常系數(shù)遞推數(shù)列的解法探究

1、常系數(shù)遞推數(shù)列的解法探究數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 陳朝斌，指導(dǎo)教師：吳立寶（按教務(wù)處要求，本次畢業(yè)論文電子文檔將使用'中國知 網(wǎng)'大學(xué)生論文抄襲檢測系統(tǒng)進行檢測。為便于此工作開 展，請在學(xué)生論文電子文檔定稿前增加這樣一頁，內(nèi)容為: 論文題目和作者信息，并且本次論文上交的電子文檔只能 為一個word文檔，不能把目錄、摘要、正文分成多個 word文檔，請嚴格按照模板格式排好目錄、摘要、正文, 本頁不用打印。為此給各位指導(dǎo)老師帶來的不便表示歉摘要（四號黑體不加粗）abstract(1引言11.1小四號黑體不加粗11.1.1小四號仿宋體加粗12閉區(qū)間套定理在心的推廣23閉區(qū)間套

2、定理在一般度量空間上的推廣44閉區(qū)間套定理在卍上的推廣55閉區(qū)間套定理的應(yīng)用舉例7結(jié)束語參考文獻8致謝9（注：口錄不加頁碼；%1 中、英文摘要加頁碼，用羅馬數(shù)字：i, ii%1 正文另行加頁碼,用阿拉伯?dāng)?shù)字：1, 2, 3,）摘 要（四號黑體不加粗）：在介紹了閉區(qū)間套定理的基礎(chǔ)上，通過綜合應(yīng)用類比法、分析法、演繹推理法將閉區(qū)間套定理進行了推廣，得到了嚴格開區(qū)間套定理 和嚴格半開半閉區(qū)間套定理以及一般完備度量空間上的閉集套定理和常用完備度量空 間上的閉集套定理，并給出了這些定理的證明.結(jié)合典型例題，分析、討論了閉區(qū)間 套定理及推廣后的閉集套定理的實際應(yīng)用，說明了閉區(qū)間套定理不僅具有重要的理論 意

3、義，而且還有很好的應(yīng)用價值.（小四號仿宋體不加粗，“摘要”字數(shù)須300字以上）關(guān)鍵詞（u!號黑體不加粗）：閉區(qū)間套定理；嚴格開區(qū)間套定理；推廣；應(yīng)用（小四號仿宋體不加粗，關(guān)鍵詞的個數(shù)：35個）abstract（四號 times new roman 體加粗）：the theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series

4、of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified the real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of

5、closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.（小四號 times new roman 體不力口粗）key words （四號 times new roman 體加粗）： theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval;

6、 extension; application （小四號 times new roman體不加粗，每個關(guān)鍵詞開頭字母均不大寫，結(jié)尾處無標(biāo)點符號）1引言（一級標(biāo)題四號黑體不加粗，段前斷后空0.5行.）1.1小四號黑體不加粗（二級標(biāo)題小四號黑體不加粗，段前斷后不空行）1.1.1小四號仿宋體加粗（三級標(biāo)題小四號仿宋體加粗，段前斷后不空行）說明：（1）全文要求：行距：最小值22磅;頁邊距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、 下1.8cm、頁眉1.2cm、頁腳1.5cm；頁眉中，若是論文就刪去“設(shè)計”二字，若是設(shè) 計就刪去“論文”二字.（2）各級標(biāo)題一律頂格，標(biāo)題末尾不加標(biāo)點符號.（3）正文屮所

7、引用的文獻應(yīng)加尾注，以文獻在文屮岀現(xiàn)的先后順序依次編號為：1 , 2,，某種文獻中的內(nèi)容被多次引用時以第一次出現(xiàn)時的序號為準(zhǔn)，即一種文 獻只有一個序號，可以重復(fù)出現(xiàn).添加尾注的格式如下：愛因斯坦說：提出一個問題往往比解決一個問題更重要山.愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要” tlj.愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要（4）正文中出現(xiàn)的圖象與表格以編號（依出現(xiàn)的先后順序編號）的方式分別加以 命名.圖象：圖1,圖2,表格：表一，表二，（5）行文要符合文法格式，每段開頭應(yīng)空兩個漢字的位置.若一行中只有符號表 達式，則可以居中或居中偏左.（6）正文中所有的標(biāo)點符號，一律

