離散數(shù)學(xué)第四版課后答案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載離散數(shù)學(xué)第四版課后答案第1章習(xí)題解答1 1除（ 3），（ 4），（ 5），（ 11）外全是命題，其中， （ 1），（ 2），（ 8），（ 9），（ 10），（ 14），（15）是簡單命題， （ 6），（ 7），（ 12），（ 13）是復(fù)合命題。分析 首先應(yīng)注意到，命題是陳述句，因而不是陳述句的句子都不是命題。本題中，（ 3）為疑問句， （ 5）為感嘆句， （ 11）為祈使句，它們都不是陳述句，所以它們都不是命題。其次， 4）這個(gè)句子是陳述句，但它表示的判斷結(jié)果是不確定。又因?yàn)椋?），（ 2），（ 8），（ 9），（ 10），（ 14），（15）都是簡單的陳述句，因而作為命題，它

2、們都是簡單命題。 （ 6）和（ 7）各為由聯(lián)結(jié)詞“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)結(jié)起來的復(fù)合命題，（ 12）是由聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)的復(fù)合命題，而（13）是由聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)起來的復(fù)合命題。這里的“且”為“合取”聯(lián)結(jié)詞。在日常生活中，合取聯(lián)結(jié)詞有許多表述法，例如， “雖然，但是”、“不僅，而且”、“一面，一面”、“和” 、“與”等。但要注意，有時(shí)“和”或“與”聯(lián)結(jié)的是主語，構(gòu)成簡單命題。例如，（ 14）、（ 15）中的“與”與“和”是聯(lián)結(jié)的主語，這兩個(gè)命題均為簡單命題，而不是復(fù)合命題，希望讀者在遇到“和”或“與”出現(xiàn)的命題時(shí)，要根據(jù)命題所陳述的含義加以區(qū)分。1 2 （ 1） p:2 是無理數(shù)， p 為真命題。（ 2

3、） p:5 能被 2 整除， p 為假命題。（ 6） p q。其中， p:2 是素?cái)?shù)， q：三角形有三條邊。由于p 與 q 都是真命題，因而pq 為假命題。（ 7） p q，其中， p：雪是黑色的，q：太陽從東方升起。由于p 為假命學(xué)習(xí)必備歡迎下載題， q 為真命題，因而pq 為假命題。（ 8） p:2000 年 10 月 1 日天氣晴好，今日（1999 年 2 月 13 日）我們還不知道 p 的真假，但p 的真值是確定的（客觀存在的），只是現(xiàn)在不知道而已。（ 9） p：太陽系外的星球上的生物。它的真值情況而定，是確定的。1（ 10）p：小李在宿舍里 . p 的真值則具體情況而定，是確定的。（

4、 12）p q，其中， p:4 是偶數(shù)， q:4 是奇數(shù)。由于 q 是假命題，所以， q為假命題， pq 為真命題。（ 13）p q，其中， p:4 是偶數(shù)， q:4 是奇數(shù)，由于q 是假命題，所以，p q為假命題。（ 14） p：李明與王華是同學(xué)，真值由具體情況而定（是確定的）。（ 15） p：藍(lán)色和黃色可以調(diào)配成綠色。這是真命題。分析命題的真值是唯一確定的，有些命題的真值我們立即可知，有些則不能馬上知道，但它們的真值不會(huì)變化，是客觀存在的。1 3 令 p:2+2=4,q:3+3=6, 則以下命題分別符號(hào)化為（ 1） p q（ 2） p ?q（ 3）?p q（ 4）?p ?q學(xué)習(xí)必備歡迎下載

