7[1]4多元復合函數(shù)的求導法則

1、2021年11月13日星期六(共18頁)1第四節(jié)第四節(jié)一元復合函數(shù)一元復合函數(shù))(),(xuufy求導法則求導法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復合函數(shù)求導法則一、多元復合函數(shù)求導法則二、全微分的形式不變性二、全微分的形式不變性xxufuufyd)()(d)(d微分法則微分法則多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 2021年11月13日星期六(共18頁)2)(),(ttfz一、多元復合函數(shù)求導法則一、多元復合函數(shù)求導法則(三種情形三種情形)定理定理. 若函數(shù)若函數(shù),)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續(xù)處偏導連續(xù), ),(vu在點在點在點 t 可導

2、可導, tvvztuuztzddddddz則復合函數(shù)則復合函數(shù)證證: 設設 t 取增量取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應中間變量則相應中間變量且有鏈式法則且有鏈式法則vutt有增量有增量u ,v ,2021年11月13日星期六(共18頁)3,0t令,0,0vu則有to)( 全導數(shù)公式全導數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時時, ,根式前加根式前加“”號號) )tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd2021年11月13日星期六(共18頁)4推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形中間變量多

3、于兩個的情形. 例如例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微設下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu2021年11月13日星期六(共18頁)5又如又如,),(, ),(yxvvxfz當它們都具有可微條件時當它們都具有可微條件時, 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里這里xzxfxz表示固

4、定表示固定 y 對對 x 求導求導,xf表示固定表示固定 v 對對 x 求導求導口訣口訣 : 分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 單路全導單路全導, 叉路偏導叉路偏導xfxvvfyvvf與與不同不同,v2021年11月13日星期六(共18頁)6例例1. 設設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx2021年11月13日星期六(共18頁)7例例2. 設設 ,sintvuz.ddtzztvutttzdd

5、tevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導數(shù)求全導數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos2021年11月13日星期六(共18頁)8為簡便起見為簡便起見 , 引入記號引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例3. 設設 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff2

6、021年11月13日星期六(共18頁)9二、全微分的形式不變性二、全微分的形式不變性設函數(shù)設函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復合函數(shù)則復合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表達其全微分表達 形式都一樣形式都一樣, 這性質(zhì)叫做這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.2021年11月13日星期六(共18頁)10 )co

7、s( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 4. 利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例1. 解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy2021年11月13日星期六(共18頁)11內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段用乘分

8、段用乘, 分叉用加分叉用加, 單路全導單路全導, 叉路偏導叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性全微分形式不變性, ),(vufz 對不論不論 u , v 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d2021年11月13日星期六(共18頁)12思考與練習思考與練習1 1：分析分析：2021年11月13日星期六(共18頁)132 2：分析：分析：2021年11月13日星期六(共18頁)143:3:分析分析: :.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連

9、續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)設設)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 2021年11月13日星期六(共18頁)15xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 3:3:.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)設設. .分析分析: :2021年11月13日星期六(共18頁)164:4: ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求求.1)(dd3xxx),(yxfz 在點在點)1 , 1(處可微處可微 , 且且設函數(shù)設函數(shù),3) 1 , 1 (yf分