工程制圖234直線上的點

1、BAaa b ba b 若若點點在直線上在直線上, 則則點的投影點的投影必定在該直線必定在該直線的的同面投影同面投影上上。 反之，若點的各面反之，若點的各面投影均在直線的同面投投影均在直線的同面投影上，則該點必在該直影上，則該點必在該直線上。線上。 k kk K四、四、 直線上的點的投影特性直線上的點的投影特性:BAaa b ba b 同一直線上的兩線段同一直線上的兩線段長度之比等于其投影長度長度之比等于其投影長度之比。即：之比。即：AK/KB=ak/kb= a k / k b = a k / k b 定比定理定比定理k kk K 【例【例21 】已知直線】已知直線AB，求作，求作AB上上的的

2、C點，使點，使ACCB=23?！窘狻俊窘狻坑幂o助線法作圖求解。用輔助線法作圖求解。 【例例22】試判斷試判斷K點是否在側(cè)平線點是否在側(cè)平線MN上？上？【解】【解】按直線上的點的投影特性進(jìn)行判斷。按直線上的點的投影特性進(jìn)行判斷。方法一：方法一：作出直線和點的第三投影加以判斷作出直線和點的第三投影加以判斷-方法二：方法二：根據(jù)定比性根據(jù)定比性mk: knmk:kn, K點不在點不在MN上。上。否。否。 【例例23】已知直線已知直線CD，試在，試在C與與D之間取一點之間取一點E，使，使CE等于定長。等于定長。【解】【解】分析：分析：為了在已知直線為了在已知直線CD上取定長的線段上取定長的線段CE，必

3、須先求出已知直線，必須先求出已知直線CD的真長，然后在真長上從端點的真長，然后在真長上從端點C截取截取CE的真長，最后按與分割直的真長，最后按與分割直線真長相同的比例，在直線的投影上作出分點線真長相同的比例，在直線的投影上作出分點E的投影。的投影。作圖作圖： （1）求真長）求真長cdo ；（；（2）取）取ceoCE ，求出，求出 e 和和e。五、兩直線的相對位置五、兩直線的相對位置1、兩直線的相對位置有三種情況：、兩直線的相對位置有三種情況： 平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。共面線共面線異面線異面線【例例】觀察分析房屋模型中線段與線段的相對位置。觀察分析房屋模型中線段與線段的相對位置。AB

4、與與EF_。CG與與DH_。AB與與AP_。CD與與DH_。AE與與CD_。AB與與CG_。平行平行平行平行相交相交相交相交交叉交叉交叉交叉 空間兩直線平行，則其所有空間兩直線平行，則其所有同名投影同名投影必必相互平行。相互平行。反之亦然反之亦然。 平行兩線段之比平行兩線段之比=各同面投影之比各同面投影之比HabABcdCD投影特性投影特性2、兩直線平行、兩直線平行 因：因：AB/CD，Aa/Cc所以：所以：ab/cd所以：平面所以：平面ABba/平面平面CDdc證明：證明： db d c a cbad b a c abcdc a b d 例例1：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是

5、否平行。 對于對于一般位置一般位置直直線，線，只要有兩個同面只要有兩個同面投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于對于特殊位置特殊位置直線，直線，只有兩個同面投影只有兩個同面投影互相互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行不平行例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？ 空間兩直線相交，其空間兩直線相交，其各組同面投影必相交，且交點各組同面投影必相交，且交點符合點的投影規(guī)律。符合點

6、的投影規(guī)律。 XZYHYWOabababcdcdcdkkkABCDKcdabkab ab 、cdcd交于交于k kabab、cdcd交于交于k k abab、cdcd交于交于kk3.兩直線相交兩直線相交投影特性投影特性反之，若有兩條直線，其三組同面投影均相交，反之，若有兩條直線，其三組同面投影均相交，而且符合點的投影規(guī)律，則空間兩直線必相交。而且符合點的投影規(guī)律，則空間兩直線必相交。 投影特性投影特性 【例【例3】 AB是側(cè)平線，是側(cè)平線，CD是一般線，是一般線， 問：問：AB與與CD相交嗎？相交嗎？答案：答案：AB與與CD不相交。不相交。AB與與CD是交叉兩直線。是交叉兩直線。解法一解法一解

