高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.3二倍角的三角函數(shù)2課件1北師大版必修

1、3.3 二倍角的三角函數(shù)(二)1.:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin() sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan 2.2.二倍角公式二倍角公式22222sin2 2sincos ;cos2cossin12sin2cos12tantan21tan 這些公式是否還有其他的變形，請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的這些公式是否還有其他的變形，請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！學(xué)習(xí)！1 1. .能夠由倍角公式推導(dǎo)出半角公式能夠由倍角公式推導(dǎo)出半角公式. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2 2. .能較熟練地運(yùn)用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明能較熟練地運(yùn)用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明, ,了解

2、公式的各種變形，并能夠熟練應(yīng)用了解公式的各種變形，并能夠熟練應(yīng)用. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3 3. .能夠運(yùn)用半角公式解決一些實(shí)際問題能夠運(yùn)用半角公式解決一些實(shí)際問題. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cos.sin 例例1 1 利用二倍角公式證明：利用二倍角公式證明：2222cos212sincos22cos1cos12sin;22cos2cos1;21cossin;221coscos;22 在在二二倍倍角角公公式式 中中，用用代代替替 得得 由由此此證證明明 得得 1costan.21cos用用上上面面兩兩個(gè)個(gè)公公式式兩兩邊邊分分別

3、別相相除除，可可得得： sinsin2cossin222tan21coscoscos2cos222sinsin2sin1cos222tan.2sincoscos2sin222 ；又根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得：又根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得：這樣我們就得到另外兩個(gè)公式：這樣我們就得到另外兩個(gè)公式：sintan21cos1costan.2sin ；以上我們得到的五個(gè)有關(guān)半角三角函數(shù)的公式，以上我們得到的五個(gè)有關(guān)半角三角函數(shù)的公式，稱之為稱之為半角公式半角公式. .變式練習(xí) 化簡(jiǎn)下列各式：化簡(jiǎn)下列各式： (1)1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos ， 其中其中 32； (2)1cos

4、 cos 2cos 3cos2 sin2 2. 解 (1)32，2234. 1cos 2cos2 2cos 2， 1cos 2|sin 2| 2sin 2. 1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos 1sin 2cos 2sin 21sin 2sin 2cos 2 cos 2sin 22 2cos 2sin 2sin 2cos 222sin 2cos 2 2cos 2. (2)1cos cos 2cos 3cos2sin2 2 1cos 2cos2cos2cos21cos 2 2cos22cos 2cos 2cos2cos 122cos cos cos 22cos2cos 1

5、2 2cos cos 2cos212cos2acos 124cos . 122322.4（ ）左左邊邊角角是是右右邊邊角角的的一一半半. .（ ）左左邊邊是是的的三三角角函函數(shù)數(shù)一一次次式式，右右邊邊是是含含有有 的的三三角角函函數(shù)數(shù)的的根根式式. .（ ）根根號(hào)號(hào)前前面面的的符符號(hào)號(hào)由由所所在在象象限限相相應(yīng)應(yīng)的的三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào)確確定定，如如果果所所在在象象限限無無法法確確定定，則則應(yīng)應(yīng)保保留留根根號(hào)號(hào)前前面面的的正正、負(fù)負(fù)兩兩個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào)（ ）有有理理式式，余余弦弦和和式式在在分分母母，差差式式在在分分子子. . 1.1.半角公式的特征與記憶：半角公式的特征與記憶：總結(jié)提

6、升：總結(jié)提升：2.2.半角公式的作用：半角公式的作用：（1 1）半角公式的作用在于用單倍角的三角）半角公式的作用在于用單倍角的三角函數(shù)來表達(dá)半角的三角函數(shù)，它適用于單倍函數(shù)來表達(dá)半角的三角函數(shù)，它適用于單倍角與半角的三角函數(shù)之間的互化問題角與半角的三角函數(shù)之間的互化問題. .（2 2）半角公式是從二倍角公式中，將）半角公式是從二倍角公式中，將 用用 代替推導(dǎo)出來的，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)的二倍代替推導(dǎo)出來的，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)的二倍角公式角公式. .2 3 3、關(guān)于公式的幾個(gè)說明：、關(guān)于公式的幾個(gè)說明：（1 1）正弦和余弦函數(shù)的半角公式對(duì)任意角均）正弦和余弦函數(shù)的半角公式對(duì)任意角均成立，對(duì)于正切的半角