8、用全角；句號用閉區(qū)間套定理是實分析屮的一個重要定理，它同聚點定、冇限覆蓋定理、確界原理、 數(shù)列的單調(diào)有界定理和cauchy收斂準(zhǔn)則一樣都反映了實數(shù)的完備性，也是學(xué)習(xí)實變函 數(shù)、復(fù)變函數(shù)、點集拓撲學(xué)等課程的基礎(chǔ).由于它具有較好的構(gòu)造性，因此閉區(qū)間套 定理在證明與實數(shù)相關(guān)的命題屮有廣泛的應(yīng)用，如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必冇最大 值和最小值、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù)、閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)的介值性定理 等.故閉區(qū)間套定理不僅有重要的理論價值，而且具有很好的應(yīng)用價值.為了增大閉 區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍，從閉區(qū)間套定理的概念出發(fā)，綜合運用類比分析法、演繹推 理法推廣該定理.首先，將閉區(qū)間套定理在一維空間加以

9、推廣，形成嚴格開區(qū)間套定理和嚴格半開 半閉區(qū)間套定理，增大了區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍.緊接著結(jié)合一般完備度量空間的特 性，即正定性、對稱性、三角不等式性和完備性，把閉區(qū)間套定理在一般完備度量空 間上推廣，形成一般完備度量空間上的閉集套定理，從而把一維空間上的情景推廣到 了更一般化的完備度量空間，使得區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍更為廣泛，并且給出了常用 度量空間川上的閉集套定理.最后結(jié)合一些實例分析說明閉區(qū)間套定理的應(yīng)用，比如 證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界、單調(diào)有界定理等，通過構(gòu)造滿足題意的閉區(qū)間列， 再應(yīng)用閉區(qū)間套定理證明存在滿足題意的點.從實際例題屮述可以看出閉區(qū)間套定理 反映了實數(shù)的稠密性，所以閉區(qū)間

10、套定理連同其在一般完備度量空間上推廣后的閉集 套定理在證明與實數(shù)理論相關(guān)命題時發(fā)揮著重要的作用.2閉區(qū)間套定理在尺的推廣康托給分析建立了嚴格的集合論基礎(chǔ).而在對實數(shù)連續(xù)性的描述中，閉區(qū)間套定 理是一個基本的定理.因此，在對該定理推廣前有必要先回顧一下閉區(qū)間套定理的內(nèi) 容.定義2. 1設(shè)%,乞 3 = 1,2,3,）是7?中的閉區(qū)間列，如果滿足：+m+ju色，仇,n = l,2,3,.；（2）limq色）=0；則稱色,仇為r中的一個閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套定理2. 12（閉區(qū)間套定理）若%&是一個閉區(qū)間套，貝ij存在惟一一點使 得ean,btl（斤=1,2,3,），且lime = mbh

11、= § .nsnfg推論2. 13若張色也s = i,2,3,）是區(qū)間套%,$確定的點，貝i對任意正 數(shù)存在自然數(shù)n,當(dāng)n>n時，總有色心u （§,£）定義2. 2設(shè)（色也） 5 = 1,2,3,）是r中的開區(qū)間列，如果滿足：（1）a <a2 < - <an < <bn < bn_ <<&,農(nóng)=1,2,3,；（2）lim（化色）=0；htqo則稱（"”）為r屮的一個嚴格開區(qū)間套定理2. 2 （嚴格開區(qū)間套定理）若（陽,化）是/?屮的一個嚴格開區(qū)間套，則存在 惟一一點,使得gw （%也）,農(nóng)=1

