中小學統(tǒng)計及其課程教學設計(1)

1、  中小學統(tǒng)計及其課程教學設計(1)   摘要：統(tǒng)計已經(jīng)成為當今中小學數(shù)學課程的核心內(nèi)容之一。統(tǒng)計學的研究基礎是數(shù)據(jù)，依據(jù)數(shù)據(jù)進行分析和推斷。統(tǒng)計教育價值的核心在于逐步養(yǎng)成尊重事實、通過數(shù)據(jù)來分析問題的習慣，培養(yǎng)理解和把握隨機現(xiàn)象的能力。中小學統(tǒng)計課程設計、教學設計的主線應該是，體現(xiàn)從收集數(shù)據(jù)到統(tǒng)計推斷的全過程，建立統(tǒng)計直觀。關鍵詞：中小學統(tǒng)計；課程設計；教育價值；教學 當今中小學數(shù)學增加了統(tǒng)計學和概率論的內(nèi)容，這些內(nèi)容是一種“不確定性數(shù)學”內(nèi)容，與傳統(tǒng)的“確定性數(shù)學”內(nèi)容有較大區(qū)別。這使得數(shù)學教育工作者以及在教學一線的廣大教師普遍感到不適應。

2、統(tǒng)計的基本思想方法是什么？解決統(tǒng)計問題的基本途徑是什么？中小學統(tǒng)計課程、教學中應當突出的重點是什么？中小學統(tǒng)計的教育價值是什么？帶著這些迷茫和困惑，我們進行了較長時間的專題訪談和深入研討。訪談對象：史寧中教授（以下簡稱史教授）。訪談形式：專題訪談，三人對話以及多人參加的討論班式的訪談；輔以資料查詢。一、統(tǒng)計及其基本思想與方法（一）什么是統(tǒng)計學問：一般認為，“統(tǒng)計學”這個詞源于拉丁語的“國情學”，原是國家管理人員感興趣的事情。大不列顛百科全書對統(tǒng)計學下的定義是：“統(tǒng)計學是關于收集和分析數(shù)據(jù)的科學和藝術?！标愊Ｈ嬖菏空J為：“統(tǒng)計學是有關收集和分析帶有隨機性誤差的數(shù)據(jù)的科學和藝術?！笔穼幹薪淌?，作為

3、統(tǒng)計學家，您是如何認識統(tǒng)計學的？ 史教授：我們先來簡單地回顧統(tǒng)計學的歷史是有益處的。正如拉丁語所說，統(tǒng)計原本就是收集和分析國家管理中需要的各種數(shù)據(jù)，比如國民收入、各種稅收。為了直觀，人們才發(fā)明了各種報表、直方圖、扇形圖等等?？梢钥吹?，這種傳統(tǒng)意義上的統(tǒng)計學現(xiàn)在仍然是非常重要的，這也是我們現(xiàn)在小學統(tǒng)計教學中的主要內(nèi)容之一。后來到了14世紀左右，隨著航海業(yè)在歐洲興起，航海保險業(yè)開始出現(xiàn)。為了合理地確定保險金與賠償金，需要了解不同季節(jié)、不同路線航海出現(xiàn)事故的可能性的大小，需要收集相關的數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)進行分析和判斷，這被稱為是近代統(tǒng)計學的發(fā)端。到了19世紀末、20世紀初，人們把數(shù)學、特別是概率論的有關

4、知識引入到統(tǒng)計學，構建了統(tǒng)計學的基礎。與古典統(tǒng)計學相比，雖然二者都是對于數(shù)據(jù)的收集和分析，但是卻有本質(zhì)的不同，因為后者進行分析的基礎是“不確定性”，我們稱之為“隨機”。到了現(xiàn)代，人們發(fā)現(xiàn)，對于大量數(shù)據(jù)的分析，采用隨機的方法不僅方便而且準確。比如，對于國民收入，我們可以動用大量的人力來收集數(shù)據(jù)，但是誰都知道這樣的數(shù)據(jù)不可能是準確的，遠不如我們依據(jù)某種原則劃分出地區(qū)和人群，然后抽樣、加權求和準確。再比如，對于股票市場，一天交易之后，可以得到精確的交易總量，但是人們寧可用部分核心企業(yè)的股票交易量來反映股票的變化，這便是“恒生指數(shù)”“上證指數(shù)”等等。特別是到了21世紀，銀行、保險、電信，以及材料科學、

