高一數(shù)學(xué)必修一、必修二知識(shí)點(diǎn)整合

1、必修一第一章 集合與函數(shù)概念1.1集合的含義與表示集合元素的三大特征：確定性、互異性、無(wú)序性。通常，集合用大寫(xiě)字母表示，集合元素用小寫(xiě)字母表示。 如果是集合A的元素，就說(shuō)屬于集合A，記作。 如果不是集合A的元素，就說(shuō)不屬于集合A，記作。非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集） N 整數(shù)集 N*或N+整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實(shí)數(shù)集 R集合的兩種表示方式：列舉法，描述法。1.2集合間的基本關(guān)系一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集。記作： 讀作：A含于B(或B包含A)。 如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同，那么我們稱這兩個(gè)集合相等。Ve

2、nn圖法表示集合?？占亩x：不含任何元素的集合稱為空集?？占男再|(zhì)：空集是一切集合的子集?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?。子集的定義：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，若然任何屬于A的元素也屬于B，我們就說(shuō)A是B的子集。真子集的定義：如果A是B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。1.3集合的基本運(yùn)算交集、并集、全集、補(bǔ)集。一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集。記作：AB。 讀作：A交B。其含義用符號(hào)表示為： A B用Venn圖表示如下：般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。 記作：AB. 讀作：A并B.其

3、含義用符號(hào)表示為：A B用Venn圖表示如下：補(bǔ)集：一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)真子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在S中的補(bǔ)集記作sA. 讀作A在S中的補(bǔ)集。1.4函數(shù)的概念（1）設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作：y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意： “y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(

4、x)”； 函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x（2） 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系。（3）區(qū)間的概念區(qū)間的分類：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；無(wú)窮區(qū)間；區(qū)間的數(shù)軸表示（4） 求函數(shù)定義域的方法：1）如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R .2）如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合 .3）如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合.4）如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合.（即求各集合的交集） 5）滿足實(shí)際問(wèn)題有意義.

5、1.5函數(shù)的表示法函數(shù)的三種常用表示法：解析法、列表法、圖像法解析式的特點(diǎn)為：函數(shù)關(guān)系清楚，容易從自變量的值求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，還有利于我們求函數(shù)的值域。列表法的特點(diǎn)為：不通過(guò)計(jì)算就知道自變量取某些值時(shí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。圖像法的特點(diǎn)是：能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況。注意：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等。解析法：必須注明函數(shù)的定義域。圖象法：是否連線。列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征。1.6映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之

6、對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“：AB”。說(shuō)明：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用多種形式表述（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思1.7函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1

7、，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。注意：1） 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。2）必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2) 。函數(shù)單調(diào)性的定義：如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟： 任取x1，x2D，且x1<x2。 作差f(x1)f(x2)。 變形（通常是因式分解和配方）。 定號(hào)（即判斷差f(x1)f(x2)

8、的正負(fù)）。 下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。1.8函數(shù)的最大最小值(1) 最大（?。┲刀x：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：1）對(duì)于任意的，都有f(x)<=(>=)M； 2）存在，使得那么，稱M是函數(shù)的最大值。(2) 利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)判斷函數(shù)最大（?。┲档姆椒āＥ浞椒?換元法 數(shù)形結(jié)合法1.9函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)的定義域的任意一個(gè)，都有，那么就叫做奇函數(shù)注意：1）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。2）由函數(shù)的奇偶

9、性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，則也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。3）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致。第2章 基本初等函數(shù)2.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算n次方根：一般地，若，則x叫做a的n次方根，其中n 1，且n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根中，正數(shù)用表示，如果是負(fù)數(shù)，用表示，叫做根式.n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)表示，其中n稱為根指數(shù)，a為被開(kāi)方數(shù)。零的n次方根為零，記為正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為：正數(shù)的定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)冪的意義相同.

10、即：規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義.說(shuō)明：規(guī)定好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是可以互換的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫(xiě)法，而不是由于整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：（1）（2）（3）一般來(lái)說(shuō)，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.無(wú)理指數(shù)冪的意義，是用有理指數(shù)冪的不足近似值和過(guò)剩近似值無(wú)限地逼近以確定大小.四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)的。整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序

11、。2.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)（0且1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽。從圖上看（1）與（01）兩函數(shù)圖象的特征。 指數(shù)函數(shù)（0且1），當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，函數(shù)圖象間有什么樣的關(guān)系.圖象特征函數(shù)性質(zhì)101101向軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）=1自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于10，10，1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于10，10，1利用函數(shù)的單調(diào)性，

12、結(jié)合圖象還可以看出：（1）在（0且1）值域是（2）若 （3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)（0且1），總有（4）當(dāng)1時(shí)，若，則。2.3對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的定義：一般地，若，那么數(shù)叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。在對(duì)數(shù)的概念中，要注意：（1）底數(shù)的限制0，且1 （2）指數(shù)式對(duì)數(shù)式 冪底數(shù)對(duì)數(shù)底數(shù)指 數(shù)對(duì)數(shù) 冪 N真數(shù)說(shuō)明：對(duì)數(shù)式可看作一記號(hào)，表示底為（0，且1），冪為N的指數(shù)工表示方程（0，且1）的解。也可以看作一種運(yùn)算，即已知底為（0，且1）冪為N，求冪指數(shù)的運(yùn)算. 因此，對(duì)數(shù)式又可看冪運(yùn)算的逆運(yùn)算。兩類對(duì)數(shù)： 以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，常記為. 以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)