12、,2,3,，且lima” = limb” = g ./?>co"too證明由定義2.2條件（1）,仏是一個嚴格遞增月冇上界的數(shù)列.由單調(diào)冇界定 理,匕有極限，不妨設(shè)lima = §,/?>co且< g，= 1,2,3,-同理嚴格遞減有下界的數(shù)列仇也有極限.由定義2. 2條件（2）應(yīng)有l(wèi)im“ = lima” = g ,ps”t8且b” > g , 71 = 1,2,3, 從而存在百仇）（兀= 1,2,3,）最后證明唯一性.假如另有使得$列色,乞），“1,2,3,，那么有 仇-,心1,2,3,.在上述不等式兩邊取極限，有x-日wlim（仇一色）=0即0

13、故原命題成立.定義2.3 設(shè)%也) 5 = 1,2,3,)是/?中的半閉半開區(qū)間列，如果滿足：(1) wo? ww v仇 <b“7 <</?, = 1,2,3,；(2) lim(化) = 0；xtoo則稱d”,仇)為r中的一個嚴格半閉半開區(qū)間套注：類似可以定義嚴格半開半閉區(qū)間套(陽血定理2. 3 (嚴格半開半閉區(qū)間套定理)如果(色,仇;)是/?中的一個嚴格半開半閉 區(qū)間套，則存在惟一一點使得gh = 1,2,3,，且hman = hmhh = § .mgn->cc仿定理2. 2的證明即可.3閉區(qū)間套定理在一般度量空間上的推廣完備度量空間具冇正定性、對稱性、三角

14、不等式性和完備性.具體到序列，指的 是該序列除了滿足一般度量空間的耍求，還應(yīng)在該空間上收斂.這樣閉區(qū)間套定理就 叮以在一般度量空間上進行推廣.定義3.1設(shè)h是一個非空集合，在h上定義一個雙變量的實值函數(shù)°(x,y),對 任意的x,y,ze h ,有:(1) (正定性)p(兀,y)mo,并且p(x,y) = 0當(dāng)且僅當(dāng)x = y成立;(2) (對稱性)p(x,y) = p(y,x)；(3) (三角不等式)/?(兀,y) wp(x,z) + /?(z,y);則稱h為一個度量空間.定義3.2設(shè)f是度量空間h屮的一個子集，對于f屮的任意點列入,若當(dāng)q(£-xo)to (htoo),

15、有x.ef f則稱f為閉集.定義3. 36設(shè)（x,°）是一度量空間.x屮的一個序列無，若對任意的實數(shù) £0,存在整數(shù)n >0 ,使得當(dāng)z, j> n時，有pgxj）<£ ,則稱匕炫為一個cauchy 序列.定義3. 47如果對度量空間（x,°）中x的每一個cauchy序列都收斂，則稱 （x,°）是一個完備度量空間.定理3.17設(shè)你是完備度量空間h上的閉集列，如果滿足：（1）丘二臨】（"1，2,3,）；（2）hmd（fn） = o（d（fn）= sup則在h中存在唯一一點歹，使得g w 化,刃= 1,2,3,證明 任意

16、取樣小的點列兀,當(dāng)加 >吋，有fm（= fn,所以£ % $ 代，。（兀，兀 ”）w （巧,）t 0 t oo） 即對于任意給定的實數(shù)£0,存在整數(shù)n>0,使得當(dāng)門n時，有q3，®）v£, 所以?！笔莄auchy序列.又因為打是閉集列，故仇收斂于一點且有§“ = 1,2,3,.現(xiàn)證唯一性.如果另有一點使得介打，兀=1,2,3則由定義3. 1條件（3）, 有p& g w ° （亦）+pg, g w 2d （化）t 0（/1 -> ©,從而歹=了故在h中存在唯一一點、g,使得n = l,2,3,.4閉區(qū)