5、基因組學等新興學科的實驗中涉及大量數(shù)據(jù)，其分析更需要借助隨機方法了。我想，大概就是因為這些原因，國家才決定在現(xiàn)在中小學數(shù)學的教學中加入統(tǒng)計學的內(nèi)容。因此，你們談到的關于統(tǒng)計學的定義都是可以的。但是，要把握統(tǒng)計學的根本思想方法卻是非常困難的。問：那么，您認為統(tǒng)計學的基本思想方法是什么呢？ 史教授：這是一個不容易回答的問題。對于統(tǒng)計學的掌握很大程度上依賴于“感悟”，需要較長時間的理解與實踐。我們先來回顧一下中小學傳統(tǒng)數(shù)學的教學內(nèi)容。這些內(nèi)容主要是對日常生活中見到的圖形和數(shù)量的抽象，研究的問題是圖形的變化與計算法則，研究的基礎是定義和假設，研究的方法主要是歸納、遞歸、類比和演繹推理。統(tǒng)計學則不同。如

6、我上面談到的，統(tǒng)計學是通過數(shù)據(jù)來進行分析和推斷的。因此，統(tǒng)計研究的基礎是數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)的特點是，對于每一個數(shù)據(jù)而言，都具有不確定性，我們需要抽取一定數(shù)量的數(shù)據(jù)，才可能從中獲取信息。因此，統(tǒng)計學的研究依賴于對數(shù)的感悟，甚至是對一堆看似雜亂無章的數(shù)的感悟。通過對數(shù)據(jù)的歸納整理、分析判斷，可以發(fā)現(xiàn)其中隱藏的規(guī)律。因為可以用各種方法對數(shù)據(jù)進行歸納整理、分析判斷，所以，得到的結論也可能是不同的。而且，我們很難說哪一種方法是對的，哪一種方法是錯的，我們只能說，能夠更客觀地反映實際背景的方法要更好一些。比如，我們希望知道某公司員工的收入情況，可以用平均數(shù)也可以用中位數(shù)，很難說哪個方法對哪個方法錯。事實上，如

7、果收入比較均衡，用平均數(shù)要好一些；如果收入比較極端，用中位數(shù)要好一些。當然，最好的方法是對收入情況進行分類，但是分類的方法又有好壞之分。我們可以看到，統(tǒng)計學關心更多的是好與不好，而中小學傳統(tǒng)數(shù)學關心更多的是對與錯。因此，統(tǒng)計學的基本思路是，根據(jù)所關心的問題尋求好的方法，對數(shù)據(jù)進行分析和判斷，得到必要的信息去解釋實際背景。（二）統(tǒng)計學的研究對象問：我們對于統(tǒng)計學有了一定的了解。從您的談話中我們感覺到，統(tǒng)計學似乎是包羅萬象的。那么，統(tǒng)計學到底研究什么呢？ 史教授：是這樣的，統(tǒng)計學的應用面非常廣，凡是涉及數(shù)據(jù)分析的都可以成為統(tǒng)計學的研究領域。特別是到了近代，人們希望更加精細地了解實際背景，更多地借助

8、數(shù)據(jù)分析，甚至人文科學也是如此，并且逐漸形成了專業(yè)的研究領域，比如計量經(jīng)濟學、計量社會學、計量教育學、計量心理學等等。這些研究領域分析方法的基礎大體是統(tǒng)計學。統(tǒng)計學并不研究某一個領域的具體內(nèi)容，在本質(zhì)上只是研究數(shù)據(jù)分析的方法，這包括創(chuàng)造新的方法，也包括分析方法的好壞、分析方法的適用條件。問：你能否結合中小學統(tǒng)計的內(nèi)容談得更具體一些？特別是，在統(tǒng)計教學過程中，應當把握的基本原則是什么呢？ 史教授：可以。在統(tǒng)計研究中首先遇到的問題是如何獲取“好”的數(shù)據(jù)。所謂“好”的數(shù)據(jù)是指那些能夠更加客觀地反映實際背景的數(shù)據(jù)，而要獲取得好的數(shù)據(jù)則要依賴于“好”的方法。根據(jù)數(shù)據(jù)的不同，方法主要分兩大類，一是通過調(diào)查

9、收集數(shù)據(jù)，二是通過實驗制造數(shù)據(jù)。中小學統(tǒng)計教學中涉及的主要是前者，稱為抽樣調(diào)查（而后者通常被稱為實驗設計）。抽樣調(diào)查又包含兩個方面，一個是對已經(jīng)存在的數(shù)據(jù)的收集，稱之為抽樣，比如市場的物價、學生的身高、企業(yè)的產(chǎn)值等等；另一個是需要我們了解才能夠獲取的，稱之為調(diào)查，比如美國總統(tǒng)的民意支持率、人們?nèi)粘ＯM的主要項目、中小學生喜歡的歌手等等。根據(jù)問題的不同，所要采用的方法也可能不同，但是要建立兩個基本原則。第一個基本原則是，采用能夠獲取“好”的數(shù)據(jù)的方法。為了獲取好的數(shù)據(jù)，我們需要盡可能多地利用對于實際背景已有的先驗知識。比如，希望知道學生的身高，先驗知識是“年齡之間差別很大”。因此，最好是根據(jù)年齡