7、法二解法二d b a abcdc 【例【例4】 問：問：AB與與CD相交嗎？相交嗎？總結(jié)總結(jié) 對于一對一般位置直線，要判斷它們是否相交，只需檢查任意兩面投影交點的投影連線是否垂直于投影軸即可。 對于一對特殊位置直線，要判斷它們是否相交，需要檢查 3組同面投影相交，并且是否符合點的投影規(guī)律來判斷。 abcdabcdVHOX 在空間既不平行也不相交的在空間既不平行也不相交的兩直線，叫交叉直線。兩直線，叫交叉直線。4321XO(4)3abcd2(1)ABDCcdab3(4)交點是一對重交點是一對重影點的投影。影點的投影。4. 交叉兩直線交叉兩直線2(1)12d b a abcdc1 (2 )3(4

8、)投影特性投影特性： 同面投影同面投影可能相交，可能相交，但但 “交點交點”不符合空間不符合空間一個點的投影規(guī)律一個點的投影規(guī)律。 投影的投影的“交點交點”是兩是兩直線上的一直線上的一 對對重影點重影點的的投影，用其可幫助判斷投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。兩直線的空間位置。、是面的重影點，是面的重影點， 、是是H面的重影點。面的重影點。3 4 【例】【例】 AB與與CD是兩條側(cè)平線，是兩條側(cè)平線， 問：問：AB與與CD兩直線的兩直線的相對位置？相對位置？AB與與CD交叉交叉AB與與CD不平行不平行AB與與CD不相交不相交例：試判斷兩根水管例：試判斷兩根水管AB和和CD的相對位置，的相對

9、位置，并判別可見性并判別可見性cdababcdOXOXcdababcd212(1)343(4) 交叉的兩直線在某些特殊情況下，可以有一組或兩組投影相互平行，但絕不會出現(xiàn)第三組投影相互平行，如果三組同面投影平行，那么兩直線平行。 交叉的兩直線一般可以有一對、兩對，甚至三對投影都相交，但投影交點覺不會符合點的投影規(guī)律。六、直角投影定理六、直角投影定理 空間兩相交垂直直線或兩交叉垂直直線，若其中一條空間兩相交垂直直線或兩交叉垂直直線，若其中一條直線平行于某投影面，則這兩條直線在該投影面上的投影直線平行于某投影面，則這兩條直線在該投影面上的投影仍為直角（仍互相垂直），直角的這一投影特性稱為仍為直角（仍

10、互相垂直），直角的這一投影特性稱為直角直角投影定理投影定理。 反之，若兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中反之，若兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平行于該投影面時，則該兩直線在空間必相互垂有一直線平行于該投影面時，則該兩直線在空間必相互垂直。直。 已知已知: ABH， ABBC 。 問：問：abcd? 分析：分析：ABBC，ABBb，ABBbcC; ABH，abAB; ABBbcC，abBbcC，abbc?！纠俊纠?求求A點與側(cè)平線點與側(cè)平線BC的距離。的距離。已知條件已知條件作圖過程作圖過程幾何分析幾何分析:過點過點A作作BC的垂線，求出垂足的垂線，求出垂足D，AD的長度

11、即為所求。的長度即為所求。投影分析：投影分析：BC是側(cè)平線，是側(cè)平線，根據(jù)一邊平行于投影面的直角的投根據(jù)一邊平行于投影面的直角的投影特性，有影特性，有adbc的關(guān)系，從而可求出垂足的關(guān)系，從而可求出垂足D,再由直角三角再由直角三角形法求形法求AD的真長。的真長。作圖步驟：作圖步驟：1、作垂線；、作垂線；2、求垂足；、求垂足；3、求實長。、求實長?！窘狻俊窘狻?【例】【例】 已知交叉兩直線已知交叉兩直線AB、CD，作出它們的公垂線，作出它們的公垂線MN，并求出這，并求出這兩條交叉直線之間的距離。兩條交叉直線之間的距離?！窘狻俊窘狻?幾何分析幾何分析: 公垂線公垂線MN是與交叉兩直線是與交叉兩直線

12、AB、CD都垂直的直線，垂足都垂直的直線，垂足M與與N之間的距離，即為所求。之間的距離，即為所求。 投影分析：投影分析：AB是鉛垂線，是鉛垂線，MN與與AB垂直，垂直，MN必為水平線。又必為水平線。又MNCD，按一邊平行于投影面的直角的投影特性，有，按一邊平行于投影面的直角的投影特性，有mncd。由于。由于AB是是鉛垂線，鉛垂線，MN在在AB上的垂足上的垂足M的的H面投影面投影m，必積聚在，必積聚在ab上。上。 作圖步驟：作圖步驟：1、作垂線、作垂線mn；2、作垂足、作垂足n；3、作、作mn; 4、mn即為所求。即為所求。小結(jié)：小結(jié)：23 直直 線線 的的 投投 影影一、直線的投影特性一、直線的投影特性二、直線上的點的投影