高中物理 第1章 機械振動 第3節(jié) 單擺知識導航素材 魯科版選修34

1、第3節(jié)單擺思維繳活 在現(xiàn)代家庭中，經(jīng)常見到落地鐘表、擺鐘等各種形式的機械鐘表，它們有著共同的部件鐘擺.如圖1-3-1所示.不同類型的鐘擺雖然擺動的快慢不同，但都在做等幅振動，那么應該怎樣描述它們的運動呢？鐘擺計時的原理又是什么？圖1-3-1提示：鐘擺計時是利用單擺做簡諧運動時的等時性原理.自主整理一、單擺的運動1.單擺的理想化模型：一根不可伸長且_的細線懸掛一_的裝置，叫單擺.2.單擺的運動特點：擺球以懸掛點為圓心，在豎直平面內沿著以為_中點的一段圓弧做往復運動，它沿圓弧做_圓周運動.3.單擺的回復力：如圖1-3-2所示，擺球受_和_兩個力作用，將重力沿切向和徑向分解，則繩子的_和重力的_的合

2、力提供了擺球做圓周運動所需的向心力，而重力的_提供了擺球振動所需的回復力f=_，在擺角很小時，sin,f的方向可認為與x平行，但方向與位移方向相反，所以回復力可表示為_，令k=_,則_.圖1-3-2 由此可見，單擺在擺角較小的情況下的振動是_.二、單擺的周期1.單擺的周期公式：_，它是荷蘭物理學家_首先發(fā)現(xiàn)的.2.周期公式的使用條件是擺角很小，一般取_.3.決定周期的因素：擺長l是指_的距離，g是指_.單擺做簡諧運動的周期只與l、g有關，與_、_無關，在一定地點_，一定，一定_的周期一定，利用單擺的等時性可制成計時器.三、利用單擺測定重力加速度1.測量原理：由單擺周期公式可得g=_,測出_和_

3、，計算出當?shù)氐闹亓铀俣萭.2.測量中應注意以下幾點：（1）小球擺動時，擺角應_，且應在同一豎直面上擺動.（2）測定擺長l應從懸掛點到小球球心處，用_懸線長，用_測小球直徑.（3）計算單擺的振動次數(shù)時，應以擺球通過最低位置時開始計時，以后擺球從同一方向通過最低位置時計數(shù).（4）用t=計算單擺的周期，但應適當增大單擺擺動的次數(shù).（5）多測幾組l、t的數(shù)據(jù)，分別計算重力加速度，然后取平均值.也可以分別以l和t2為縱坐標和橫坐標，作出函數(shù)g=的圖象，理論上它是一條直線，這條直線的_就等于當?shù)氐闹亓铀俣?高手筆記1.單擺在運動的過程中能量的轉化 如圖1-3-3所示，ao,回復力做正功（重力做正功），

4、重力勢能減小，動能增加，到o時，動能最大，勢能最小；oa，回復力做負功，動能減小，勢能增加，到達a時，動能為零，勢能最大.同理分析ao,oa過程中能量的轉化過程.在此過程中，因為只有重力做功，所以總機械能不變.圖1-3-32.單擺的回復力 單擺振動的回復力是重力在切線方向的分力，或者說是擺球所受合外力在切線方向的分力；擺球所受合外力沿擺線方向的分力作為擺球做圓周運動的向心力.在擺球振動的平衡位置處擺球的回復力為零，合外力指向圓心，即合外力全部充當向心力，在擺球偏離平衡位置最遠處，向心力為零，合外力全部充當回復力.所以單擺的回復力并不是單擺所受的合外力，而只是合外力沿切線方向的分力.名師解惑1.

5、如何確定等效擺長和等效重力加速度？剖析：（1）等效擺長l：擺長l是指擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不一定是擺線的長.例如，在圖1-3-4中，三根等長的繩l1、l2、l3共同系住一密度均勻的小球m，球直徑為d.l2、l3與天花板的夾角30°.若擺球在紙面內做小角度的左右擺動，則擺動圓弧的圓心在o1處，故等效擺長為l1+，周期t1=2;若擺球做垂直紙面的小角度擺動，則擺動圓弧的圓心在o處，故等效擺長為l1+l2sin+，周期t2=2.圖1-3-4（2）等效加速度g:g不一定等于9.8 m/s2. g由單擺所在的空間位置決定.由g=g知，g隨所在地球表面的位置和高度的變化而變化，而且緯