5、（ 5） p?q（ 6） p?q（ 7）?p q（ 8）?p?q以上命題中，（ 1），（ 3），（ 4），（ 5），（ 8）為真命題，其余均為假命題。分析本題要求讀者記住p q 及 p?q的真值情況。pq 為假當(dāng)且僅當(dāng)p 為真 ,q 為假 ,而 p?q為真當(dāng)且僅當(dāng)p 與 q 真值相同 .由于 p 與 q 都是真命題，在 4 個(gè)蘊(yùn)含式中，只有（2） p r，其中， p 同（ 1）， r：明天為3 號(hào)。在這里，當(dāng)p 為真時(shí)， r 一定為假， pr 為假，當(dāng)p 為假時(shí)，無論r 為真還是為假， p r 為真。21 5 （ 1） p q，其中， p： 2 是偶數(shù)， q： 2 是素?cái)?shù)。此命題為真命題。（

6、2） p q，其中， p：小王聰明， q：小王用功（ 3） p q，其中， p：天氣冷， q：老王來了（ 4） p q，其中， p：他吃飯， q：他看電視（ 5） p q，其中， p：天下大雨， q：他乘公共汽車上班（ 6） p q，其中， p， q 的含義同（ 5）（ 7） p q，其中， p， q 的含義同（ 5）（ 8）?p?q ，其中， p：經(jīng)一事， q：長一智分析1°在前 4 個(gè)復(fù)合命題中，都使用了合取聯(lián)結(jié)詞，都符號(hào)化為合取式，學(xué)習(xí)必備歡迎下載這正說明合取聯(lián)結(jié)詞在使用時(shí)是很靈活的。在符號(hào)化時(shí)，應(yīng)該注意，不要將聯(lián)結(jié)詞部分放入簡單命題中。例如，在（2）中，不能這樣寫簡單命題：p

7、：小王不但聰明， q：小王而且用功。在（4）中不能這樣寫：p：他一邊吃飯，q：他一邊看電視。2° 后 4 個(gè)復(fù)合命題中，都使用了蘊(yùn)含聯(lián)結(jié)詞，符號(hào)化為蘊(yùn)含式，在這里，關(guān)鍵問題是要分清蘊(yùn)含式的前件和后件。p q 所表達(dá)的基本邏輯關(guān)系為，p 是q 的充公條件，或者說q 是p 的必要條件，這種邏輯關(guān)系在敘述上也是很靈活的。例如，“因?yàn)閜，所以q”，“只要p，就 q”“ p 僅當(dāng) q”“只有 q 才 p”“除非 q，否則 ?p”“沒有 q，就沒有p”等都表達(dá)了q 是p 的必要條件，因而都符號(hào)化為pq 或 ?p?q的蘊(yùn)含式。在（ 5）中，q 是p 的必要條件，因而符號(hào)化為p q，而在（6）（ 7

8、）中，p 成了q 的必要條件，因而符號(hào)化為q p。在（ 8）中，雖然沒有出現(xiàn)聯(lián)結(jié)詞，但因兩個(gè)命題的因果關(guān)系可知，應(yīng)該符號(hào)化為蘊(yùn)含式。1 6（ 1），（ 2）的真值為0，（ 3），（ 4）的真值為1。分析1° （ 1）中公式含3 個(gè)命題變項(xiàng)，因而它應(yīng)該有23=8個(gè)賦值：000，3001， 111 題中指派 p, q 為 0, r 為 1，于是就是考查 001 是該公式 p (q r)的成真賦值，還是成假賦值，易知 001 是它的成假賦值。2° 在公式（ 2）（， 3），（ 4）中均含 4 個(gè)命題就項(xiàng)， 因而共有24=16 個(gè)賦值：0000，0001，1111?，F(xiàn)在考查0011

9、 是它的成假賦值。1.7 （ 1），（ 2），（ 4），（9）均為重言式， （ 3），（ 7）為矛盾式，（ 5），（ 6），（ 8），（ 10）為非重言式的可滿足式。學(xué)習(xí)必備歡迎下載一般說來，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判斷公式的類型。（ 1）對（ 1）采用兩種方法判斷它是重言式。真值表法表 1.2 給出了（ 1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全為1，所以，（ 1）為重言式。p q rp (p q r)pqr0000100111010110111110011101111101111111等值演算法p (p qr)? ?p(p p r)（蘊(yùn)含等值式）? (?p p