10、段學生數(shù)的多少按比例抽取樣本，我們稱這種方法為“分層抽樣”。可以看到，統(tǒng)計方法的直觀想法是很明顯的。如果對于實際背景一無所知，那么，一定要隨意抽取樣本，這便是“隨機抽樣”。比如，希望知道學生喜歡的歌手，因這些學生年齡之間差別可能不大，就可以采取“隨機抽樣”。當然，也可以用“分層抽樣”，但是要麻煩得多。第二個基本原則是，采用簡單的方法。能夠基于上述兩個原則的方法就是一個“好”方法。我們不要小看第二個原則，一個好的方法往往能夠節(jié)省很多調(diào)查經(jīng)費。這就是為什么咨詢公司非常歡迎統(tǒng)計學家的原因。問：剛才你提到了“樣本”，許多教師對這個概念總是感到費解。 史教授：是的，這個概念很難把握。樣本實質(zhì)上就是數(shù)據(jù)，

11、但是，統(tǒng)計學中涉及的數(shù)據(jù)往往是具有隨機性的。還是回到“學生的身高”這個問題上來。在抽樣之前，我們并不可能知道具體數(shù)據(jù)的大小，這些數(shù)據(jù)對于我們是隨機的；為了討論出一個好的方法，我們假想能夠得到這些數(shù)據(jù)，并且假想這些數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是依據(jù)某種規(guī)律的，這種規(guī)律就是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性的大小，我們稱之為“概率”。比如，高年級學生出現(xiàn)大數(shù)據(jù)（高個子）的可能性要大于低年級學生，就是說，出現(xiàn)大數(shù)據(jù)的概率要大。但是，只有當抽樣之后，我們才能得到真實的數(shù)據(jù)，才能進行實質(zhì)的計算與分析。這樣，我們所要研究的數(shù)據(jù)既具有隨機性又具有真實性。為了方便起見，我們稱這樣的數(shù)據(jù)為樣本。問：根據(jù)你的闡述，統(tǒng)計學怎么有一些哲學式的思考呢？

12、史教授：你們理解到了根本。這是統(tǒng)計學與中小學傳統(tǒng)數(shù)學的最大區(qū)別。傳統(tǒng)數(shù)學可以根據(jù)假設和規(guī)定的原則進行計算或者推理，但是統(tǒng)計學往往要問你所采用的方法是不是有道理，是不是還有更為合理的方法。不過，傳統(tǒng)數(shù)學是統(tǒng)計學不可缺少的工具。問：是不是因為統(tǒng)計學需要計算呢？ 史教授：不僅僅如此，判斷統(tǒng)計方法的好壞很大程度上也是依賴傳統(tǒng)數(shù)學的。問：你能不能結合中小學統(tǒng)計課程、教學，談得更具體一些？ 史教授：可以。假如我們得到了數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)看起來是雜亂無章的，就需要進行必要的整理，整理的實質(zhì)是對大量的數(shù)據(jù)進行“壓縮”。根據(jù)問題的不同，壓縮的方法也有所不同。比如，希望知道學生的平均身高，稱之為“總體均值”。我們可以

13、計算樣本的平均數(shù)，然后用樣本的平均數(shù)去估計總體均值。樣本平均數(shù)就是對于數(shù)據(jù)的一種壓縮方法。當然還可以用其他的方法，比如計算中位數(shù)，或者計算最大數(shù)和最小數(shù)的平均數(shù)。那么，哪一個方法要好一些呢？雖然我剛才談了平均數(shù)和中位數(shù)的使用條件，但這僅僅是一種描述性的。對于數(shù)據(jù)壓縮也有一個原則，就是不能失去我們所要研究問題的信息，滿足這個條件的壓縮后的值被稱為“充分統(tǒng)計量”。這個原則的數(shù)學表達需要借助“條件概率”，涉及很深的數(shù)學。因此，統(tǒng)計學需要哲學的思考，也需要嚴格的數(shù)學推理。事實上，對于總體均值，上面的三個壓縮后的量中只有樣本平均數(shù)是充分統(tǒng)計量。直觀地想，樣本平均數(shù)以局部的特征估計總體的特征，可能要好一些