6、度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同. g還由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定，如單擺處在向上加速的升降機中，設加速度為a，則擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧的切向分力變大，則重力加速度的等效值g=g+a，若升降機加速下降，則g=g-a.單擺若在軌道上運行的衛(wèi)星內，擺球完全失重，回復力為零，等效值g=0,擺球不擺動了，周期無窮大. 一般情況下，g值等于擺球相對于加速系統(tǒng)靜止在平衡位置時，擺球所受的張力與擺球質量的比值.2.在用單擺測重力加速度的實驗中，擺球為什么必須在豎直面內擺動？剖析：如圖1-3-5所示，用細線懸吊小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，即細線所掃過的面為圓錐面，通常我們稱

7、為圓錐擺，實質上圓錐擺中的小球不是振動，是做勻速圓周運動.圖1-3-5 設運動過程中細線與豎直方向夾角為，線長為l，則小球做圓周運動的半徑r=l·sin,向心力f向=mgtan由f向=m·r·得圓錐擺的周期t=2 顯然該周期小于單擺周期，所以在用單擺測重力加速度的實驗中，強調擺球必須在豎直面內擺動.講練互動【例題1】下列關于單擺的說法，正確的是（ ）a.單擺擺球從平衡位置運動到正向最大位移處時的位移為a（a為振幅），從正向最大位移處運動到平衡位置時的位移為-ab.單擺擺球的回復力等于擺球所受的合外力c.單擺擺球的回復力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力d.單擺擺球經(jīng)過

8、平衡位置時加速度為零解析：簡諧運動中的位移是以平衡位置作為起點，擺球在正向最大位移處時位移為a，在平衡位置時位移應為零，故a錯.擺球的回復力是由合外力沿圓弧切線方向的分力（等于重力沿圓弧切線方向的分力）提供，故b錯，c對.擺球經(jīng)過平衡位置時回復力為零，但向心力不為零，所以合外力不為零，加速度也就不為零，故d錯.答案：c黑色陷阱 本題易錯選為bcd，由于做簡諧運動時，彈簧振子所受到的合外力是回復力，所以也把單擺所受的合外力當作回復力.解決本題時，分清單擺做簡諧運動的回復力與所受的合外力是解決本題的關鍵.變式訓練1關于單擺，下列說法中正確的是（ ）a.擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置b.擺球受

9、到的回復力是它的合外力c.擺球經(jīng)過平衡位置時，所受的合外力為零d.擺角很小時，擺球受的合外力的大小跟擺球對平衡位置的位移大小成正比解析：單擺的回復力不是它的合外力，而是重力沿圓弧方向的分力；當擺球運動到平衡位置時，回復力為零，但合外力不為零，因為小球還有向心力，方向指向懸點（即指向圓心）；另外擺球所受的合外力與位移大小不成正比.答案：a2關于單擺擺球在運動過程中的受力，下列結論正確的是（ ）a.擺球受重力、擺線的張力、回復力、向心力作用b.擺球受的回復力最大時，向心力為零；回復力為零時，向心力最大c.擺球受的回復力最大時，擺線中的張力大小比擺球的重力大d.擺球受的向心力最大時，擺球的加速度方向

10、沿擺球的運動方向解析：單擺在運動過程中，擺球受重力和繩的拉力，故a錯.重力垂直于繩的分力提供回復力.當回復力最大時，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則拉力小于重力，在平衡位置處，回復力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿繩指向懸點，故c、d錯，b對.答案：b【例題2】若單擺的擺長不變，擺球的質量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置時的速度減小為原來的1/2，則單擺振動的（ ）a.頻率不變，振幅不變 b.頻率不變，振幅改變c.頻率改變，振幅改變 d.頻率改變，振幅不變解析：由單擺的周期公式t=2,因l不變，故t不變，f=不變；當l一定時，單擺的振幅a取決于偏角，根據(jù)機械能守恒定律

11、，擺球從最大位移處到平衡位置mgl(1-cos)=mv2得v2=2gl(1-cos)，與m無關； 由擺球通過最低點的速度減小知單擺的偏角減小，所以振幅減小.所以正確選項為b.答案：b綠色通道按照定義，振幅a應為圖1-3-6中擺球在離平衡位置o最遠點p時弦的長度.因5°,故弦與弧幾乎重合，所以、以及的長度都可以看成是振幅（o與p等高且在懸點正下方）.越大，振幅a越大.圖1-3-6變式訓練3一單擺的周期t0=2 s，則在下述情況下它的周期t是多少？（1）擺長變?yōu)樵瓉淼?/4，t=_s.（2）擺球質量減半，t=_s.（3）振幅減半，t=_s.解析：由單擺的周期公式t=2,t,所以l=l0,

12、t=1 s;單擺的周期t與質量、振幅無關，所以t=t0=2 s.答案：（1）1 （2）2 （3）2【例題3】有一單擺，其擺長l=1.02 m，擺球的質量m=0.10 kg，已知單擺做簡諧運動，單擺振動30次用的時間t=60.8 s，試求：（1）當?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅浚?）如果將這個擺改為秒擺，擺長應怎樣改變？改變多少？解析：由單擺的周期公式可求得g，秒擺是周期為2 s的單擺，根據(jù)t,可求出秒擺的擺長.（1）當單擺做簡諧運動時，其周期公式t=2，由此可得g=42l/t2,只要求出t值代入即可.因為t=s=2.027 s所以g=42l/t2=(4×3.142×1.02)/2.