10、) p r（結(jié)合律）? 1 q r（排中律）? 1（零律）4學(xué)習(xí)必備歡迎下載由最后一步可知， （1）為重言式。（ 2）用等值演算法判（2）為重言式。(p ?p) ?p? (? p ?) ?p（蘊(yùn)含等值式）? ?p ?p（等冪律）?p ?p（蘊(yùn)含等值式）? 1（排中律）（ 3）用等值演算法判（3）為矛盾式?(p q) q? ?(p? q) q（蘊(yùn)含等值式）?p ?qq（德·摩根律）?p (?q q)（結(jié)合律）?p 0（矛盾律）? 0（零律）由最后一步可知， （3）為矛盾式。（ 5）用兩種方法判（ 5）為非重言式的可滿足式。真值表法pq?p?p qq ?p(?p q) (q ?p)001

11、011011111100111110100學(xué)習(xí)必備歡迎下載由表 1.3 可知（ 5）為非重言式的可滿足式。主析取范式法(? pq) (q ?p)? (p q) (?q ?p) 5? ?(p q) (?q ?p)? (?p ?q) ?q ?p? ?p?q? (?p 1) (1?q)? (?p (?qq) (? p p) ?q)? (?p ?q) (? p q) (?p ?q) (p ?q)? (?p ?q) (? p q) (?p ?q)? m0 m1 m2.在（ 3）的主析取范式中不含全部（ 4 個(gè)）極小項(xiàng)，所以（ 3）為非重言式的可滿足式，請讀者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。

12、其余各式的類型，請讀者自己驗(yàn)證。分析1 真值表法判斷公式的類別是萬能。公式A 為重言式當(dāng)且僅當(dāng)A 的 o真值表的最后一旬全為1；A 為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A 的真值表的最后一列全為0；A 為非重言式的可滿足式當(dāng)且僅當(dāng)A 的真值表最后一列至少有一個(gè)1，又至少有一個(gè)0。真值表法不易出錯(cuò)，但當(dāng)命題變項(xiàng)較多時(shí)，真值表的行數(shù)較多。2o用等值演算法判斷重言式與矛盾式比較方例，A 為重言式當(dāng)且僅當(dāng)A 與 1 等值；A 為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A 與 0 等值，當(dāng) A 為非重言式的可滿足式時(shí)，經(jīng)過等值演算可將A 化簡，然后用觀察法找到一個(gè)成真賦值，再找到一個(gè)成假賦值，就可判斷A 為非重言式的可滿足式了。例如，對（6）用等值

13、演算判斷它的類型。(p ?p)?q學(xué)習(xí)必備歡迎下載? 0?q（矛盾律）? (p q) (q0)（等價(jià)等值式）? (?0 q) (?q 0)（蘊(yùn)含等值式）? (1 q) ?q（同一律）? 1?q（零律）6? ?q（同一律）到最后一步已將公式化得很簡單。由此可知，無論 p 取 0 或 1 值，只要 q 取 0 值，原公式取值為 1，即 00 或 10 都為原公式的成真賦值，而 01， 11 為成假賦值，于是公式為非重言式的可滿足式。用主析取范式判斷公式的類型也是萬能的。A 為重言式當(dāng)且僅當(dāng)A 的主析取范式含2n（n 為 A 中所含命題變項(xiàng)的個(gè)數(shù)）個(gè)極小項(xiàng)；A 為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A 的主析取范式中不含

