肖克園論文留數(shù)定理在計(jì)算積分中的應(yīng)用

1、安徽建筑大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)題 目 留數(shù)定理的推廣及其應(yīng)用 系 別 數(shù)理系 專 業(yè) 統(tǒng)計(jì)學(xué) 姓 名 肖克園 指導(dǎo)教師 趙成兵老師 2016年3月留數(shù)定理的推廣及其應(yīng)用摘要 留數(shù)定理是柯西積分定理應(yīng)用層次方面推廣，是柯西積分公式的更一般的形式，柯西積分定理和柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)論的基本定理和公式，留數(shù)定理是復(fù)積分和復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物.利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分的方法與實(shí)函數(shù)積分方法的對照,具體地說就是把求實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿圍道的積分,再將積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為留數(shù)計(jì)算.關(guān)鍵詞留數(shù)定理、積分、柯西積分Residue theorem in calculated integral applicat

2、ionShikai-renTongren University and Mathematics and computer science Tongren,554300AbstractResidue theorem and Cauchy integral theorem is extension application levels, is the more general integral formulas of Cauchy form of Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula is complex-variable func

3、tion theory, the basic theorem and formula, residue theorem is complex integral and complex combination of progression theory. Use the residue theorem calculation realvariable funktion integral method and the real function integration method of control, specifically is realistic and integral into co

4、mplex-variable function and integral along the circumference way and integral calculation converted to keep count. Key wordsResidue theorem, integral, Cauchy points 引言在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來計(jì)算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。留數(shù)在復(fù)變函數(shù)論本身實(shí)際應(yīng)用中都是很重要的，它和計(jì)算周線（或歸結(jié)為考察周線積分）的問題有密切關(guān)系。此外應(yīng)用留數(shù)理論，我們有條

5、件去解決“大范圍”的積分計(jì)算問題，就是用微圓法求積分那樣，還可以考察區(qū)域函數(shù)的零點(diǎn)分布的情況，將留數(shù)定理應(yīng)用在計(jì)算積分中，將會使計(jì)算更加簡便，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，更是一個有效的方法，而其最關(guān)鍵的將它化歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分。應(yīng)用留數(shù)計(jì)算定積分,在于選擇一個適宜的輔佐函數(shù)和一條相應(yīng)的積分途徑(周線),從而把定積分的計(jì)算化成沿閉路的復(fù)積分的計(jì)算.但當(dāng)被積函數(shù)或輔佐函數(shù)是多值解析的,則要適當(dāng)割開平面,使其能分出單值解析分支,才干運(yùn)用柯西積分定理或柯西留數(shù)定理來求出給定的積分的值. 一、留數(shù)的定義及留數(shù)定理柯西積分定理：設(shè)函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條周線，則 柯

6、西積分公式：若函數(shù)在閉圍道的內(nèi)部及其上是解析的，又若是內(nèi)部的點(diǎn)，則：如果函數(shù)f(z)在點(diǎn)a是解析的，周線C全在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)，并包圍點(diǎn)a，則根據(jù)柯西積分定理但是，如果a是f(z)的一個孤立奇點(diǎn)，且周線C全在a的某個去心鄰域內(nèi)，并且包圍點(diǎn)a，則積分的值，一般說來，不再為零。并且利用洛朗系數(shù)公式很容易計(jì)算出它的值來。定義1.1 設(shè)函數(shù)f(z)以有限點(diǎn)a為孤立奇點(diǎn)，即f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)解析，則積分為f(z)在點(diǎn)a的留數(shù)（residue）,記為Resf(z).定理1.1f(z)在周線或復(fù)周線C所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則（“大范圍”積分）證明：以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫

7、圓周線，使這些圓周及其內(nèi)部均含于D，并且彼此互相隔離（如圖1.1）。應(yīng)用復(fù)周線的柯西積分定理得： 圖1.1二、留數(shù)的求法定理2.設(shè)a為的n階極點(diǎn)，其中在點(diǎn)a解析，則Res這里符號代表，且有證明:推論2.設(shè)a為的一階極點(diǎn)，則推論2.3設(shè)a為的二階極點(diǎn)，定理2.4設(shè)a為的一階極點(diǎn)（只要及在點(diǎn)a解析，且）則證明：因?yàn)閍為的一階極點(diǎn)，故三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)時,它的分類及其類型判定為函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算提供了理論依據(jù),而無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算及其相關(guān)定理是解決復(fù)變函數(shù)”大范圍”的積分計(jì)算的有力工具.定義3.1設(shè)為函數(shù)的一個孤立奇點(diǎn)，即在去心鄰域N：內(nèi)解析，則稱為在點(diǎn)的留

8、數(shù)，記為，這里是指順時針方向（這個方向很自然地可以看作是r繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向）。設(shè)在內(nèi)的洛朗展式為由逐項(xiàng)積分定理知也就是說，等于在點(diǎn)的洛朗展式中這一項(xiàng)的系數(shù)的反號。定理3.1如果在擴(kuò)充z平面上只有有限個孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)），設(shè)為則在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零。證明以原點(diǎn)為心作圓周的內(nèi)部，則由留數(shù)定理得兩邊除以，并移項(xiàng)得亦即但是要注意：雖然的有限可去奇點(diǎn)a處，必有，但是，如果點(diǎn)的可去奇點(diǎn)（或解析點(diǎn)），則可以不是零。例如以為可去奇點(diǎn)，但我們引入計(jì)算留數(shù)的另一公式令于是且z平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域被變成t平面上原點(diǎn)的心鄰域（如r0,規(guī)定）;圓周被變成圓周：。從而易證所以四、用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分利用留定