13、0272 m/s2=9.79 m/s2.（2）秒擺的周期是2 s，設其擺長為l0，由于在同一地點重力加速度是不變的，根據(jù)單擺的振動規(guī)律有：,故有：l0=m=0.993 m.其擺長要縮短l=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m.答案：(1)9.79 m/s(2)其擺長要縮短0.027 m.綠色通道 單擺的周期公式t=2是在當單擺做簡諧運動的條件下才適用的.改變單擺的擺長能改變單擺的周期，同一單擺在重力加速度不同的兩地周期也不相同.單擺的周期與單擺的振幅無關，與擺球的質量也無關，另外根據(jù)周期公式的變形式g=還可以測重力加速度.變式訓練4一個單擺，在第一個行星上的周期為t1，在第二

14、個行星上的周期為t2，若這兩個行星的質量之比m1m2=41,半徑之比r1r2=21,則（ ）a.t1t2=11 b.t1t2=41 c.t1t2=21 d.t1t2=12解析：單擺的周期公式為t=2,同一單擺即有t.又據(jù)萬有引力定律mg=g,有g=，因此t,故t1t2= =12.答案：d5某同學要利用單擺測定重力加速度,但因無游標卡尺而沒有辦法測定擺球直徑,他將擺球用不可伸長的細線懸掛起來后,改變擺線的長度測了兩次周期,從而算出了重力加速度,則計算重力加速度的公式是（ ）a. b. c. d.解析：設擺球重心到球與擺線連接點距離為d,兩次測得擺線長分別為l1和l2，對應周期為t1和t2.則有g

15、=,g=.兩式聯(lián)立可得g=.答案：b體驗探究【問題1】利用單擺測定重力加速度實驗中產(chǎn)生誤差的原因是什么？應如何糾正？ 導思：由實驗原理g=結合實際操作去分析. 探究：（1）擺長l的誤差：測擺長時應是擺線的懸點到球心的距離，除了測量中刻度尺測量所帶來的誤差外，懸點的松緊，線的彈性大小也會造成誤差.這時可選用形變量小的細繩，且在懸點處把繩子系緊，避免松動，掛上擺球，使繩在張緊過程中測量.（2）周期t的誤差：記清擺球過平衡位置的次數(shù)n，時間t,則周期應為t=,為減小誤差，n應在30次50次之間.（3）擺角的選取.在理論上，當單擺的擺角小于5°時擺球做簡諧運動，而在實際中，擺角小于5

16、6;的單擺，其運動細節(jié)很難觀察，且實際中阻力的存在，使擺幅越來越小，給測量帶來困難.這時可在擺角為15°以內的情況下研究單擺的運動，此時由于角度而引起的相對誤差為0.5%左右，這在中學物理實驗中是允許的.（4）在擺球做振動時，釋放擺球時不要用力，且注意擺球與懸點在同一豎直面內，否則擺球在擺動中會做圓錐擺運動.【問題2】利用所學知識探究擺鐘快慢的原因. 導思：擺鐘是單擺做簡諧運動的一個典型應用，其快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的. 探究：（1）由擺鐘的機械構造所決定，鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走時準確的擺鐘的周期t.（2）在擺鐘機械構造不變的前提下，走時快的

17、擺鐘，在給定時間內全振動的次數(shù)多，周期小，鐘面上顯示的時間快.走時慢的擺鐘，給定時間內全振動的次數(shù)少，周期大，鐘面上顯示的時間就慢.因鐘面顯示的時間總等于擺動次數(shù)乘以準確擺鐘的周期ts，即t顯=n·ts,所以在同一時間t內，鐘面指示時間之比等于擺動次數(shù)之比.（3）無論擺鐘走時是否準確，鐘面上顯示的時間t顯=n·ts，其中ts為走時準確的擺鐘的周期，n為全振動的次數(shù).對于走時不準確的擺鐘，要計算其全振動的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時間除以其周期，而應以準確時間除以其周期，即n非=t/t非.教材鏈接【討論與交流】(課本13頁) 可用沙擺畫出單擺的振動圖象.如圖1-3-7所示，當盛沙漏斗下面的薄木板n被勻速地拉出時，擺動著的漏斗中漏出的沙在板上形成曲線，顯示出擺的位移隨時間變化的關系，板上直線oo1代表時間軸