平面向量的數(shù)量積及平面微量應(yīng)用舉例PPT課件

1、知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)考綱下載考綱下載考情上線考情上線平面向平面向量的數(shù)量的數(shù)量積及量積及平面向平面向量應(yīng)用量應(yīng)用舉例舉例1.理解平面向量數(shù)量積的含義理解平面向量數(shù)量積的含義 及其物理意義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與了解平面向量的數(shù)量積與 向量投影的關(guān)系向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式， 會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐 標(biāo)運(yùn)算標(biāo)運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向 量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷 兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn) 單的力學(xué)問(wèn)題和

2、其他一些實(shí)單的力學(xué)問(wèn)題和其他一些實(shí) 際問(wèn)題際問(wèn)題.高考的熱點(diǎn)包括以下三高考的熱點(diǎn)包括以下三方面：方面：1.夾角問(wèn)題：范圍夾角問(wèn)題：范圍0， .2.垂直問(wèn)題：垂直問(wèn)題：ab0 x1x2 y1y20及應(yīng)用及應(yīng)用.3.模問(wèn)題：模問(wèn)題：a2|a|2. 上述三類(lèi)問(wèn)題與三角變上述三類(lèi)問(wèn)題與三角變 換、不等式、解析幾何換、不等式、解析幾何 鏈接密切，以解答題形鏈接密切，以解答題形 式在交匯處命題，是近式在交匯處命題，是近 幾年命題的熱點(diǎn)幾年命題的熱點(diǎn).第1頁(yè)/共50頁(yè)一、兩個(gè)向量的夾角一、兩個(gè)向量的夾角注意：同一起點(diǎn) 三角形中應(yīng)用babaAOBbaOba,OBOA,1的夾角。記作：與為向量，則，作取一點(diǎn)。平

3、面內(nèi)任、定義：兩個(gè)非零向量第2頁(yè)/共50頁(yè)反向時(shí)為，向量同向時(shí)為，向量；、范圍：baba002互相垂直。，叫向量時(shí)，夾角為，、向量垂直：向量baba23第3頁(yè)/共50頁(yè)cos|)(cos|,1babababababa有點(diǎn)數(shù)量（內(nèi)積）。記作：的數(shù)量積與叫做向量。把數(shù)量、定義：兩個(gè)非零向量二、向量數(shù)量積規(guī)定：；00a第4頁(yè)/共50頁(yè)思考：投影是數(shù)量可以為零、負(fù)數(shù)、正數(shù)方向上的投影在向量叫向量、投影：數(shù)量abbcos|2方向上的投影乘積向量在與向量等于、數(shù)量積ababa|3第5頁(yè)/共50頁(yè)三、向量數(shù)量積的性質(zhì)（以下都是非零向量）三、向量數(shù)量積的性質(zhì)（以下都是非零向量）eaaea,cos|1、02ba

4、ba、|3babababababa反向時(shí)為，向量同向時(shí)為，、向量222|4aaaaaa、|5baba、第6頁(yè)/共50頁(yè)|,cos6bababa、00baba為鈍角為銳角為鈍角或?yàn)殇J角或000baba第7頁(yè)/共50頁(yè)四、數(shù)量積的運(yùn)算律四、數(shù)量積的運(yùn)算律abba、交換律：1cbcacba ）、分配律：（2）（）（）、（bababa3數(shù)量積的運(yùn)算律不成立：數(shù)量積的運(yùn)算律不成立：baba01、bacbca、消去律：2）（）、結(jié)合律：（cbacba3第8頁(yè)/共50頁(yè)3.|a| .五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則，則1.ab . a1b1a2b2 2.ab

5、 .a1b1a2b204.cosa，b .第9頁(yè)/共50頁(yè)重要結(jié)論：三點(diǎn)共線（兩個(gè)）12210/yxyxaabba）（002121yyxxbaba線性運(yùn)算的三角形法則第10頁(yè)/共50頁(yè)|,cosbababa2)(|baba反之不一定0CABCABABC是三角形的重心則滿足內(nèi)有一點(diǎn)GCGBGAGGABC0過(guò)三角形重心PACABAP)(過(guò)三角形內(nèi)心PACACABABAP)|(過(guò)三角形垂心PCACACBABABAP)cos|cos|(第11頁(yè)/共50頁(yè)的取值范圍求的夾角為銳角，、已知)2 ,(),1 ,21(1ba判斷三角形的形狀且中accbbabCAaBCcABABC,的取值范圍夾角為鈍角，求的、