14、任何極小項(xiàng)， 記它的主析取范式為0；A 為非重言式的可滿足式當(dāng)且僅當(dāng)A 的主析取范式中含極小項(xiàng)，但不是完全的。當(dāng)命題變項(xiàng)較多時(shí)，用主析取范式法判公式的類型，運(yùn)算量是很大的。用主合取范式判斷公式的類型也是萬能的。A 為重言式當(dāng)且僅當(dāng)A 的主合取范式中不含任何極大項(xiàng)，此時(shí)記A 的主合取范式為1；A 為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A 的主合取范式含2n 個(gè)極大項(xiàng)（ n 為 A 中含的命題變項(xiàng)的個(gè)數(shù)）；A 為非重言式的可滿足式當(dāng)且僅當(dāng)A 的主析取范式中含含極大項(xiàng)，但不是全部的。1.8（ 1）從左邊開始演算(p q) (p ?q)?p (q?q)（分配律）? p 1（排中律）? p.（同一律）（ 2）從右邊開始演算p

15、 (q r)學(xué)習(xí)必備歡迎下載? ?p(q r)（蘊(yùn)含等值式）? (?p q) (?p r)（分配律）? (p q) (p r). （蘊(yùn)含等值式）（ 3）從左邊開始演算?(p?q)7? (p q)(q p)? ?(? pq) (?p q)? ?(? pq) (?p ) (q ?q) (p q)? ?(?p?q) (p q)? (p q) ?(p q).請讀者填上每步所用的基本等值式。本題也可以從右邊開始演算(p q)?(p q)? ?(p q) ?(p q)? ?(?(p q) ?(p q)? ?(? p?q) (p q)? ?(? pq) (?p q) (?q p) (?q q)? ?(1 p

16、 q) (?q p) 1? ?(p q) (q p)? ?(p?q).讀者填上每步所用的基本的等值式。1.9（ 1）?(p q) p)? ?(?(p q) p （結(jié)合律、交換律）（蘊(yùn)含等值式）? (p ?p) q? ?(?(p q) p)（矛盾式） ? 0.（德·摩根律）（零律）?p q ?p學(xué)習(xí)必備歡迎下載8由最后一步可知該公式為矛盾式。（ 2） (p q) (qp) (p?q)? ?(?(p q) p)（蘊(yùn)含等值式）由于較高層次等價(jià)號(hào)兩邊的公式相同，因而此公式無成假賦值，所以，它為重言式。（ 3） (? pq) (q ?p)? (p q) (?q?p)（蘊(yùn)含等值式）? ?(p q

17、) (?q ?p)（蘊(yùn)含等值式）? (?p q) ?q ?p（德·摩根律）? ?q?p（吸收律）? ?p?q.（交換律）由最后一步容易觀察到， 11 為該公式成假賦值，因而它不是重言式，又 00，01，10 為成真賦值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可滿足式。1.10 題中給出的 F，G，H，R 都是 2 元真值函數(shù)。 給出的 5 個(gè)聯(lián)結(jié)詞集都是全功能集，可以用觀察法或等值演算法尋找與真值函數(shù)等值的公式。首先尋找在各聯(lián)結(jié)詞集中與F 等值的公式。（ 1）設(shè) A=? (p q)，易知 A 是 ? , 中公式且與 F 等值，即 F? A.（ 2）設(shè) B=p ?q，易知 B 是? , 中公

18、式且與 F 等值，即 F? B.（ 3）設(shè)C=? (?p q)，易知C 是 ? , 中公式，且F? C.（ 4）設(shè)D=(p (q q) (p (q q) ，易知D 為 中公式，且F? D.（ 5）設(shè)E=(p p) q，易知E 為 中公式，且F? E.分析結(jié)詞集中與就可以找到1° 只要找到一個(gè)聯(lián)結(jié)詞集中與F 等值的公式， 經(jīng)過等值演算就可以找出其他聯(lián)F 等值的公式。例如，已知A=? (p q)是 ? , 公式，且 F? A 。進(jìn)行以下演算，F(xiàn) 等值的其他聯(lián)結(jié)詞集中的公式。對A 進(jìn)行等值演算，消去聯(lián)結(jié)詞，用? ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載取代，得9A=? (p q)? ?(?pq)? p?q 記為

