函數(shù)奇偶性經(jīng)典講義 - 新

1、 奇偶性部分復(fù)習(xí)提問（一）奇偶函數(shù)的定義奇函數(shù)偶函數(shù)代數(shù)定義 恒成立恒成立 幾何定義圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且圖像關(guān)于y軸對(duì)稱備注定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷奇偶函數(shù)的前提，函數(shù)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。（二）、函數(shù)按奇偶分類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（非奇非偶）（三）、奇偶函數(shù)的性質(zhì)： 1、奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù) 2、奇偶函數(shù)的加減：；奇偶函數(shù)的乘除：同偶異奇 3、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。 4、定義在R上的任意函數(shù)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和（四）、函數(shù)奇偶性的做題方法與步驟。 第一步，判斷函數(shù)的

2、定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第二步，求出的表達(dá)式；第三步，比較的關(guān)系 題型與方法歸納題型與方法一、判定奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性1) 2） 3）4） 5）解：1）的定義域?yàn)镽，所以原函數(shù)為偶函數(shù)。2）的定義域?yàn)榧矗P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原函數(shù)為奇函數(shù)。3） 的定義域?yàn)榧?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又即 ，所以原函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。4）的定義域?yàn)?即，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。5）分段函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，綜上所述，在上總有 所以原函數(shù)為奇函數(shù)。注意：在判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，要對(duì)x在各個(gè)區(qū)間上分別討論，應(yīng)注意由x的取值范圍確定應(yīng)用相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

3、練習(xí)1：判斷下列函數(shù)的奇偶性 1） 2） 3） 4） 5）二、利用奇偶性求函數(shù)解析式：例2：設(shè)是R上是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求在R上的解析式解：當(dāng)時(shí)有，設(shè)， 則，從而有 ，是R上是奇函數(shù)，所以 ，因此所求函數(shù)的解析式為注意：在求函數(shù)的解析式時(shí)，當(dāng)球自變量在不同的區(qū)間上是不同表達(dá)式時(shí)，要用分段函數(shù)是形式表示出來。練習(xí)2：已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式。練習(xí)3、已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，求函數(shù)的表達(dá)式。例3：設(shè)函數(shù)是定義域R上的偶函數(shù)，且圖像關(guān)于對(duì)稱，已知時(shí)，求時(shí)的表達(dá)式。解：圖像關(guān)于對(duì)稱， = 所以時(shí)的表達(dá)式為=練習(xí)3：已知函數(shù) 為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式。例4：已知函數(shù)且，求的值解：令，則 為奇函

4、數(shù)， 練習(xí)4：已知函數(shù)且，求的值。例5：定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且有求的取值范圍。解：，且為偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以a的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，將函數(shù)值之間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為自變量的大小關(guān)系，從而應(yīng)用不等式有關(guān)知識(shí)求解.練習(xí)5：定義在上的奇函數(shù)為減函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)6：定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，若成立，求m的取值范圍。三、抽象函數(shù)奇偶性的判斷解題方法與步驟：（1）設(shè)/令 （2）求值 （3）判斷對(duì)任意的，均有，是判斷函數(shù)奇偶性。解：設(shè)y=-1，則。令x=y=-1, ,令x=y=1，,所以，練習(xí)1、已知且，判斷函數(shù)的奇偶

5、性。練習(xí)2、，判斷函數(shù)的奇偶性。趁熱打鐵1、判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)；(2)；(3)；(4) 2、設(shè)函數(shù)定義在上，證明：(1)為偶函數(shù)；(2) 為奇函數(shù).3、若函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，則a=( )A . -3或1 B. 3或-1 C. 1 D. -34、 已知函數(shù)，則它是（ ）A 奇函數(shù) B 偶函數(shù) C 即是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5. ,判斷的奇偶性。 溫故知新1 判斷下列函數(shù)的奇偶性（5） （6）2.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ). A. B. C. D. 3.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為（ ）A B C D4

6、.函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則 ( )(A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù) (C) (D) 是奇函數(shù)5、已知函數(shù).（1）求證：不論為何實(shí)數(shù)總是為增函數(shù)；（2）確定的值，使為奇函數(shù)；（3）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，求的值域。6、函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，均有成立。當(dāng)時(shí)， （1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）若的最大值為，解關(guān)于x的不等式。例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）（3）（4）例1 判斷函數(shù)(x)=3x2, x 的奇偶性。判斷函數(shù) 的奇偶性。判斷函數(shù)的奇偶性。判斷函數(shù) 的奇偶性。判斷函數(shù) 例2已知（1） 判斷f(x)的奇偶性。（2） 證明f(x)>0.1 已知奇偶性求值例.（1）

7、已知是奇函數(shù)，則（2）若是奇函數(shù)，則a=_.（3）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則a=_1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7）2若是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是 3.已知，且，則等于（ ）4已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的解析式.5設(shè)為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求、的解析式.6函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，若，求不等式的解集.7定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，若成立，求的取值范圍.8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，其定義域是，求的值域9已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）確定函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)（3）解不等式.高考題練習(xí)10.（07廣東文3）若函數(shù)，則函數(shù)在

8、其定義域上是（ ）A單調(diào)遞減的偶函數(shù) B單調(diào)遞減的奇函數(shù)C單調(diào)遞增的偶函數(shù) D單調(diào)遞增的奇函數(shù)11.（10安徽理4）若是上周期為的奇函數(shù)，且滿足，則（）A B C D12.（10廣東文3）若函數(shù)與的定義域均為，則（） A與均為偶函數(shù) B為奇函數(shù)，為偶函數(shù) C與均為奇函數(shù) D為偶函數(shù)，為奇函數(shù)13.（07山東理4）設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的所有值為（ ）A， B， C， D，14.（08安徽理11）若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（ ）A BC D15.（08湖北文6）已知在R上是奇函數(shù)，且 （ ） A.-2 B.2 C.-98 D.9816.（10山東文5）設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則（）A B C D17.（08重慶理6）若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的