出( (偏偏) )導數(shù)導數(shù)公式并計算公式并計算“聯(lián)線相乘，分線相加聯(lián)線相乘，分線相加”畫鏈式圖畫鏈式圖( , ),( , ),( , )zf u vux yvx y 考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分1( , )uwfwf u vffuuu

5、記記為為對對的的偏偏導導數(shù)數(shù)間間變變中中或或量量或或?qū)τ诔橄蠛瘮?shù)：對于抽象函數(shù)：要注意函數(shù)到底是在對誰求要注意函數(shù)到底是在對誰求(偏偏)導，正導，正確使用確使用( (偏偏) )導數(shù)符號。導數(shù)符號。 ( , ),( , )wf u x yv x y 例如：復合函數(shù)例如：復合函數(shù) ( , ),( , ),wwwf u x yv x yxxyy 對對的的偏偏導導數(shù)數(shù)變變自自量量另外，另外，在求二階偏導時，在求二階偏導時， 仍然是中間變量仍然是中間變量u，v的函數(shù)，從而仍為自變量的函數(shù)，從而仍為自變量x，y的復合函數(shù)。的復合函數(shù)。uffu 或或考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選

6、講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20072007、二、二(13)(13)例例1 1三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20092009、三、三(17)(17)例例2 2三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20032003、四題、四題例例3 3三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)

7、求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)一：數(shù)一：20012001、四題、四題例例4 4三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20052005、二、二(11)(11)例例5 5三、復合函數(shù)求導法三、復合函數(shù)求導法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分考研數(shù)學考研

8、數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分對于一個方程的隱函數(shù)求導，解題方法有如下三種：對于一個方程的隱函數(shù)求導，解題方法有如下三種：（1）、直接法；）、直接法；（2）、公式法；）、公式法；（3）、利用一階全微分形式的不變性。）、利用一階全微分形式的不變性。一元函數(shù)一元函數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù)確定函數(shù)確定函數(shù)( , , )0f x y z ( , ) ,zzzf x yxy 與與求求從求導后的方程中解出從求導后的方程中解出zzxy 或或方程方程( (等式等式) )兩邊逐項對兩邊逐項對自

9、變量自變量x，y求偏導數(shù)求偏導數(shù)確定函數(shù)確定函數(shù)( ,)0f x y ( ) ,yyf xyx dd求求從求導后的方程中解出從求導后的方程中解出yyx dd方程方程( (等式等式) )兩邊逐項對兩邊逐項對自變量自變量x求導數(shù)求導數(shù)考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分直接法直接法確定函數(shù)確定函數(shù)( ,)0f x y ( ) ,yyf xyx dd求求確定函數(shù)確定函數(shù)( , )0f x y z ( , ) ,zzzf x yxy 與與求求fyxyfxy dd= -=

10、-fzxfxz - -fzyfyz - -公式法公式法考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20102010、一、一(5)(5)例例1 1四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)一：數(shù)一：19991999、三題、三題例例2 2四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求

11、導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20082008、三、三(16)(16)例例3 3四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)一：數(shù)一：20052005、二、二(10)(10)例例4 4四、復合函數(shù)求導法四、復合函數(shù)求導法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導數(shù)導數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 內(nèi)容提要內(nèi)容提要六、多元函數(shù)

12、微分學的幾何應用六、多元函數(shù)微分學的幾何應用考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 內(nèi)容提要內(nèi)容提要六、多元函數(shù)微分學的幾何應用六、多元函數(shù)微分學的幾何應用考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 內(nèi)容提要內(nèi)容提要七、方向?qū)?shù)與梯度七、方向?qū)?shù)與梯度1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)沿方向沿方向 l (方向角方向角 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxp),為的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxp),的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向沿方向 l (方向角為方向角為yfxfcossin 考研

13、數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 內(nèi)容提要內(nèi)容提要七、方向?qū)?shù)與梯度七、方向?qū)?shù)與梯度2. 梯度梯度 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxp處的梯度為處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxp處的梯度為處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學考題選講考題選講數(shù)二：數(shù)二：20102010、三、三(19)(19)例例五、復合函數(shù)求導法五、復合函數(shù)求導法變量替換下方程的變形變量替換下方程的變形考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極

