第十章偏微分方程數(shù)值解法

1、第十章 偏微分方程數(shù)值解法偏微分方程問題，其求解十分困難。除少數(shù)特殊情況外，絕大多數(shù)情況均難以求出精確解。因此，近似解法就顯得更為重要。本章僅介紹求解各類典型偏微分方程定解問題的差分方法。§1 差分方法的基本概念1.1 幾類偏微分方程的定解問題橢圓型方程：其最典型、最簡(jiǎn)單的形式是泊松（Poisson）方程特別地，當(dāng)時(shí)，即為拉普拉斯（Laplace）方程，又稱為調(diào)和方程 Poisson方程的第一邊值問題為 其中為以為邊界的有界區(qū)域，為分段光滑曲線，稱為定解區(qū)域，分別為，上的已知連續(xù)函數(shù)。第二類和第三類邊界條件可統(tǒng)一表示為 其中為邊界的外法線方向。當(dāng)時(shí)為第二類邊界條件，時(shí)為第三類邊界條件

2、。 拋物型方程：其最簡(jiǎn)單的形式為一維熱傳導(dǎo)方程方程可以有兩種不同類型的定解問題：初值問題初邊值問題 其中，為已知函數(shù)，且滿足連接條件邊界條件稱為第一類邊界條件。第二類和第三類邊界條件為 其中，。當(dāng)時(shí)，為第二類邊界條件，否則稱為第三類邊界條件。雙曲型方程:最簡(jiǎn)單形式為一階雙曲型方程物理中常見的一維振動(dòng)與波動(dòng)問題可用二階波動(dòng)方程描述，它是雙曲型方程的典型形式。方程的初值問題為邊界條件一般也有三類，最簡(jiǎn)單的初邊值問題為 1.2 差分方法的基本概念差分方法又稱為有限差分方法或網(wǎng)格法，是求偏微分方程定解問題的數(shù)值解中應(yīng)用最廣泛的方法之一。它的基本思想是：先對(duì)求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域用有

3、限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通過(guò)用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無(wú)限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解（數(shù)值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解問題一般需要解決以下問題：（1）選取網(wǎng)格； （2）對(duì)微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式； （4）討論差分格式解對(duì)于微分方程解的收斂性及誤差估計(jì)。下面，用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明用差分方法求解偏微分方程問題的一般過(guò)程及差

4、分方法的基本概念。設(shè)有一階雙曲型方程初值問題。 （1） 選取網(wǎng)格： 2h -h 0 h 2h 3h首先對(duì)定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，最簡(jiǎn)單常用一種網(wǎng)格是用兩族分別平行于軸與軸的等距直線，將分成許多小矩形區(qū)域。這些直線稱為網(wǎng)格線，其交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，也稱為節(jié)點(diǎn)，和分別稱作方向和方向的步長(zhǎng)。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。（2） 對(duì)微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即 其中。方程 在節(jié)點(diǎn)處可表示為 其中。由于當(dāng)足夠小時(shí)，在式中略去，就得到一個(gè)與方程相近似的差分方程 此處，可看作是問題的解在節(jié)點(diǎn)處的近似值。同初值條件 結(jié)合，就得到求問題的數(shù)值解的差分格式。式 稱為差分方程的截

5、斷誤差。如果一個(gè)差分方程的截?cái)嗾`差為，則稱差分方程對(duì)是階精度，對(duì)是階精度的。顯然，截?cái)嗾`差的階數(shù)越大，差分方程對(duì)微分方程的逼近越好。若網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨于0，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分方法求解偏微分方程問題的必要條件。如果當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分格式的解收斂到相應(yīng)微分方程定解問題的解，則稱這種差分格式是收斂的。§2 橢圓型方程第一邊值問題的差分解法本節(jié)以Poisson方程為基本模型討論第一邊值問題的差分方法。2.1 差分格式的建立 考慮Poisson方程的第一邊值問題取分別為方向和方向的步長(zhǎng)，如圖所示，以兩族平行線，將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格