19、 B.則 B 為 ? , 中公式，且F? B。再對 A 進(jìn)行等值演算，消去，用?，取代，得A=? (p q)? ?(?pq) 記為 C.則 C 為 ? , 中公式，且 F? C。再對 B 進(jìn)行演算，消去 ?，用取代，在演算中，注意，對于任意的公式 A ，有?A? ?(A A) ? A A.B=p ?q? p (qq)? ?(p (qq)? ?(p (q q)? (p (q q) (p (qq) 記為 D.則 D 為 中公式，且 F? D. 再對 C 進(jìn)行演算，消去 ?, ,用取代，在演算中注意，對于任意的公式 A?A? ?(A A) ? A A.C=? (?p q)? ?pq? (p p) q

20、 記為 E.則 E 為 中公式，且F? E.學(xué)習(xí)必備歡迎下載2°開始找一個(gè)與某真值函數(shù)等值的公式的方法，除觀察法外，就是根據(jù)10該真值函數(shù)的真值表，求它的主析取范式，而后進(jìn)行等值演算即可。例如，由G 的真值表可知 G 的主析取范式為m1m3，于是G? m1 m3? (?p q) (pq)? (?p p) q? q.由于公式 q 不帶聯(lián)結(jié)詞，所以，它應(yīng)該為任何聯(lián)結(jié)詞集中的合式公式。3°在各聯(lián)結(jié)詞集中找到的與某真值函數(shù)等值的公式并不唯一。例如，取A=? q q.(? , 中公式 )B=q q.(? , 中公式 )C=q q.(? , 中公式 )D=(q q) (q q).( 中

21、公式 )E=(q q) (q q).( 中公式 )則 G? A ? B ? C? D? E,對于同一個(gè)真值函數(shù) G，找到與它等值的形式各異的公式。對于 H 和 R，請讀者自己去完成。1.11 （ 1）對 C 是否為矛盾式進(jìn)行討論。當(dāng) C 不是矛盾式時(shí)， A C? B C，則一定有 A ? B，這是因?yàn)?，此時(shí)， A C? A,B C? B，所以，有A? AC? B? B必有A?B而當(dāng) C 不是矛盾式時(shí)，A C? B C，不一定有A ? B ，舉反例如下：學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè) A,B,C 均為含命題變項(xiàng) p,q 的公式， A ，B，C 及 A C,B C 的真值表如表1.4 所示，從表 1.4 可看

22、出， AC? BC，但 A ? B。表 1.4 11pqABCAVCBVC0000000010000010111111101111(2) 對 C 是否為重言式進(jìn)行討論 :若 C 為重言式 ,則 A C? A,C ? B,于是A? AC? BC? B.因而有A ? B當(dāng) C 不是重言式時(shí) ,請讀者舉反例說明 , A C? B C 時(shí) , 不一定有 A ? B.(3) 若 ?A? ?B,則 A ? B.證明如下 : A ? ?A (雙重否定律 )? ?B(?A? ?B)? B(雙重否定律 )所以A ? B1.12 (1) 設(shè) (1)中公式為A.A ? (p (q r) (p q r)學(xué)習(xí)必備歡迎下

23、載A ? ?(p (q r) (p q r)A ? ?p (?q?r) (p q r)A ? (?p ?q) (?q?r) (p q r)A ? (?p ?q (?r r) (?p q r) ?r) (p q r) (?p q?r) (pq r) A ? m0 m1 m712于是 ,公式 A 的主析取范式為m0 m1 m2 m7 易知 ,A 的主合取范式為M3 M4 M5 M6A 的成真賦值為000, 001, 010, 111A 的成假賦值為011,100,101,110(2) 設(shè) (2)中公式為BB? (?p q) (?qp)? (?p q) (?q p)? (p q) (?q p)? ?

