平面問(wèn)題的三角形單元PPT課件

1、（1 1）結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元體：將結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元體（2 2）選擇位移模式選擇位移模式：假定內(nèi)任一點(diǎn)位移可以用單元節(jié)：假定內(nèi)任一點(diǎn)位移可以用單元節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)，它們之間存在某種簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系。點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)，它們之間存在某種簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系。第1頁(yè)/共45頁(yè)由虛位移原理由虛位移原理 可以得到單元的剛度矩陣可以得到單元的剛度矩陣（3 3）計(jì)算計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚽髥卧?jié)點(diǎn)位移求單元節(jié)點(diǎn)位移與與 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的關(guān)系內(nèi)力的關(guān)系求出節(jié)點(diǎn)內(nèi)力：求出節(jié)點(diǎn)內(nèi)力：第2頁(yè)/共45頁(yè)（5 5）由于上述總剛度矩陣常常是）由于上述總剛度矩陣常常是奇異矩陣奇異矩陣，無(wú)，無(wú)法求解。法求解。引

2、入邊界條件引入邊界條件，求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有，求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有單元單元節(jié)點(diǎn)的位移節(jié)點(diǎn)的位移 節(jié)點(diǎn)應(yīng)變節(jié)點(diǎn)應(yīng)變 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力應(yīng)力。（4 4）集合所有節(jié)點(diǎn)的平衡方程集合所有節(jié)點(diǎn)的平衡方程，形成整個(gè)，形成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組，結(jié)構(gòu)的平衡方程組，第3頁(yè)/共45頁(yè)有限元的單元分析單元分析第4頁(yè)/共45頁(yè)aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u0123圖 2-6有限元分析實(shí)例求解有限元分析實(shí)例求解通過(guò)材料力學(xué)，彈性力學(xué)和有限元法分別求解對(duì)比：例：等截面直桿在自重作用下的拉伸 圖(a)(a)單位桿長(zhǎng)重量為q q，桿長(zhǎng)為L(zhǎng) L，截面面積為A A，彈性模數(shù)為E E 第5頁(yè)/共45頁(yè)材料力學(xué)求解方法材料力

3、學(xué)求解方法第6頁(yè)/共45頁(yè)材料力學(xué)求解方法材料力學(xué)求解方法根據(jù)力平衡條件有：內(nèi)力 N(x)=q (L-x) 取微元 dx，則其伸長(zhǎng)為 x截面上的位移： 根據(jù)幾何方程求應(yīng)變，物理方程求應(yīng)力。這里 應(yīng)變 根據(jù)本構(gòu)方程求應(yīng)力EAx)dxq(LEAN(x)dx(dx)2x(LxEAqEAx)dxq(LEAN(x)dxu2x 0 x 0 X)(LEAqdXdu xX)(LAqExx第7頁(yè)/共45頁(yè)材料力學(xué)求解方法材料力學(xué)求解方法所以三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移函數(shù)如下：所以三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)變函數(shù)如下：所以三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力函數(shù)如下：第8頁(yè)/共45頁(yè)彈性力學(xué)求解方法彈性力學(xué)求解方法+dN+dNqdx第9頁(yè)/共45頁(yè)彈性力

4、學(xué)求解方法彈性力學(xué)求解方法微元微元力平衡方程力平衡方程：qdxd-A微元微元幾何方程幾何方程：dxduE材料材料本構(gòu)方程本構(gòu)方程：給出給出邊界方程邊界方程：0u0 x0Lx第10頁(yè)/共45頁(yè)有限元法求解有限元法求解有限單元法求解直桿拉伸： 1 1、離散化（節(jié)點(diǎn)和單元、離散化（節(jié)點(diǎn)和單元） 2 2、外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上，即把陰、外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上，即把陰影部分的重量作用在節(jié)點(diǎn)影部分的重量作用在節(jié)點(diǎn)i i上上 iL1iL 圖 2-3i+1ii-12)LL( q1ii 1L2LiL1iL 1圖 2-2nn-1i+1ii-12第11頁(yè)/共45頁(yè)有限元法求解有限元法求解3 3、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù)

5、、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù) iL圖 2-4ii-1Xux1ix 1i u )x ( ui u) ( )( 111iiiiixxLuuuxuui1ixLudxduiu)Lu(Ei1iiiiuE)( 1iiiiiLuuEAAN)( 111iiiiLuuEAN由幾何方程： 由本構(gòu)方程： 節(jié)點(diǎn)內(nèi)力：第12頁(yè)/共45頁(yè)1)-(2 )11 (2 )1 (21i i 1 - i iiiiLEAquuu有限元法求解有限元法求解有限單元法求解直桿拉伸： 4 4、以、以i i節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)為對(duì)象，列力的平衡方程為對(duì)象，列力的平衡方程令令 將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得 i N1i N 圖 2-5i

