高三年導數(shù)的運用及解答（學生自主學習版塊）

1、1.某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成 一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)，已知ab丄bc, oabc, r. ab=bc=2ao=4km,曲線段oc是以點o為頂點且開口向右的拋物線的一段。如果要使矩形的相鄰 兩邊分別落在ab、bc上，口一個頂點落在曲線段oc上， 問應如何規(guī)劃才能矩形工業(yè)園區(qū)的用地而積最大？ 并求岀最大的用地面積(精確到0.1km2)o 試題亮點:本小題主要考查運用數(shù)學知識解決實際 問題的能力，并在建立數(shù)學模型和解題過程中， 考查導數(shù)知識和運算能力。 解題方法:以o為原點，oa所在直線為y軸 建立直角坐標系如圖所示，依題意可設拋物線 方程為 y2 = 2px

2、(p > 0),且 c (4, 2) 22 = 2p4,.p = 故曲線段oc的方程為 b jx(o <x<4) 設p(x,v)(0<x<4)是曲線段oc上的任意一點. 則在矩形 pqbn 中，| p0 |= 2 + 頁,| p/v |= 4 - x. 工業(yè)園區(qū)面積 5=| pqpn |=(2 + 頁)(4 一 x) =71-11/.5r = -x2 一2 + 2兀 2,令s' = 0得：3* +4-4%2 i丄1即3兀+ 40 - 4 = 0,(3x2 -2)(x2 +2) = 0,/4當x g (0,-m5z> 0*是%的增函數(shù).4 當兀e (-

3、,4)時,s' <的減函數(shù).4919,-pn = 4 - x =，s = x =« 9.5.93927. x = 0時，s = 8,/. s u 9.5km2.77max答：把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為+ km,寬為牛km的矩形時，工業(yè)園區(qū)的而積最 大，最大面積約為9.5km2.0-2x + 4x2 +&0,4.x = 9兀=2時,s取到極大值，此時i2 +仮=c32c “ s3解法二由解法一得：曲線段oc的方程y = (o<x<4). 設p(b,y)(o < y < 2)是曲線段0c上的任意一點，則在矩形pqbn中，| pq匸2 +兒| pw

4、|= 4 y 2.工業(yè)園區(qū)面積 s=| pq-pn= (2+ y)(4-y2) =- 2y2 + 4y + 8,2s，= _3y24y + 4,令 s'o 得” =-,y2 =-2.23-0<y<2,:.y = -.當y e(0,2)時$0, s是關于y的增函數(shù)；2 3當y e (亍2)時$ <0,s是關于y的減函數(shù);oqy =屮寸,s取到極大值，此時| pq |= 2 + y =亍 ,da7, .2 32 c 8 32 256 nc 3pn =4 - y s = x=u 9.5.93 927v y = oht, s = & . smax 9.5km1答:把工

5、業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為22 km,寬為§km的矩形時，工業(yè)園區(qū)的面93積最大，最大面枳約為9.5km2.2.求函數(shù)f= ln(l + x)-a 在o, 2上的最大值和最小值.4試題亮點:本小題考查函數(shù)的最值問題。本題是典型的用導數(shù)法求函數(shù)的最值，問題基本思路：求廣；令廣(x)= 0,解得極值點；討論在極值點兩側(cè)廣(兀)值的正 負情況，帶3>0,則f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)廣(x) <0,/(x)在此區(qū)間為減 函數(shù)，再由單調(diào)性判斷極大(小)值；求兩個區(qū)間端點所對應的函數(shù)值，與 極值加以比較，最大的是函數(shù)f(x)的最大值，最小為函數(shù)f(x)的最小值。璧空空y 3 =_ 一丄兀令_ 一

6、丄兀=0,化簡為兀2 + 2 = o.解得1 + x 2 x +12兀=一 2(舍去)，兀2 = 1.當0 s < 1時，廣> 0,/(x)單調(diào)增加；當1 v m 2時，廣(兀)< 0,/(x)單調(diào)減少.所以幾1) = in 2 -丄為函數(shù)f (兀)的極大值.4乂因為于(0) = 0,/(2) = ln3-l>0,/(l) > /(2).所以/(0) = 0為兩數(shù)/在0,2上的最小值j(l) = ln2-丄為兩數(shù)/在0,2上*4的最人值.3.已知函數(shù)f(x) = ax3+bx2-3xex = ±l處取得極值.討論/和/(-1)是函數(shù)/©)的極大

7、值述是極小值；過點a (0, 16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程.試題亮點:木小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì) 和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力.利用導數(shù)知識解決此類問題.解題方法:(1) / '(x)= 3ax2 + 2hx - 3,依題意，廣二廣(-1) = 0即嚴+ 2-3二03。一2 方一3 = 0解得 a=l,b=0. / /(x) = x3 -3x ,/'(兀)=3兀2_3 = 3(兀 + 1)(兀_1).令廠(工)=0，得x=_l或x=l若 w(8, _l)u(l,+ 8)則 ff(x) > 0 ,故f(x)在(一8, 1)上是增函數(shù)，f(x)在(1, +oo)上是增函數(shù)，若 xw(1,1),則廣(x)vo ,故f(x)在(-1,1)上是減函數(shù)，所以，f(-l)=2是極大值；f(l)=-2是極小值。(2)曲線方程為歹=才一3兀，點a (0, 16)不在曲線上。設切點m(x0,y0),則點m的坐標滿足兒=兀o' -3勺。因/r(x0) = 3(x02-l),故切線的方程為y-兒=3(%02 一