6、已知mmmbmma), 12(),3, 2(2判斷三角形的形狀中02ABBCABABC第12頁(yè)/共50頁(yè)1.已知向量已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5 ，則，則|b|() A. B. C.5 D.25解析：解析：|ab|2a22abb2520b250，b225，|b|5.答案：答案：C2第13頁(yè)/共50頁(yè)2.已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，則向量，則向量a與與b的夾角是的夾角是 ()解析：解析：a(ba)aba22，ab2a23.cosab a與與b的夾角為的夾角為 .答案：答案：C3 第14頁(yè)/共50頁(yè)3.已知向量已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量若向量c滿足滿足(

7、ca)b， c(ab)，則，則c ()第15頁(yè)/共50頁(yè)解析：解析：設(shè)設(shè)c(x，y)，則，則ca(x1，y2)，又又(ca)b，2(y2)3(x1)0. 又又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0. 解得解得答案：答案：Dx x= y y=第16頁(yè)/共50頁(yè)4.已知已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) .解析：解析：(ab)b，(ab)babb2150，=-答案：第17頁(yè)/共50頁(yè)5.已知向量已知向量a、b的夾角為的夾角為45，且，且|a|4，( ab)(2a3b) 12，則，則|b|；b在在a方向上的投影等于方向上的投影等于.解析：解析：ab|a|b|cosa，b4|

8、b|cos452 |b|，又又( ab)(2a3b)|a|2 ab3|b|216 |b|3|b|212，解得解得|b| 或或|b| (舍去舍去).b在在a上的投影為上的投影為|b|cosa，b cos451.2答案：第18頁(yè)/共50頁(yè)第19頁(yè)/共50頁(yè) 1.當(dāng)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與與b的夾角，需求得的夾角，需求得ab及及 |a|，|b|或得出它們的關(guān)系或得出它們的關(guān)系.2.若已知若已知a與與b的坐標(biāo)，則可直接利用公式的坐標(biāo)，則可直接利用公式【注意】平面向量a、b的夾角0，.cos=第20頁(yè)/共50頁(yè) 已知已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ，求：求：(1)a與與b

9、的夾角；的夾角；(2)ab與與ab的夾角的余弦值的夾角的余弦值. 第21頁(yè)/共50頁(yè)(1)由由(ab)和和(ab)的數(shù)量積可得出的數(shù)量積可得出|a|、|b|的的關(guān)系關(guān)系.(2)計(jì)算計(jì)算ab和和ab的模的模.第22頁(yè)/共50頁(yè)【解】(1)(ab)(ab) ，|a|2|b|2 ，又|a|1，|b| 設(shè)a與b的夾角為，則cos又0，第23頁(yè)/共50頁(yè)(2)(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb212|ab| ，設(shè)，設(shè)ab與與ab的夾角為的夾角為，cos 則則ab12 第24頁(yè)/共50頁(yè)1.已知已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a(1,2). (1)若若|

10、c|2 ，且，且ca，求，求c的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； (2)若若|b| ，且，且a2b與與2ab垂直，求垂直，求a與與b的夾角的夾角.第25頁(yè)/共50頁(yè)解：解：(1)設(shè)設(shè)c(x，y)，由，由ca和和|c|2 可得可得c(2,4)或或c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab2 0，ab ，cos 1，0，.第26頁(yè)/共50頁(yè)利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類(lèi)問(wèn)題的處理方法：類(lèi)問(wèn)題的處理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2

11、；(3)若若a(x，y)，則，則|a| 第27頁(yè)/共50頁(yè) 已知向量已知向量a ，b(cos，sin )，且，且(1)求求ab及及|ab|；(2)若若f(x)ab|ab|，求，求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. cos x,sin xx 第28頁(yè)/共50頁(yè)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及性質(zhì)即可求解，在求利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及性質(zhì)即可求解，在求|ab|時(shí)注意時(shí)注意x的取值范圍的取值范圍.第29頁(yè)/共50頁(yè)【解】(1)ab sincos2x，|ab| 2|cosx|，x ，cosx0，|ab|2cosx.33coscossinsin2222xxxx 第30頁(yè)/共50頁(yè)當(dāng)當(dāng)cosx 時(shí)，時(shí)，f(x

12、)取得最小值取得最小值當(dāng)當(dāng)cosx1時(shí)，時(shí)，f(x)取得最大值取得最大值1.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx1212(cos)2,3 41cos1,2xx 第31頁(yè)/共50頁(yè)2.(2009湖北高考湖北高考)已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos， sin)，c(1,0). (1)求向量求向量bc的長(zhǎng)度的最大值；的長(zhǎng)度的最大值； (2)設(shè)設(shè)= 且且a(bc)，求，求cos的值的值.第32頁(yè)/共50頁(yè)解：解：(1)法一：法一：由已知得由已知得bc(cos1，sin)，則，則|bc|2(cos1)2sin22(1cos).1cos1，0|bc|24，即，即0|bc|