6、2)LL( q1ii 0 xF2)( 11i i iiLLqNN1iiiLL用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，其中用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，其中i=1i=1，2 2， n n有有n n個(gè)方程個(gè)方程未知數(shù)也有未知數(shù)也有n n個(gè)，解方程組，得出個(gè)，解方程組，得出節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而計(jì)算應(yīng)力位移，進(jìn)而計(jì)算應(yīng)力 第13頁(yè)/共45頁(yè)2-1 有限單元法的概念有限單元法的概念有限單元法求解直桿拉伸： 假設(shè)線單元數(shù)為假設(shè)線單元數(shù)為3 3個(gè)的情況，個(gè)的情況，平衡方程有平衡方程有3 3個(gè)：個(gè)：i=1i=1時(shí)，時(shí)，i=2i=2時(shí)時(shí), ,i=3i=3時(shí)，時(shí)，聯(lián)立解得聯(lián)立解得 aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u01

7、23圖 2-622 1 2aEAquu23 2 1 2 aEAquuu23 2 2 aEAquuEAqa2521 uEAqa2822 uEAqa2923 u與材料力學(xué)的精確解答在節(jié)點(diǎn)處與材料力學(xué)的精確解答在節(jié)點(diǎn)處位移位移完全相同，回代可以得到完全相同，回代可以得到各點(diǎn)各點(diǎn)應(yīng)變值應(yīng)變值，繼續(xù)回代可以得到各點(diǎn)，繼續(xù)回代可以得到各點(diǎn)應(yīng)力值。應(yīng)力值。第14頁(yè)/共45頁(yè)有限元法求解有限元法求解LxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)圖 2-1EAqa252EAqa282EAqa2923La 設(shè)取n=3，求解含節(jié)點(diǎn)位移的線性方程組，得各點(diǎn)位移如下 第15頁(yè)/共45頁(yè)第16頁(yè)/共45頁(yè)有限

8、元的單元分析單元分析第17頁(yè)/共45頁(yè)1 1 三角形單元位移插值函數(shù)三角形單元位移插值函數(shù)假設(shè)已知假設(shè)已知如何求單元內(nèi)(x,y)點(diǎn)位移？第18頁(yè)/共45頁(yè)1 1 三角形單元位移插值函數(shù)三角形單元位移插值函數(shù)將i，j，m節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（已知）代入上式得含待定系數(shù)的方程組選擇位移插值函數(shù)如下：選擇位移插值函數(shù)如下：第19頁(yè)/共45頁(yè)代入上述位移函數(shù)可得：求解6個(gè)待定系數(shù)第20頁(yè)/共45頁(yè)其中A為三角形面積將將待定系數(shù)待定系數(shù)代入單元內(nèi)部位移模式得到代入單元內(nèi)部位移模式得到任意點(diǎn)位移：任意點(diǎn)位移：第21頁(yè)/共45頁(yè)式中：式中：進(jìn)一步進(jìn)一步簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化，令令位移形函數(shù)位移形函數(shù)單元內(nèi)部位移模式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：?jiǎn)卧?/p>

9、內(nèi)部位移模式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：第22頁(yè)/共45頁(yè)單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：?jiǎn)卧獌?nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：?jiǎn)卧獌?nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式可以簡(jiǎn)記為：?jiǎn)卧獌?nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式可以簡(jiǎn)記為：位移位移轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)或或位移形函數(shù)矩陣位移形函數(shù)矩陣第23頁(yè)/共45頁(yè)單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：?jiǎn)卧獌?nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：位移形位移形函數(shù)函數(shù)Ni物理物理含義含義故故, Ni稱(chēng)為稱(chēng)為位移位移形形函數(shù)。函數(shù)。第24頁(yè)/共45頁(yè)單元內(nèi)部位移模式單元內(nèi)部位移模式必須滿足三個(gè)條件才能必須滿足三個(gè)條件才能保證收斂：保證收斂：注意注意：如如第25頁(yè)/共45頁(yè)2 2 由由節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移求求應(yīng)變應(yīng)變 幾何方程

