工程數(shù)學級數(shù)42

1、1 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域d上的復變函數(shù)上的復變函數(shù) 序列，則稱表達式序列，則稱表達式4.2 復變函數(shù)項級數(shù)定義定義 4.2.1 4.2.1 復變函數(shù)項級數(shù)復變函數(shù)項級數(shù)設設( ),(0,1,2,.)nfzn 0120( )( )( )( )( )nnnfzfzf zfzfz為復變函數(shù)項級數(shù)（簡稱復函數(shù)項級數(shù)）為復變函數(shù)項級數(shù)（簡稱復函數(shù)項級數(shù)）.該級數(shù)前該級數(shù)前n項和項和0( )( )nnkkszfz稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和.20z00()nnfz0z0( )nnfz0( )nnfz00()nnfz0z0( )nnfz定義定義4.2.24.2.2 如果對于如果對于d d內(nèi)某點內(nèi)某點

2、，數(shù)項級數(shù)，數(shù)項級數(shù)收斂，收斂，則稱則稱 點為點為 的一個收斂點，若級數(shù)在區(qū)域的一個收斂點，若級數(shù)在區(qū)域d d內(nèi)的內(nèi)的 每一點都收斂，則稱該級數(shù)在每一點都收斂，則稱該級數(shù)在d d內(nèi)收斂內(nèi)收斂; ;收斂點的集合稱為收斂點的集合稱為 的收斂域的收斂域. . 若級數(shù)若級數(shù)發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱 點為級數(shù)的發(fā)散點，點為級數(shù)的發(fā)散點，發(fā)散點的集合稱為發(fā)散點的集合稱為的發(fā)散域的發(fā)散域. .34冪級數(shù)概念冪級數(shù)概念50zzt0nnnc t如果令如果令，那么，那么(4.3.1)成為成為，這即為，這即為(4.3.2)(4.3.2)的形式的形式. . 為了方便，今后為了方便，今后就以就以(4.3.2)(4.3.2)

3、函數(shù)項級數(shù)來進行討論函數(shù)項級數(shù)來進行討論. .670nnc zm0zz0|1|zqz00nnnnnnzc zc zmqz因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)m，使對所有的，使對所有的n有有如果如果，那么，那么，而，而820120nnnnnc zcc zc zc z0nnnc z從而根據(jù)正項級數(shù)的比較法知從而根據(jù)正項級數(shù)的比較法知 收斂，故級數(shù)收斂，故級數(shù)是絕對收斂的是絕對收斂的.9另一部分命題用反證法證明另一部分命題用反證法證明.1011(2) (2) 對所有的正實數(shù)除對所有的正實數(shù)除0z 外都是發(fā)散的外都是發(fā)散的. . 這時，級數(shù)在復平面內(nèi)這時，級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散；除原點外處處發(fā)散；(1)(

4、1)對所有的正實數(shù)都是收斂的對所有的正實數(shù)都是收斂的. . 這時，這時， 根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面 內(nèi)處處絕對收斂；內(nèi)處處絕對收斂；12zzcc (3) 既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)，也存在使級既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)，也存在使級 數(shù)發(fā)散的正實數(shù)數(shù)發(fā)散的正實數(shù). 設設(正實數(shù)正實數(shù))時級數(shù)收斂，時級數(shù)收斂，(正實數(shù)正實數(shù))時級數(shù)發(fā)散，那么在以原點為中心，時級數(shù)發(fā)散，那么在以原點為中心，為半徑的圓周為半徑的圓周內(nèi)，級數(shù)絕對收斂；內(nèi)，級數(shù)絕對收斂；為半徑的圓周為半徑的圓周外，級數(shù)發(fā)散外，級數(shù)發(fā)散. 顯然只能顯然只能， 否則級數(shù)必發(fā)散，如圖否則級數(shù)必發(fā)散，如圖4.1

5、所示。所示。在以原點為中心在以原點為中心,13 c rc c 圖 4.1 r x y 14定義定義4.3.2 4.3.2 收斂圓收斂圓 收斂半徑收斂半徑154.3.3 收斂半徑的求法收斂半徑的求法對于冪級數(shù)，我們主要關心的是它的收斂對于冪級數(shù)，我們主要關心的是它的收斂問題，即收斂域是怎樣的以及如何求收斂問題，即收斂域是怎樣的以及如何求收斂域域. 下面我們借助正項級數(shù)的比值法來討下面我們借助正項級數(shù)的比值法來討論這個問題論這個問題.16證明:111limlimnnnnnnnnczczzcc z由于1,z故知當時0.nnczn收斂nz+nn=01知級數(shù)c在圓z =內(nèi)收斂01,.nnnzc z再證當

6、時 級數(shù)發(fā)散170001,.nnnzzc z假設在圓外有一點使級數(shù)收斂110,zzz在圓外再取一點使,那么根據(jù)阿貝爾定理10nnncz級數(shù)必收斂.1111111,lim1nnnnnczzzcz然而所以1,nz+nn=01這根c收斂相矛盾 即在圓周z =外有1800,.nzz+nn=0一點使級數(shù)c收斂的假定不能成立.nz+nn=01因而c在圓z =外發(fā)散.1從而知收斂半徑r=192021在收斂圓上，由于在收斂圓上，由于33111nnnznn收斂，所以原級數(shù)在收斂圓上處處收斂收斂，所以原級數(shù)在收斂圓上處處收斂. .220z 1( 1)nnn2z 11nn當當時，級數(shù)為時，級數(shù)為， 它是交錯級數(shù)，根

7、它是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂；當據(jù)萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂；當時，級數(shù)為時，級數(shù)為，它是調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散，它是調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散. .23定理定理 4.3.3 冪級數(shù)的性質冪級數(shù)的性質：0001 12200( ) ( )()() () ( )nnnnnnnnnnnnf z g za zb za bababa b zzrf(z),除法看做乘法的逆運算g(z)24更為重要的是代換(復合)運算.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfrzrzgzgrzzazfrz時則當解析且滿足內(nèi)又設在時如果當這個代換運算, 在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時, 有著廣泛的應用.2511

8、11()()1zazbzabababa收斂半徑為r=|b-a|解 把函數(shù)bz 1寫成如下形式:2231()()()()()()nnzazazababababa26oxyab當|za|ba|=r時級數(shù)收斂272801nnnnaza111111limlim1(1)1nnnnnnnnaaaraaaaa但級數(shù)但級數(shù)的收斂半徑的收斂半徑29000111nnnnnnnnnazzzaa1z 但應注意，使等式但應注意，使等式成立的收斂圓域仍應為成立的收斂圓域仍應為，不能擴大，不能擴大.301100000() () (),nnnnnnnnnczzczznc zz100000000() d() d()1zznnnnnnnnncczzzczzzzzn(ii)冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)可逐項求導或逐項積分，即冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)可逐項求導或逐項積分，即 且逐項求導或逐項積分后的新級數(shù)與原級數(shù)且逐項求導或