9、理計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的方法稱為圍道積分法,具體的說就是把求實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)這函數(shù)沿圍線的積分,再將積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為留數(shù)計(jì)算,但這類積分的計(jì)算需要滿足兩個條件(1)被積函數(shù)與解析函數(shù)有關(guān),(2)定積分可以轉(zhuǎn)化為某個沿閉路的積分.作為留數(shù)理論的一種直接應(yīng)用,我們可以利用留數(shù)來計(jì)算數(shù)學(xué)分析中的某些黎曼積分,尤其原函數(shù)不易直接求得的黎曼積分,這計(jì)算方法的基本思想是:通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q或者補(bǔ)充適當(dāng)?shù)姆e分路線,把實(shí)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)膹?fù)變函數(shù)沿簡單閉曲線的復(fù)積分計(jì)算,然后再利用留數(shù)定理來解決.4.1.計(jì)算型積分其中，是關(guān)于，的有理數(shù)，計(jì)算形如的積分，首先，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)形式，再將積分區(qū)間化為沿閉曲線上的

10、積分，為此，我們令,則，即于是，當(dāng)由0變到，z恰好沿圓周的正方向繞行一周，于是即轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)在上的積分.若在上無奇點(diǎn)，而在內(nèi)有等中個孤立奇點(diǎn)，則由留數(shù)定理，有例題1：求解：當(dāng)時，;當(dāng)時，令當(dāng)時，在內(nèi)，僅以為一級極點(diǎn)，在上無奇點(diǎn)，故由留數(shù)定理當(dāng)時，在內(nèi)僅以為一級極點(diǎn)，在上無奇點(diǎn)4.2計(jì)算型積分為了計(jì)算這種反常積分，首先得引入一個引理引引理4.21設(shè)沿圓?。ǔ涔螅┥线B續(xù)，如圖4.21,且于一致成立（即與），則證明因?yàn)閳D4.21于是有（1）對于任給，則已知條件，存在，使當(dāng)時，有不等式于是（1）式不超過（其中）為的長度，即 定理4.22設(shè)為有理公式，其中與為互質(zhì)多項(xiàng)式，且符合：（1）;(2)在實(shí)軸

11、上于是有證明：由條件（1），（2及數(shù)學(xué)分析的結(jié)論，知存在，且等于它的值記為圖4.22取上半圓周作為輔助曲線（圖4.22）.于是.由線段及合成一周線，先取R充分大，使內(nèi)部包含在上半平面內(nèi)的一切孤立奇點(diǎn)（實(shí)際上只有有限個極點(diǎn)）.而由條件（2）, 在上沒有奇點(diǎn).按留數(shù)定理或?qū)懗?因?yàn)?由假設(shè)條件（1）知，故沿上就有在等式中命名，并且根據(jù)前面學(xué)的定理，知中第二項(xiàng)的積分之極限為零，這就證明了定理例題2：計(jì)算解 滿足有理函數(shù)積分條件在實(shí)數(shù)軸是有單極點(diǎn),在上平面上無奇點(diǎn),因此4.3計(jì)算型積分引理4.22（若爾當(dāng)引理）設(shè)函數(shù)沿半圓周（充公大）上連續(xù)，且 在上一致成立.則證對于任給的，存在，使當(dāng)時，有于是，就有

12、而這里利用了以及于是由則上式可化為定理4.23 設(shè),其中及是互質(zhì)多項(xiàng)式,且符合條件:(1) 的次數(shù)比的數(shù)高,(2)在實(shí)軸上(3)則有特別的,上式分開實(shí)虛部,就可以得到形如及的積分例題3:求積分解 如圖作輔加曲線,輔助函數(shù) ， 由引理知: 在實(shí)軸上無奇點(diǎn),為在上半平面的單極點(diǎn)比較其實(shí),虛部,有: (奇函數(shù)在對稱區(qū)間積分必為零)4.4 計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分在數(shù)學(xué)分析中,對于瑕積分,也可以類似定義它的柯西主值.又在定理4.23中假定無零點(diǎn),現(xiàn)在我們可以把條件放寬一點(diǎn),容許有有限多個一階零點(diǎn),即允許在實(shí)軸上有有限個一階極點(diǎn).為了估計(jì)挖去這種極點(diǎn)后沿輔助路徑和積分,除了上面兩個引理外,再引入一個引

13、理引理 4.23 設(shè)沿圓(r充分小)上連續(xù),且 于上一致成立,則有 證明 因?yàn)?于是例4: 計(jì)算積分 解輔助函數(shù): 在上平面上無奇點(diǎn),在實(shí)軸上有單極點(diǎn),故作繞過點(diǎn);且 因此,令,根據(jù)引理: ，把在的領(lǐng)域內(nèi)展成羅朗級數(shù):其中為領(lǐng)域內(nèi)的泰勒級數(shù),故在在解析,則:對積分對積分的值進(jìn)行估計(jì): 由于在解析,則在連續(xù), 在上必在界,因此，復(fù)變函數(shù)是一門工程數(shù)學(xué)，在工程技術(shù)上有許多應(yīng)用, 復(fù)變函數(shù)在穩(wěn)定平面流場和靜電場以及在工程技術(shù)上都有許多用, 由于涉及到許多專業(yè)知識, 因此我們在此只簡述一點(diǎn)留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)以及實(shí)際問題中往往要求出一些定積分的值, 而這些定積分中, 被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來; 有時即便可求出原函數(shù), 計(jì)算也往往比較復(fù)雜。利用留數(shù)定理來計(jì)算這些類型的定積分, 只需計(jì)算這些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，這樣一來就把問題大大簡化了。參考文獻(xiàn)1 鐘玉泉復(fù)。變函數(shù)論M，高等教育出版社（第三版）2 馬立新。復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)M，山東大學(xué)出版社3 任福堯。應(yīng)用復(fù)分析M，高等教育出版