24、(p q) (?q p)? (? p ?q) ?qp? ?q p ( 吸收律 )? (? p q) ?) p (?qp)? (? p ?q) p (p?q) (p q)? m0 m2 m3所以 ,B 的主析取范式為m0 m2m3.B 的主合取范式為M1B 的成真賦值為00,10,11.學(xué)習(xí)必備歡迎下載B 的成假賦值為01.(3) 設(shè) (3)中公式為 C. C? ?(p q) q r? (p ?q) q r13 ? p (?q q)r ? p 0 r? 0.所以 ,C 的主析取范式為0.C 的主合取范式為M0 M1 M2 M3C 的成假賦值為00,01,10,11C 無成真賦值 ,C 為矛盾式

25、.分析 1°設(shè)公式 A 中含 n(n 1)個(gè)命題變項(xiàng) ,且 A 的主析取范式中含l(0 l 2n)個(gè)極小項(xiàng) ,則 A 的主合鄧范式中含2n-l 個(gè)極大項(xiàng) ,而且極大項(xiàng)的角標(biāo)分別為0 到 2n-1 這 2n 個(gè)十進(jìn)制數(shù)中未在 A 的主析取范式的極小項(xiàng)角標(biāo)中出現(xiàn)過的十進(jìn)制數(shù).在 (1)中 ,n=3,A的主析取范式中含 4 個(gè)極小項(xiàng) ,所以 ,A 的主合取范式中必含23-4=4 個(gè)極大項(xiàng) ,它們的角標(biāo)為0 到 7 中未在主析取范式的極小項(xiàng)角標(biāo)中出現(xiàn)過的3,4,5,6. 這樣 ,只要知道 A 的主析取范式 ,它的主合鄧范式自然也就知道了,在 (2),(3) 中情況類似 .2° A

26、的主析取范式中極小項(xiàng)角標(biāo)的二進(jìn)制表示即為A 的成真賦值 .在 (1)中 ,由于主析取范式中的極小項(xiàng)角標(biāo)分別為0,1,2,7,它們的二進(jìn)制表示分別為000,001,010,111,所以 ,A 的成真賦值為以上各值.類似地 ,A的主合取范式中所含極大項(xiàng)角標(biāo)的二進(jìn)制表示,即為 A 的成假賦值 .1.13 (1) 首先求 p (q r)的主析取范式.p (q r)? ?p(? q r)? ?p?q r).學(xué)習(xí)必備歡迎下載由于演算過程較長 ,可以分別先求出由 ?p,?q,r 派生的極小項(xiàng) .注意 ,本公式中含 3 個(gè)命題變項(xiàng) ,所以 ,極小項(xiàng)長度為 3.14?p? ?p (?q q) (?r r)? (

27、?p ?q r) (?p ?q r) (?p q?r) (?p ?q r) ? m0 m1 m2 m3?p? (?pp) ?q (?r r)? (?p ?q ?r)(?p ?q r) (?p ?q ?r)(p ?q r) ? m0 m1 m4 m5r? (?p p) (?q q) r? (?p ?q r) (?p ?q r) ? (p ?qr) (pq r)? m1 m31 m5m7p (q r)? m0 m1 m2m3 m4 m5 m7類似地 ,可求出 q (p r)主的析取范式也為上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知 ,(p (q r) ? (q (p r).(2) p q? ?(p

28、q)? ?p?q學(xué)習(xí)必備歡迎下載? (?p (?qq) (?p p)?q)? (?p ?q) (? p q) (? p ?p) (p ?q)? (?p ?q) (? p q) (p ?p)15? m0 m1 m2. p q? ?(p q)? ?p?q? m0.由于 p q 與 p q 的主析取范式不同.因而它們不等值,即 p q?p q.1.14設(shè) p:A 輸入 ;設(shè) q:B 輸入 ;設(shè) r:C 輸入 ;由題的條件 ,容易寫出 FA,FB,FC 的真值表 ,見表 1.5 所示 .由真值表分別寫出它們的主析范鄧范式 ,而后 ,將它們都化成與之等值的 中的公式即可 .表 1.5pqrFFFABC0