14、值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、無條件極值）、無條件極值( )yf x 的極值存在的必要條件：的極值存在的必要條件：一元函數(shù)：一元函數(shù)：二元函數(shù)：二元函數(shù)：( (可導可導) )極值點必為駐點極值點必為駐點( )yf x 的極值存在的充分條件：的極值存在的充分條件： 二階導數(shù)小于零時極大二階導數(shù)小于零時極大二階導數(shù)大于零時極小二階導數(shù)大于零時極小( (必要條件必要條件) )如果如果z f(x,y)在點在點( (x0, y0) )處有處有極值極值，且兩個一階偏導數(shù)存在且兩個一階偏導數(shù)存在，則它在該點的偏導數(shù)必為零則它在該點的偏導數(shù)必為零，0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy

15、即即駐點可能是極值點，駐點可能是極值點，可能是偏導數(shù)不存在的點。可能是偏導數(shù)不存在的點。使一階偏導數(shù)為零使一階偏導數(shù)為零的點稱為駐點的點稱為駐點極值點未必是駐點，極值點未必是駐點，考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、無條件極值）、無條件極值( (充分條件充分條件) )時時, 具有極值具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 令令則則: 1) 當當a0 時取極小值時取極小值.2) 當當3) 當當時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另

16、行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyafxybfxycfxy02 bac02 bac02 bac且且計算二元函數(shù)極值的步驟：計算二元函數(shù)極值的步驟：得到判別函數(shù)得到判別函數(shù)2acb 。第二步：計算二階偏導數(shù)第二步：計算二階偏導數(shù)( , ),( , ),( , );x xx yy yfx yfx yfx y第三步：對每個駐點第三步：對每個駐點 (x0, y0) ，考查，考查 ac-b2 的符號，判定的符號，判定f(x0, y0)是否為極值；再根據(jù)是否為極值；再根據(jù) 的符號判別是極大的符

17、號判別是極大值還是極小值。值還是極小值。00(,)x xfxy 第一步：解第一步：解方程組方程組( , )0,( , )0 xyfx yfx y 求得一切實數(shù)解，即求得一切實數(shù)解，即 可得一切駐點。可得一切駐點。 考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、無條件極值）、無條件極值考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、條件極值）、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法設(shè)設(shè)解方程組解方程組可得到條件極值的可疑點可得到條

18、件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxff021xxxxff021yyyyff021zzzzff01f01f考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、最值）、最值二元函數(shù)最值實際應用問題的解題步驟：二元函數(shù)最值實際應用問題的解題步驟：（1 1）根據(jù)題意，列出目標函數(shù)的解析式；）根據(jù)題意，列出目標函數(shù)的解析式；（3 3）判斷該駐點即為所求的最值點）判斷該駐點即為所求的最值點( (因為由

19、問題的實際因為由問題的實際 意義可知，最值點必然存在，同時駐點是唯一的，意義可知，最值點必然存在，同時駐點是唯一的， 故該駐點即為最值點）；故該駐點即為最值點）；（4 4）算出目標函數(shù)的最值。算出目標函數(shù)的最值。（2 2）令目標函數(shù)的兩個偏導數(shù)為零得方程組，從而解得）令目標函數(shù)的兩個偏導數(shù)為零得方程組，從而解得 目標函數(shù)的駐點目標函數(shù)的駐點( (通常為唯一駐點）通常為唯一駐點）；注：注：如果所求的目標函數(shù)的變量范圍包含區(qū)域如果所求的目標函數(shù)的變量范圍包含區(qū)域邊界邊界，則，則需要分區(qū)域內(nèi)部和邊界兩方面來討論。內(nèi)部就是通常的需要分區(qū)域內(nèi)部和邊界兩方面來討論。內(nèi)部就是通常的極值，而極值，而邊界邊界則

20、通常需要用則通常需要用條件極值條件極值來處理。來處理?？佳袛?shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20032003、一、一(2)(2)例例1 1八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題基本題目基本題目數(shù)三：數(shù)三：20092009、三、三(15)(15)極值：極值：數(shù)三：數(shù)三：20102010、三、三(17)(17)條件極值：條件極值：考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20092009、一、一(3)(3)例例2 2八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題考研數(shù)學考研數(shù)學多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20112011、一、一(5)(5)例例3 3八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極