14、。這是因為，雖然樣本平均數(shù)依賴樣本的選取也是隨機的，但是我們可以想象，當我們反復取樣本計算時，這些樣本平均數(shù)應當在總體均值附近擺動。當然，我們還可以建立其他的準則來判別方法的好壞，只要這個準則是合理的。比如，我們可以驗證，樣本平均數(shù)是使“與所有數(shù)據(jù)差的平方的和達到最小”的數(shù)；樣本中位數(shù)是使“與所有數(shù)據(jù)差的絕對值的和達到最小”的數(shù)。這兩個準則都是有道理的。轉(zhuǎn)貼于 因此，作為教師，在統(tǒng)計課程實施的過程中，不僅僅需要知道如何去計算，還需要知道之所以這樣計算的道理。只有這樣，在講課的時候才可能心里更有底，才可能根據(jù)學生的反應隨時調(diào)節(jié)教學策略。再比如統(tǒng)計圖表，是為了更直觀地表達數(shù)據(jù)，這也是數(shù)據(jù)整理的一種

15、形式。根據(jù)我們所要研究問題的不同，表達方式也可以有所不同。（三）統(tǒng)計學研究方法的本質(zhì)問：嚴士健先生認為，統(tǒng)計學的研究方法與傳統(tǒng)數(shù)學的研究方法有一個本質(zhì)上的不同：統(tǒng)計學的研究方法是基于歸納，而傳統(tǒng)數(shù)學是基于演繹。 史教授：我想，這是從思辨的角度來考慮的。一般來說，推理分為演繹和歸納。上面已經(jīng)談到，傳統(tǒng)數(shù)學在本質(zhì)上研究的問題是確定性的，基礎是定義和假設，遵循約定原則進行嚴格的計算或者推理，因此更多的是演繹；統(tǒng)計學在本質(zhì)上研究的問題是隨機的，是非確定性的，通過較多的數(shù)據(jù)進行推斷，也就是通過許多的個別來推斷一般，可以認為是一種歸納。但是，正如我在上面也談到過的那樣，在許多情況下，哲學思考后的數(shù)學表達也

16、是嚴格依賴于演繹的。二、中小學統(tǒng)計課程設計的核心問題（一）統(tǒng)計與概率課程設計的總體構想問：標準標準指全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）。在總體目標中提出，要使學生能夠“經(jīng)歷提出問題、收集和處理數(shù)據(jù)、作出決策和預測的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題；經(jīng)歷運用數(shù)據(jù)描述信息、作出推斷的過程，發(fā)展統(tǒng)計觀念”。在課程實施中，許多在教學一線的教師，甚至學科教學的專家都感到統(tǒng)計的內(nèi)容安排不好把握，甚至對標準關于統(tǒng)計的設計提出了一些質(zhì)疑。作為統(tǒng)計學家，你認為如何設計中小學各學段的統(tǒng)計課程內(nèi)容更合理呢？ 史教授：對中小學統(tǒng)計課程內(nèi)容的設計，我沒有進行過專門的研究。我想，在討論這個問

17、題之前，首先要清楚的問題是，除了知識之外，統(tǒng)計學的教育功能是什么？或者說，統(tǒng)計學的教育價值是什么？問：在中小學階段，統(tǒng)計學的教育價值是什么呢？ 史教授：我在上面都已經(jīng)談到了，現(xiàn)在再總結一下。主要有三點。首先，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)來分析問題的習慣。其實質(zhì)是通過事實來分析問題，當遇到問題時，應當去調(diào)查研究，應當去收集數(shù)據(jù)，在此基礎上進行的推斷才可能客觀地反映實際背景。其次，建立隨機的概念。有些事情可能發(fā)生，有些事情可能不發(fā)生，這在日常生活中是大量存在的。即便如此，只要我們掌握的信息多了，也能夠合理地推斷實際背景。第三，學習如何去判斷事情的主要因素。我已經(jīng)談到，統(tǒng)計學能夠在一堆看似雜亂無章的數(shù)據(jù)中提煉信息、

18、尋找規(guī)律，這就需要抓主要因素。比如我剛才談到的股票市場的例子，核心企業(yè)就是主要因素。在統(tǒng)計學中，可能還有其他方面的教育價值，但在中小學階段統(tǒng)計的教育價值主要就是這三點。問：如何通過這三點來說明中小學統(tǒng)計內(nèi)容的課程、教學設計呢？史教授：教育價值，或者說教育功能是進行課程、教學設計的靈魂，是課程、教學設計的核心目標。如果中小學統(tǒng)計學課程、教學設計的核心目標是培養(yǎng)學生“通過數(shù)據(jù)來分析問題”，課程、教學設計的總體框架就應當是，體現(xiàn)從收集數(shù)據(jù)到分析推斷的全過程，并以這個過程為主線，抓住要點，循序漸進。我們以小學統(tǒng)計為例， 在第一學段（13年級），可以側重于統(tǒng)計直覺的培養(yǎng)。首先，應該對數(shù)有一定的理解和感悟