10、幾何方程第26頁(yè)/共45頁(yè)2 2 由由節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移求求應(yīng)變應(yīng)變 幾何方程幾何方程第27頁(yè)/共45頁(yè)式中：式中：第28頁(yè)/共45頁(yè)3 3 由由應(yīng)變應(yīng)變求求應(yīng)力應(yīng)力 本構(gòu)方程本構(gòu)方程將應(yīng)變矩陣代入上式將應(yīng)變矩陣代入上式第29頁(yè)/共45頁(yè)已知：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)虛位移，已知：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)虛位移，節(jié)點(diǎn)力所做的虛功節(jié)點(diǎn)力所做的虛功W為：為：4 4 由由應(yīng)力應(yīng)力求求節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力 虛功方程虛功方程第30頁(yè)/共45頁(yè)已知：?jiǎn)卧獌?nèi)部應(yīng)力和虛應(yīng)變，則已知：?jiǎn)卧獌?nèi)部應(yīng)力和虛應(yīng)變，則整個(gè)彈性體內(nèi)的變形虛功整個(gè)彈性體內(nèi)的變形虛功U為為第31頁(yè)/共45頁(yè)第32頁(yè)/共45頁(yè)單元?jiǎng)偠染仃嚍閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚍?將虛應(yīng)變矩陣將

11、虛應(yīng)變矩陣代入上式并整理代入上式并整理再將應(yīng)力矩陣代入得再將應(yīng)力矩陣代入得第33頁(yè)/共45頁(yè)第34頁(yè)/共45頁(yè)式中：式中：第35頁(yè)/共45頁(yè)位移函數(shù)位移函數(shù) 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程 虛功方程虛功方程單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噆假設(shè)假設(shè)已知已知可以表達(dá)可以表達(dá)第36頁(yè)/共45頁(yè)也就是說(shuō)也就是說(shuō)對(duì)對(duì)貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)的的知道了知道了第37頁(yè)/共45頁(yè)取節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)i分析，單元分析，單元，和的共用，和的共用節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i，所以，所以節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i的內(nèi)力的內(nèi)力為三個(gè)單元為三個(gè)單元分力在該點(diǎn)之和：分力在該點(diǎn)之和：5 5 節(jié)點(diǎn)平衡方程組節(jié)點(diǎn)平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第38頁(yè)/共45頁(yè)由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)有由于每個(gè)

12、節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)未知位移兩個(gè)未知位移分量分量，所以根據(jù)下列，所以根據(jù)下列兩個(gè)平衡兩個(gè)平衡方程方程理論上，可以求解。理論上，可以求解。 5 5 節(jié)點(diǎn)平衡方程組節(jié)點(diǎn)平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第39頁(yè)/共45頁(yè) 從從網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的整體整體來(lái)看，本來(lái)看，本問(wèn)題共計(jì)問(wèn)題共計(jì)6個(gè)節(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移分量?jī)蓚€(gè)位移分量，共計(jì)，共計(jì)12個(gè)（未知）個(gè)（未知）位移位移分量分量。 每個(gè)每個(gè)單元分析單元分析都可以都可以用用12個(gè)節(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)位移點(diǎn)位移中的中的6個(gè)，個(gè)，描述描述該單元的節(jié)點(diǎn)內(nèi)力：節(jié)點(diǎn)內(nèi)力：也就是說(shuō)也就是說(shuō)所有所有單元的節(jié)點(diǎn)單元的節(jié)點(diǎn)內(nèi)力內(nèi)力都都能用能用12個(gè)位移未知量來(lái)表達(dá)。個(gè)

13、位移未知量來(lái)表達(dá)。5 5 節(jié)點(diǎn)平衡方程組節(jié)點(diǎn)平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第40頁(yè)/共45頁(yè) 列出所有節(jié)點(diǎn)的內(nèi)、外力平列出所有節(jié)點(diǎn)的內(nèi)、外力平衡方程：準(zhǔn)確的說(shuō)是衡方程：準(zhǔn)確的說(shuō)是12個(gè)方程個(gè)方程可以求解可以求解12個(gè)未知量（個(gè)未知量（可能是可能是位移也可能是外力位移也可能是外力）。）。注意：注意：邊界上的節(jié)點(diǎn)，有些位邊界上的節(jié)點(diǎn)，有些位移是已知的，有些是外力已知移是已知的，有些是外力已知的。如果沒(méi)有邊界條件，方程的。如果沒(méi)有邊界條件，方程會(huì)有無(wú)窮多個(gè)解。會(huì)有無(wú)窮多個(gè)解。5 5 節(jié)點(diǎn)平衡方程組節(jié)點(diǎn)平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第41頁(yè)/共45頁(yè)有限元分析的基本步驟：有限元分析的基本步驟：（1 1）結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元體：將結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元體（2 2）選擇位移模式選擇位移模式：假定內(nèi)任一點(diǎn)位移可以用單元節(jié)：假定內(nèi)任一點(diǎn)位移可以用單元節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)，它們之間存在某種簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系。點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)，它們之間存在某種簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系。第42頁(yè)/共45頁(yè)由虛位移原理由虛位移原理 可以得到單元的剛度矩陣可以得到單元的剛度矩陣（3 3）計(jì)算計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚽髥卧?jié)點(diǎn)位移求單元節(jié)點(diǎn)位移與與 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的關(guān)系內(nèi)力的關(guān)系求