13、數(shù)，常記為.以后解題時(shí)，在沒(méi)有指出對(duì)數(shù)的底的情況下，都是指常用對(duì)數(shù)，如100的對(duì)數(shù)等于2，即.2.4對(duì)數(shù)及其性質(zhì)1的對(duì)數(shù)是零，負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的性質(zhì) 0且1 如果0且1，M0，N0，那么：（1）（2）（3）換底公式：0，且1，0，且1，0一般地，我們把函數(shù)（0且1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：圖象的特征函數(shù)的性質(zhì)（1）圖象都在軸的右邊（1）定義域是（0，+）（2）函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)（1，0）點(diǎn)（2）1的對(duì)數(shù)是0（3）從左往右看，當(dāng)1時(shí)，圖象逐漸上升，當(dāng)01時(shí)，圖象逐漸下降 .（3）當(dāng)1時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)01時(shí)，是減函數(shù).（4）當(dāng)1時(shí)，函數(shù)圖象在（1，0）

14、點(diǎn)右邊的縱坐標(biāo)都大于0，在（1，0）點(diǎn)左邊的縱坐標(biāo)都小于0. 當(dāng)01時(shí)，圖象正好相反，在（1，0）點(diǎn)右邊的縱坐標(biāo)都小于0，在（1，0）點(diǎn)左邊的縱坐標(biāo)都大于0 .（4）當(dāng)1時(shí) 1，則0 01，0當(dāng)01時(shí) 1，則0 01，0101圖象性質(zhì)（1）定義域（0，+）；（2）值域R；（3）過(guò)點(diǎn)（1，0），即當(dāng)=1，=0；（4）在（0，+）上是增函數(shù)在（0，+）是上減函數(shù)反函數(shù)：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個(gè)函數(shù)為反函數(shù).同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。2.5冪函數(shù)一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變

15、量，是常數(shù).如等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限單調(diào)增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減定點(diǎn)（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）冪函數(shù)性質(zhì) （1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）（原因：）。 （2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn)，并且在0，+上，是增函數(shù)（從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）。 特別地，當(dāng)1，1時(shí)，（0，1），的圖象都在圖象的下方，形狀向下凸越大，下凸的程度越大。 當(dāng)1時(shí)，（0，1），的圖象都在的圖象上方，形狀向上凸，越小，上

16、凸的程度越大。 （3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)。 在第一象限內(nèi)，當(dāng)向原點(diǎn)靠近時(shí)，圖象在軸的右方無(wú)限逼近軸正半軸，當(dāng)慢慢地變大時(shí)，圖象在軸上方并無(wú)限逼近軸的正半軸。第3章 函數(shù)的應(yīng)用3.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)的零點(diǎn)：（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根。（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù) （1） ，方程有兩不等實(shí)根，

17、二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（2） ，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)（3），方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)3.2用二分法求函數(shù)的近似解二分法，又稱分半法，是一種方程式根的近似值求法。對(duì)于區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a) ·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。注意事項(xiàng)：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看。同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間。周而復(fù)始怎么辦?？精確度上來(lái)判斷。3.3

18、幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型在區(qū)間（0，+）上，盡管函數(shù)（1），（1）和（0）都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上。隨著x的增大，（1）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于（0）的增長(zhǎng)速度，而（1）得增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢。因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有<<。3.4函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬現(xiàn)實(shí)的一種模型，它把實(shí)際問(wèn)題中某些事物的主要特征和關(guān)系抽象出來(lái)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，這一過(guò)程稱為建模，是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)模型可采用各種形式，如方程（組），函數(shù)解析式，圖形與網(wǎng)絡(luò)等。利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法；（1）根

19、據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系；（2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型；（3）對(duì)所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)；（4）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?必修二第一章 直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下

20、面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。

21、一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過(guò)定點(diǎn)的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)；（）過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)

22、，則 （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。第二章 圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。

23、3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。 (3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關(guān)系

24、：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。第三章 立體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等

25、。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四

26、棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。（7）球體：定義：

27、以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與

28、體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線） （3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： A.描述性說(shuō)明； B.平面是無(wú)限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：Al； 點(diǎn)A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面內(nèi)，記作l；直線l不在平面內(nèi)，記作

29、l。（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：（3）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面和相交，交線是a，記作a。符號(hào)語(yǔ)言：公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面

30、公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明：

31、（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：a aA a（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)；相交有一條公共直線。b5、空間中的平行問(wèn)題（1）直線與平面平行的

32、判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行），（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。（線線平行面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（

33、面面平行線面平行）（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）7、空間中的垂直問(wèn)題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平