19、，這主要是數(shù)的大小的比較，以及對于數(shù)的分類。后者對于學習現(xiàn)代數(shù)學和現(xiàn)代統(tǒng)計學都是重要的，但是過去我們很少接觸。比如，我們可以讓學生“建立一個原則，在這個原則下給全班同學分類”。顯然分類方法是多種多樣的，這個原則可以是男女、出生月份、家庭區(qū)域等等。再比如，把全國各省的gdp統(tǒng)計數(shù)據(jù)提供給學生，讓學生根據(jù)gdp的多少對各個省進行分類，并講出分類的標準。其實，這里也涉及抓主要因素的問題，分類的標準就是抓主要因素。其次，學習一些抽樣的方法，最好針對身邊的事情。比如，同學們的身高、腳的大小、睡覺的時間等等。在這其中可以得到一些趣味性的結果?？梢詫W習平均數(shù)，也可以學習統(tǒng)計表、直方圖等等。最后，可以學習分層

20、抽樣，并且通過比較，領會分層抽樣的好處。因為有了數(shù)據(jù)的分類的基礎，學習分層抽樣就比較自然了。在第二學段（46年級），可以有一些具有背景的理性的思考。比如，再進行學生身高的調(diào)查，然后與以前的數(shù)據(jù)比較，看身高的變化，其中可以得到許多有趣的學習：可以作直方圖或折線圖，然后比較；可以分類比較；可以通過斜率來分析變化率；甚至可以通過變化率來預測未來。除此之外，還要進行社會調(diào)查，比如市場物價調(diào)查，評估物價的上升還是低落，這里也涉及抓住主要因素的問題。在這個階段，可以滲透隨機和概率的思想，分清楚有些事情可以直接判斷可能性的大小，有些事情則需要調(diào)查估計可能性的大小?？梢陨婕凹訖嗥骄Ｖ形粩?shù)和眾數(shù)的學習一定要結

21、合具體的案例進行學習，并且與平均數(shù)比較，這是因為中位數(shù)和眾數(shù)在日常生活中用得不多。最好有一個案例能夠貫穿小學統(tǒng)計教學的全過程，比如我剛才談到的身高的調(diào)查分析，讓學生積累調(diào)查記錄，逐年比較，從而對統(tǒng)計的學習有一個整體的了解。（二）處理統(tǒng)計與概率關系的策略問：在中小學數(shù)學課程教學中，應當如何處理統(tǒng)計與概率的關系？ 史教授：概率論與統(tǒng)計學有很大的差別。雖然二者都研究隨機現(xiàn)象，但概率論的研究基礎還是定義和假設，這與傳統(tǒng)數(shù)學很相似，而統(tǒng)計學的研究基礎是數(shù)據(jù)，它的研究要借助概率論的結果。比如我剛講到的“分清楚有些事情可以直接判斷可能性的大小，有些事情則需要調(diào)查估計可能性的大小”，前者是概率計算，而后者是統(tǒng)

22、計推斷。在小學階段，概率所涉及的形式化數(shù)學知識很少，只需要很好地理解分數(shù)。我曾經(jīng)在前面的訪談中講到，真分數(shù)有兩個含義：一個是0與1之間的實數(shù)，一個是比率。后者可以理解為概率。如果再懂得一些代數(shù)知識，就能夠理解概率中的邏輯運算和計算的基本原理。中學的統(tǒng)計教學也涉及分數(shù)，也是借助比率的含義，也是表示事件發(fā)生可能性的大小。但是，在統(tǒng)計的計算中，分數(shù)是基于樣本計算出來的，是與樣本量的大小有關系的，在計算的過程中必須注意到這一點。比如，希望了解學生對某一項活動的支持率，一班有50人，10人贊同，支持率為；二班有45人，15人贊同，支持率為，那么總體支持率是否為（+）÷2=呢？不是的。應當考慮樣本量的比例和，則總體支持率為，大約為。這就是加權平均，權為樣本量的比例。當然也可以用來進行計算。兩個計算都是合理的，因為都考慮到了樣本量。但是前一個式子已經(jīng)不需要樣本的具體數(shù)據(jù)了，因而是更為深刻的。從知識的角度來看，統(tǒng)計學的研