13、2.當(dāng)當(dāng)cos1時(shí)，有時(shí)，有|bc|max2，所以向量所以向量bc的長(zhǎng)度的最大值為的長(zhǎng)度的最大值為2.法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.當(dāng)當(dāng)cos1時(shí)，有時(shí)，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的長(zhǎng)度的最大值為的長(zhǎng)度的最大值為2.第33頁(yè)/共50頁(yè)(2)法一：法一：由已知可得由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即，即cos()cos.由由 ，得，得cos( )cos ，即即 2k (kZ)，2k 或或2k，kZ，于是于是cos0或或cos1.2 第34頁(yè)/共50頁(yè)法二：若

14、，則a又由b(cos，sin)，c(1,0)，得a(bc) (cos1，sin)a(bc)，a(bc)0，即cossin1.sin1cos，平方后化簡(jiǎn)得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.經(jīng)檢驗(yàn)，cos0或cos1即為所求.cos+sin+第35頁(yè)/共50頁(yè)1.證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線共線) 的充要條件：的充要條件： ababx1y2x2y10(b0).2.證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件：證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件： abab0 x1x2y1y20.第36頁(yè)/共50頁(yè) 已知向量已知向量a(cos()

15、，sin()，b(cos( )，Sin( )(1)求證：求證：ab；(2)若存在不等于若存在不等于0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)k和和t，使，使xa(t23)b，ykatb，滿足，滿足xy，試求此時(shí)，試求此時(shí) 的最小值的最小值. 第37頁(yè)/共50頁(yè)(1)可通過(guò)求可通過(guò)求ab0證明證明ab.(2)由由xy得得xy0，即求出關(guān)于，即求出關(guān)于k，t的一個(gè)方的一個(gè)方程，從而求出程，從而求出 的代數(shù)表達(dá)式，消去一個(gè)的代數(shù)表達(dá)式，消去一個(gè)量量k，得出關(guān)于，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值的函數(shù)，從而求出最小值.第38頁(yè)/共50頁(yè)【解解】(1)abcos()cos( )sin()sin( )sincossincos0.ab

16、.(2)由由xy得：得：xy0，即即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又又|a|21，|b|21，-k+t3+3t=0k=t3+3t.第39頁(yè)/共50頁(yè)故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有最小值有最小值=t2+t+3=t=-第40頁(yè)/共50頁(yè)3.已知已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O為原點(diǎn)為原點(diǎn). (1)若若 ，求，求tan的值；的值； (2)若若 ，求，求sin2的值；的值； (3)若若 且且(0，)，求，求 的夾角的夾角.第41頁(yè)/共50頁(yè)解：解：(1) (0,3)(3,0)(3,3). 3cos3sin0，

17、即即sincos0，tan1.(2) (cos，sin3)，即即(cos3)cossin(sin3)0，13(cossin)0，sincos兩邊平方得兩邊平方得1sin2sin2=(cos 3 ，sin)，第42頁(yè)/共50頁(yè)(3cos)2sin213，cos又又(0，)，設(shè)設(shè) 的夾角為的夾角為，則，則又又0，(3cos,sin), ,=sin=第43頁(yè)/共50頁(yè)第44頁(yè)/共50頁(yè) 從近幾年高考試題看，平面向量的數(shù)量積是高考命題的從近幾年高考試題看，平面向量的數(shù)量積是高考命題的熱點(diǎn)，主要考查平面向量積的數(shù)量的運(yùn)算、幾何意義、模與熱點(diǎn)，主要考查平面向量積的數(shù)量的運(yùn)算、幾何意義、模與夾角、垂直問(wèn)題夾

18、角、垂直問(wèn)題.在高考中直接考查以選擇題或填空題為主，在高考中直接考查以選擇題或填空題為主，有時(shí)出現(xiàn)解答題，主要與三角函數(shù)、解析幾何綜合在一起命有時(shí)出現(xiàn)解答題，主要與三角函數(shù)、解析幾何綜合在一起命題題.2009年江蘇卷年江蘇卷15題考查了向量與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，題考查了向量與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，代表了高考的一種考查方向代表了高考的一種考查方向.第45頁(yè)/共50頁(yè)(2009江蘇高考江蘇高考)設(shè)向量設(shè)向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin).(1)若若a與與b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求證：，求證：ab.第46頁(yè)/共50頁(yè)解解(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍與與b2c垂直，垂直，所以所以a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin4sin()8cos()0，因此因此tan()2.第47頁(yè)/共50頁(yè)(2)由由bc(sincos，4cos4sin)，得，得又當(dāng)又當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，時(shí)，等號(hào)成立，所以所以|bc|的最大值為的最大值為(3)證明：由證明：由tantan16得得所以所以ab.|bc