17、間套定理在尺上的推廣進一步述可以將閉區(qū)間套定理在常用度量空間一實數(shù)空間疋上推廣.為此，先給出一個有用的概念.定義4.1對于任意的x = （x,x2,%）, y =兒）丘川，令°（兀）彳£（兀-汀，則稱°為川空間上的距離.下面驗證對于如上肚義的° ,川做成完備的度量空間.證明 對于任意的兀=（州,兀2,，兀）y = （）“2,，兒），z=（zi，z2，,z）wr"= p(”x) j£（z,r）2no,并冃。（兀，刃二0當(dāng)冃僅當(dāng)乞=牙.（心1,2,），即兀=廠(2) p(x9y) = jx(xiyi)2 = 令u. = yf -%.和v.

18、 = z. - x由schwarz不等式可以得到£仏+叮s +2 j£%2吃匕2 +亍匕2 ./=!<=1v i=l v i=l /=!)2+所以。滿足度屋的定義，又川是完備的，故川是一個完備的度量空間.于是根拯前面的論述，可以得到實數(shù)空間rn的閉集套定理:定理4.1設(shè)代是川上的閉集列，如果:（0 fn =）fn+l, n = l,2,3；（2） limd（巴）= 0（d（化）=sup則在川屮存在唯一一點歹，使得弘樣， =1,2,3，.5閉區(qū)間套定理的應(yīng)用舉例閉區(qū)間套圮理證明命題的基本思路是分劃區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間套，從而找到屬于每一 個區(qū)間的公共點.下面就舉幾個例子說明這

19、一思路.例1證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界.分析 這個命題如果從正面入手利用閉區(qū)間套眾理證明比較困難，但是如果從反 面著手，即假設(shè)/在s問上無界，即對任意m>0,存在xqea9bf有則 等分區(qū)間后至少有一個子區(qū)間上于（兀）無界，記為性質(zhì)p繼續(xù)等分那個無界的區(qū)間， 可得到如上的性質(zhì)p無限次重復(fù)上述步驟可構(gòu)造一個滿足題意的閉區(qū)間套，由閉區(qū) 間套定理可以推出f（x）<m ,這與假設(shè)矛盾，從而證明原命題成立.證明 我們用反證法設(shè)函數(shù)/（x）在d問上連續(xù)，假設(shè)/（兀）在閉區(qū)間。,列上無界.將區(qū)間二等分，即取“問的中點凹，貝ij 6z,和中至少有一個區(qū)2 2 2間使得/在其上無界.（若兩個都使/

20、無界，則任取其小一個），記為mq,且再將血等分為兩個區(qū)間，同樣其中至少有一個子區(qū)間上/（兀）無界，記為a2,b2,且szeluuq, b2-a2 =*(b| -aj = *(b_a)jj無限次重復(fù)上述步驟，便得到一個閉區(qū)間列%,$,其中每一個區(qū)間色也有如下特性：a,/?二,也=>=）色,仇=）色+,%+=）,且bn -an =*（b-d）t002too） 及/（x）在陽如上無界.由區(qū)間套加理，存在一點張（也）5 = 1,2,3,），且lima“ = limb” = g ./>co"too又/（兀）在歹連續(xù)，則對任意的£>0,存在5>0,當(dāng)兀5,歹+ 5）時，有/一 £</©)</(§) + £令m =max©-£|,/(§) + 刮,則fm < m .由推論1,取n充分大可使色也u(5g + 5),上述不等式與/在閉區(qū)間 an,梯上無界矛盾.故f(x)在閉區(qū)間"問上有界.以下內(nèi)容省略結(jié)束語通過對閉區(qū)間套立理的簡單分析探究，常握了該疋理的結(jié)構(gòu)形式，學(xué)習(xí)了運用類 比的思維方法推廣該建理的過程，分析討論了閉區(qū)間套建理的實際應(yīng)用.首先將閉區(qū)間套