6、。節(jié)點(diǎn)的全體記為。定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，記內(nèi)點(diǎn)集為。邊界與網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為。與節(jié)點(diǎn)沿方向或方向只差一個(gè)步長(zhǎng)的點(diǎn)和稱為節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)。如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于，稱為正則內(nèi)點(diǎn)，正內(nèi)點(diǎn)的全體記為，至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于的內(nèi)點(diǎn)稱為非正則內(nèi)點(diǎn)，非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為。問題是要求出第一邊值問題在全體內(nèi)點(diǎn)上的數(shù)值解。為簡(jiǎn)便，記，。對(duì)正則內(nèi)點(diǎn)，由二階中心差商公式 Poisson方程 在點(diǎn)處可表示為其中 為其截?cái)嗾`差表示式，略去，即得與方程相近似的差分方程 式中方程的個(gè)數(shù)等于正則內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而未知數(shù)則除了包含正則內(nèi)點(diǎn)處解的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點(diǎn)處的近似值，因而方程個(gè)數(shù)

7、少于未知數(shù)個(gè)數(shù)。在非正則內(nèi)點(diǎn)處Poisson方程的差分近似不能按上式給出，需要利用邊界條件得到。邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡(jiǎn)單的兩種。（1）直接轉(zhuǎn)移用最接近非正則內(nèi)點(diǎn)的邊界點(diǎn)上的值作為該點(diǎn)上值的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。例如，點(diǎn)為非正則內(nèi)點(diǎn)，其最接近的邊界點(diǎn)為點(diǎn)，則有 上式可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處的近似值，容易求出，其截?cái)嗾`差為。將上式代入，方程個(gè)數(shù)即與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等。 （2）線性插值這種方案是通過(guò)用同一條網(wǎng)格線上與點(diǎn)相鄰的邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)作線性插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處值的近似。由點(diǎn)與的線性插值確定的近似值，得 其中，其截?cái)嗾`差為。將其與方程相近似的差分方程聯(lián)立，得到方

8、程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得Poisson方程第一邊值問題的數(shù)值解。上面所給出的差分格式稱為五點(diǎn)菱形格式，實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常取，此時(shí)五點(diǎn)菱形格式可化為 簡(jiǎn)記為 其中。例1 用五點(diǎn)菱形格式求解拉普拉斯（Laplace）方程第一邊值問題其中。取。 （0,0） (1,0) (2,0) (3,0)解網(wǎng)格中有四個(gè)內(nèi)點(diǎn)，均為正則內(nèi)點(diǎn)。由五點(diǎn)菱形格式，得方程組 代入邊界條件其解為 ，當(dāng)時(shí)，對(duì) 利用點(diǎn)，構(gòu)造的差分格式，稱為五點(diǎn)矩形格式，簡(jiǎn)記為 其中，其截?cái)嗾`差為 五點(diǎn)菱形格式與矩形格式的截?cái)嗾`差均為，稱它們具有二階精度。如果用更多的點(diǎn)構(gòu)造差分格式，其截?cái)嗾`差的階數(shù)可以提高，如利用菱形格式及矩形

9、格式所涉及的所有節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的九點(diǎn)格式就是具有四階精度的差分格式。§3 拋物型方程的差分解法以一維熱傳導(dǎo)方程為基本模型討論適用于拋物型方程定解問題的幾種差分格式。3.1 差分格式的建立首先對(duì)平面進(jìn)行網(wǎng)格剖分。分別取為方向與方向的步長(zhǎng)，用兩族平行直線，將平面剖分成矩形網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)為。為簡(jiǎn)便，記，。（一）微分方程的差分近似 在網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)處，對(duì)分別采用向前、向后及中心差商公式一維熱傳導(dǎo)方程可分別表示為 由此得到一維熱傳導(dǎo)方程的不同差分近似 上述差分方程所用到的節(jié)點(diǎn)各不相同。其截?cái)嗾`差分別為，和。因此，它們都與一維熱傳導(dǎo)方程相容。如果將式中的用代替，則可得到又一種差分近似 差分方程用到四個(gè)節(jié)點(diǎn)。由

10、Taylor公式容易得出故其的截?cái)嗾`差為。因而不是對(duì)任意的，此差分方程都能逼近熱傳導(dǎo)方程，僅當(dāng)時(shí)，才成立。綜上可知，用不同的差商公式可以得到微分方程的不同的差分近似。構(gòu)造差分格式的關(guān)鍵在于使其具有相容性、收斂性和穩(wěn)定性。前面三個(gè)方程都具有相容性，而此方程則要在一定條件下才具有相容性。（二）初、邊值條件的處理 為用差分方法求解定解問題初值問題 初邊值問題還需對(duì)定解條件進(jìn)行離散化。 對(duì)初始條件及第一類邊界條件，可直接得到 其中對(duì)第二、三類邊界條件 需用差分近似。下面介紹兩種較簡(jiǎn)單的處理方法。（1） 在左邊界處用向前差商近似偏導(dǎo)數(shù)，在右邊界處用向后差商近似，即 則得邊界條件的差分近似為 其截?cái)嗾`差為