7、公式成立，對(duì)于正切的半角公式 21().kkz 半半角角公公式式不不僅僅可可運(yùn)運(yùn)用用于于將將作作為為 的的半半角角的的情情況況，還還可可以以運(yùn)運(yùn)用用于于諸諸如如將將作作為為的的半半角角；將將 作作為為的的半半角角; ;將將作作為為的的半半角角；將將作作為為的的半半角角（等等情情況況）等等式式中中的的 “半半角角”的的意意義義是是相相對(duì)對(duì)的的，如如：. .2242334222 例例2 2已已知知，求求的的值值73cos,2252sin,cos,tan.222 33,2.224711cos325sin2225 因因?yàn)闉椋使?，運(yùn)運(yùn)用用半半角角公公式式，解解有有，711cos425cos22253s

8、in352tan.424cos25 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：看清角的取值范圍，記住公式的結(jié)構(gòu)形式看清角的取值范圍，記住公式的結(jié)構(gòu)形式. .解：(1)cos 22sin212sin22sin21； (2)1sin 2cos 21sin 2cos 2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2 sin cos cossin sin cos cos sin 2sin 2cos tan . 2221cossin,221coscos,221costan21cos 引申：公式變形：引申：公式變形：1.1.降冪升角公式降冪升角公式2.2.升冪降角公式升冪降角公式2221cos2sin,21cos

9、2cos,21costan.1cos2 22332,2224125cos2- 1sin 211313511cos2313tan.12sin2213 因因?yàn)闉楣使适鞘堑牡囊灰话氚?，運(yùn)運(yùn)用用半半角角公公式式，有有，所所以以解解 例例 已已知知，求求1232sin22,tan.132 例例3 3變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 已知已知 cos 435，232，求，求 cos 24的值；的值； 解 (1)232，34474. cos40，32474. sin4 1cos24 135245. cos 2sin(22)2sin4cos4 245352425， sin 2cos2212cos24 12352725. co

10、s2422cos 222sin 2 22242572531 250. =1=cos=acosb 1.1.設(shè)設(shè)向向量量（，）與與向向量量（-1,2cos )-1,2cos )垂垂直直， 則則2 2（ ）a. b. c. d. 221201c cb b53(),32()226666 b c. d.3663sin sina2.若，且，則 3.3.已知已知 ，則，則 （ ） a. b. c. a. b. c. d.d.2sin232cos ()413122316解解: :2211sin213cos ()4226所以所以21cos2()1cos(2)1sin242cos ()4222因?yàn)橐驗(yàn)閍cos20

11、 cos40 cos60 cos80 ;sin10 sin30 sin50 sin70 .4 4. .化簡(jiǎn)：（化簡(jiǎn)：（1 1）（2 2）sin20 cos20 cos40 cos60 cos80sin201 sin40 cos40 cos60 cos802sin201 sin80 cos60 cos801sin160 cos604sin208sin20解解: :（1 1）原式）原式1 sin1601.16 sin2016sin10 cos10 cos20 sin30 cos40cos101 sin20 cos20 sin30 cos402cos101 sin40 sin30 cos404cos

12、101sin80 sin301.8cos1016（2 2）原式）原式2tan()3sin22cos.4 5 5. .已已知知：，求求 的的值值 解法解法1 1： tan()34因因?yàn)闉?1tan,31tan 所所以以 1tan.2 解解得得 于于是是2sin22cossin2cos21 2222tan1tan11tan1tan4341.555 例4的結(jié)論2222sin22cossin2cos211tan ()2tan()4411tan ()1tan ()44192 341.19195 解法解法2 2： 333sin3 coscos3 sinsin4 .46 6. .求證：求證：所以，原式成立所以，原式成立. .22sin3 coscoscos3 sinsin1 cos21 cos2sin3 coscos3 sin221(sin3 coscos3 sin )21cos2 (sin3 coscos3 sin )2113sin4cos2 sin2sin4224證明證明: :左邊左邊右邊右邊,1 1公公式式的的特特點(diǎn)點(diǎn)：尤尤其其是是 “倍倍角角”與與 “半半角角”的的意意義義是是相相對(duì)對(duì)的的，如如： 是是的的半半角角2 2熟熟悉悉 “半半角角”與與 “二二次次”的的關(guān)關(guān)系系（升升角角降降次次，降降角角升升次次）3 3特特別別注注意意公公式式的的三三角角表表達(dá)