29、00000001001010010011010100100學(xué)習(xí)必備歡迎下載101100110100111100FA? (p ?q ?r) (p ?q r) (p q ?r) (p q r)? (p ?q) (?r r) (pq) (?r r)? (p ?q) (pq)? p16? ?(p q)? ?(p q)? ?(p q)? (p q) (p p)FB? (? p q ?r) (?p q r)? (? p q) (?r r)? (? p q)? ?(?p q)? ?(p ?q)? p ?q)? p (q q).FC ? (? p?p r)? ?(p q) r學(xué)習(xí)必備歡迎下載? (p q) r

30、? ?(p q) r? ?(?(p q) ?r? ?(p q) ?r? (p q)(p q) (r r)分析 在將公式化成 或 中公式時(shí) ,應(yīng)分以下幾步 :(1)先將公式化成全功能集 ? , , 中的公式 .(2) 使用?A? ?(A A) ? A A,17或?A ? ?(A A) ? A A.使用雙重否定律AB? ?(A B)? ?(A B)? (AB)(A B)或AB? ?(A B)? ?(A B)? (A B) (A B) 使用德·摩根律AB? ?(A B)? ?(?A ?B)? ?A?B? (A A) (BB)或AB? ?(A B)? ?(?A ?B)? ?A ?B? (A

31、A) (B B)1 15設(shè) p：礦樣為鐵；q：礦樣為銅；r：礦樣為錫 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè)F1? (甲全對 ) (乙對一半 ) (丙全錯(cuò) ) ，? (? p ?q) (?p ?r) (p r) (? p r) ? (?p ?q ?p ?r ?p r) (? p ?q p r ?p r) ? 00? 0.F2? (甲全對 ) (乙全錯(cuò) ) (丙對一半 )? (? p ?q) (p ?r) (p r) (? p ?r) 18? (?p ?q p ?r p r) (?p ?q p r ?p ?r)? 00? 0F3? (甲對一半 )(乙全對 ) (丙全錯(cuò) )? (?p q) (p ?q) (?p r

32、) (?p ?r)? (?p q?p r ?p r (p ?q?p r ?p r) ? (?p qr) 0? ?pq r.F4? (甲對一半 ) (乙全錯(cuò) ) (丙全對 )? (? p q) (p?q) (p?r) (p?r) ? (?p q? ?r p ?r (p ?qp ?r p ?r)? 0 (p ?q ?r)? p?q ?r.學(xué)習(xí)必備歡迎下載F5? (甲會(huì)錯(cuò) ) (乙對一半 ) (丙全對 )? (p q) (?p ?r) (p r) (p ?r)? (p q ?p ?r p ?r (p q p r p ?r) ? 00 ? 0.F6? (甲全錯(cuò) ) (乙全對 ) (丙對一半 ) ? (

33、p q) (?p r) (p r) (?p ?r)19? (p q ?p r p r (p q ?p r ?p ?r) ? 00? 0.設(shè)F? (一人全對 ) (一人對一半 ) (一人全錯(cuò) )則 F 為真命題，并且F? F1 F2 F3 F4 F5 F6? (?p qr) (p?q ?r)? 1.但，礦樣不可能既是銅又是錫，于是q,r 中必有假命題，所以?p q r ? 0,因而必有p ?q?r? 1.于是，必有P 為真， q 與 r 為假，即礦樣為鐵。1.16令 p：今天是1 號(hào)；q：明天是5 號(hào) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載由于本題給出的推理都比較簡單，因而可以直接判斷推理的形式結(jié)構(gòu)是否為重言式。（