11、。 （2）用中心差商近似,即 則得邊界條件的差分近似為 其截?cái)嗾`差為。誤差的階數(shù)提高了，但出現(xiàn)定解區(qū)域外的節(jié)點(diǎn)和，這就需要將解拓展到定解區(qū)域外?？梢酝ㄟ^(guò)用內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的值插值求出和，也可以假定熱傳導(dǎo)方程在邊界上也成立，將差分方程擴(kuò)展到邊界節(jié)點(diǎn)上，由此消去和。 （三）幾種常用的差分格式以熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題為例給出幾種常用的差分格式。（1）古典顯式格式令，則 可改寫成 將其與初始條件及第一類邊界條件 結(jié)合，我們得到求解此問題的一種差分格式 由于第0層上節(jié)點(diǎn)處的值已知，由此即可算出在第一層上節(jié)點(diǎn)處的近似值。重復(fù)使用此式，可以逐層計(jì)算出所有的，因此此差分格式稱為古典顯式格式。又因式中只出現(xiàn)相鄰兩個(gè)時(shí)間

12、層的節(jié)點(diǎn)，故此式是二層顯式格式。 （2）古典隱式格式 將式 整理并與初始條件及第一類邊界條件式聯(lián)立，得差分格式如下 其中。雖然第0層上的值仍為已知，但不能由上式直接計(jì)算以上各層節(jié)點(diǎn)上的值，必須通過(guò)解下列線性方程組 才能由計(jì)算，故此差分格式稱為古典隱式格式。此方程組是三對(duì)角方程組，且系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故解存在唯一。 （3）Richardson格式Richardson格式是將式整理后與初始條件及第一類邊界條件式聯(lián)立。其計(jì)算公式為 這種差分格式中所涉及的節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在三層上，故為三層顯式格式。Richardson格式是一種完全不穩(wěn)定的差分格式，因此它在實(shí)際計(jì)算中是不能采用的。 （4）杜福特-弗蘭克爾

13、（DoFort-Frankel）格式DoFort-Frankel格式也是三層顯式格式，它是由式與初始條件及第一類邊界條件式結(jié)合得到的。具體形式如下：用這種格式求解時(shí)，除了第0層上的值由初值條件得到，必須先用二層格式求出第1層上的值，然后再按上式逐層計(jì)算。 （5）六點(diǎn)隱式格式對(duì)二階中心差商公式如果用在點(diǎn)與點(diǎn)處的二階中心差商的平均值近似在處的值，即 同時(shí)在點(diǎn)處的值也用中心差商近似，即 這樣又得到熱傳導(dǎo)方程的一種差分近似 其截?cái)嗾`差為，將上式與初始條件及第一類邊界條件式聯(lián)立并整理，得差分格式 此格式涉及到六個(gè)節(jié)點(diǎn)，它又是隱式格式，故稱為六點(diǎn)隱式格式。與古典隱式格式類似，用六點(diǎn)格式由第層的值計(jì)算第層的

14、值時(shí)，需求解三對(duì)角方程組 此方程組的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故仍可用追趕法求解。 例2 用古典顯式格式求初邊值問題 的數(shù)值解，取。解 這里，。由格式可得到 將初值代入上式，即可算出將邊界條件，及上述結(jié)果代入又可求得如此逐層計(jì)算，得全部節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值解為 §4 雙曲型方程的差分解法 對(duì)二階波動(dòng)方程如果令，則方程可化成一階線性雙曲型方程組 記，則方程組可表成矩陣形式 矩陣有兩個(gè)不同的特征值，故存在非奇異矩陣，使得作變換，方程組可化為 方程組由二個(gè)獨(dú)立的一階雙曲型方程聯(lián)立而成。因此本節(jié)主要討論一階雙曲型方程的差分解法。4.1幾種簡(jiǎn)單的差分格式 考慮一階雙曲型方程的初值問題 將平面剖分成矩形網(wǎng)格，取方向步長(zhǎng)為方向步長(zhǎng)為，網(wǎng)格線為，。為簡(jiǎn)便，記，。 以不同的差商近似偏導(dǎo)數(shù)，可以得到方程的不同的差分近似 截?cái)嗾`差分別為，與。結(jié)合離散化的初始條件，可以得到幾種簡(jiǎn)單的差分格式 其中。如果已知第層節(jié)點(diǎn)上的值，按上面三種格式就可