34、 1）推理的形式結(jié)構(gòu)為(p q) p q.可以用多種方法判斷上公式為重言式，其實(shí)，本推理滿足假言推理定律，即(p q) p? q.所以，推理正確。（ 2）推理的形式結(jié)構(gòu)為(p q) p q.可以用多種方法證明上公式不是重言式，其實(shí)，當(dāng)p 為假（即今天不是1 號(hào)），q 為真（明天真是5 號(hào)），也即 01 是上面公式的成假賦值，所以，推理的20形式結(jié)構(gòu)不是重方式，故，推理不正確。（ 3）推理的形式結(jié)構(gòu)為(p q) ?p?q.可以用多種方法證明上面公式為重言式，其實(shí)，它滿足拒取式推理定律，即(p q) ?p? ?q.所以，推理正確。（ 4）推理的形式結(jié)構(gòu)為(p q) ?p?q.可以用多種方法證明上公

35、式不是重言式，01 為上公式的成假賦值，所以，推理不正確。分析 對于前提與結(jié)論都比較簡單的推理，最好直接判推理的形式結(jié)構(gòu)是否為重言式，來判斷推理是否正確，若能觀察出一個(gè)成假賦值，立刻可知，推理不正確。1 17(1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明 ?q r前提引入 ?r前提引入 ?q析取三段論 ?(p ?q)前提引入 ?pq置換 ?p析取三段論（ 2）證明 p (q s)前提引入 q (q s) 置換 q前提引入 p s假言推理 p?r前提引入21r p置換r s假言三段論（3）證明 p附加前提引入p q前提引入q假言推理p q合取或者證明 p q前提引入 ?pq置換(? p p) (?p q)置換學(xué)習(xí)必

36、備歡迎下載?p (p q)置換p (p q)置換（ 4）證明前提引入 (s t) (t s)置換化簡t r前提引入ts假言推理前提引入(q s) (s q)置換s?q化簡q似言推理? q? p前提引入22? p ?假言推理? r化簡? p q s r ?合取分析由于(A1 A2 L Ak) (C B)? ?(A1 A2 L Ak) (?C B)? ?(A1 A2 L Ak C) B? A1 A2 L Ak C B所以 ,當(dāng)推理的結(jié)論也為蘊(yùn)含式時(shí),可以將結(jié)論的前件作為推理的前提,稱為附加前提,并稱使用附加前提的證明方法為附加前提證明法.(3)中第一個(gè)證明,即為附加前提證明法.1.18設(shè) p：他是

37、理科生學(xué)習(xí)必備歡迎下載q：他是文科生r：他學(xué)好數(shù)學(xué)前提p r,?q p,?r結(jié)論 q通過對前提和結(jié)論的觀察，知道推理是正確的，下面用構(gòu)造證明法給以證明。證明p r前提引入?r前提引入 ?p拒取式 ?q p前提引入 ?q拒鄧式 q置理1 19 本題可以用多種方法求解，根據(jù)要求回答問題，解本題最好的方法是真值表示或主析取范式法。這里采用主析取范式的主析取范式（過程略）23p (q ?r)? m2 m4 m5 m6m7所以，成真賦值為 010， 100，101，110，111，由給也，成假賦值為 000， 001，011，由給出，公式是非重言式的可滿足式，由給出。1 20答案A ：；B：；C：分析解

38、本題的方法不限于求主析取范式或主合取范式，也可以利用真值表法。方法 1： 求主析取范式?(p q) r學(xué)習(xí)必備歡迎下載? (p q) r? (p q) (r ?r) (p ?p) (q?q) r? m1 m3 m5 m6m7從上式可知， ?(pq) r 的主析取范式中含5 個(gè)極小項(xiàng)。 極小項(xiàng)角碼的二進(jìn)制表示為成真賦值，因而成真賦值為001，011，101， 110，111。由成真賦值立即可知成假賦值為000，010， 100，成假賦值的十進(jìn)制的十進(jìn)表示為極大項(xiàng)的角碼，因而極大項(xiàng)為M0,M2,M4 ，故有 3 個(gè)極大項(xiàng)。方法 2：求主合取范式，分析類似主析取范式法。方法 3：真值表法由真值表， 求出成真賦值， 將成真賦值轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)做為極小項(xiàng)的角碼，這樣就求出